电工技术-电工学一(高福华)第六章详细讲解

第六章电路的暂态过程第一节概述第二节电压、电流初始值和稳态值的确定第三节R、C串联电路中的暂态过程第四节一阶电路暂态分析的三要素法第五节R、C串联电路对矩形波电压的响应第六节R、L串联电路中的暂态过程第一节概述

暂态响应的概念暂态过程的产生暂态分析的意义及方法一、暂态过程

稳态：电路中的电流，电压稳定不变或者是时间上的周期函数，称为电路处于稳态。电路从一个稳定状态转变到另一个新的稳定状态往往需要一个过渡的时间，电路在这段时间内所发生的物理过程就叫做电路的过渡过程。和稳态相对应，电路的过渡状态又称为暂态过程或暂态。

若开关在t=0时接通，电路中的电流逐渐增加，最终达到I=U/R,这是一种稳态。+－t=0SRLULUSURS打开时，电路中的电流等于零，这是一种稳态。在图示的RL电路中二、暂态过程的产生内因：电路中存在储能元件（C、L）电容与电感上存储的能量不能跃变，所以，在含有C、L的电路中，从一种稳态到另一种稳态，要有一个过渡过程。外因：

换路换路是指电路的结构或参数发生变化。如开关的通断、短路、信号突然接入、电源电路参数的改变等。换路时电路的状态会发生改变。三、暂态分析的意义及方法暂态分析：分析在激励源作用下电路各部分的电压和电流随时间变化的规律。暂态分析意义：1、暂态过程应用广泛2、暂态过程中可能出现不利电路工作的情况暂态分析的方法：经典法，根据基本定律，列出微分方程，利用已知的初始条件求解第二节电压、电流初始值和稳态值的确定

电路的换路定律

t=0时刻初始值的确定电路稳态值的确定一、电路的换路定律

通常我们把换路瞬间作为计时起点。即在t＝0时换路。把换路前的终结时刻记为t

＝0-，把换路后的初始时刻记为t＝0+。

在电感元件中，储存的磁场能量为WL=1/2L

iL2,电感中的能量不能跃变，表现为电感中的电流iL不能跃变。

在电容元件中，储存的电场能量为WC=1/2CuC2,电容中的能量不能跃变，表现为电容两端的电压uC不能跃变。iL(0+)＝iL(0－)uC(0+)＝uC(0－)

电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定律，表示为：

换路定律适用于换路瞬间，用它来确定暂态过程的初始值。

若iL(0+)=iL

(0－)=0，uC(0+)=uC(0－)=0，换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于断路。

若iL(0+)=iL(0－)≠0，uC(0+)=uC(0－)

≠0，换路瞬间，电容相当于恒压源，电感相当于恒流源。

电路中其它电压电流在换路瞬间，用换路定律、KVL、KCL定律联合求解。二、t=0时刻初始值的确定元件特征CLiL(t)t=0+t=0－t=∞uC(t)uC(0+)=0uC(0－)=0uC(0－

)=U0uC(0+)=U0+-开路短路iL(0+)=I0

iL(0－)=I0

iL(0-)=0iL(0+)=0

当电路的过渡过程结束后，电路处于稳定状态，这时各元件电压和电流的值称为稳态值。

直流情况下，电容稳态相当于断路：1、阻值无穷大2、电流为零

直流情况下，电感稳态相当于短路：1、电阻为零2、电压为零三、电路稳态值的确定

例1、在图示电路中，已知R=1kΩUS=10V，L=1H，换路前电路已处于稳态，求开关闭合后的初始值。+－SiuLRUS解：

∵S闭合前，电路已处于稳态。

iL(0－)=0在S闭合的瞬间，根据换路定律有：

iL(0+)＝iL(0－)=0uR(0+)=i(0+)R=0uR(0+)+uL(0+)=US∴uL(0+)=10VR1USSCi2iCuC+－R2例2、已知US=10V，R1=2kΩ，R2=3kΩ换路前电路已处于稳态，求:t＝0时，S断开后电压电流的初始值。i1请慎重作出选择：换路瞬间C相当于短路换路瞬间C相当于恒压源换路瞬间i1＝i2换路瞬间i1＝iCR1USSCi2iCuC+－R2i1解：

∵t

＝0－，电路稳态。

C

相当于开路，i1(0－)=i2(0－)=US/(R1+R2)=2mAuC(0－)=i2(0－

)R2=6V在S断开的瞬间，根据换路定律有：

uC(0－)=uC(0+

)=6V,而i2(0+)=0i1(0+

)=iC(0+)=[US－uC(0+

)]/R1=2mAuC+－R1USSCiLiCuC+－R2解：

∵t=0－，电路稳态

C

开路，L短路,iL(0－)=US/(R1+R2)uC(0－)=iL(0－

)R2例3、换路前电路已处于稳态，

t＝0时S断开,求uC(0+

)、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+)、iL(0+)。LuL

在S闭合的瞬间，根据换路定律有：

uC(0－)=uC(0+

),iL(0－

)=iL(0+)

所以有等效电路：+－R2uC(0+)iL(0+)uR2(0+)iC(0+)iC(0+

)=－iL(0+

)=－US/(R1+R2)uR2(0+

)=iL(0+)R2＝uC(0+

)uL(0+

)=uC(0+

)－uR2(0+

)=0第三节R、C串联电路的暂态过程

零输入响应零状态响应

完全响应及其两种分解方式一、零输入响应

如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压电流，这是因为储能元件要释放能量。因此，将电路中无输入信号作用时，由电路内部在初始时刻的储能所产生的响应称为零输入响应。1、换路后电路的微分方程S在1位置

uC(0)=US(初始条件)S在2位置

uR(t)+uC(t)=0∵uR(t)=i(t)R

i(t)=－CduC(t)/dt

∴得到一阶常系数线性齐次微分方程+－SiuCRUS12uR2.解微分方程RCduC(t)／dt+uC(t)=0∴特征方程:RCP+1=0P=－1/RCuC(t)=Ae－t/RC∵uC(0)=US∴有A=US∴通解为uC(t)=USe－t/RC令它的通解形式为:uC=Aept代入方程得:(RCP+1)Aept

=0

显然uC、i、uR

都是按同样的指数规律变化的，且都是按指数规律衰减，最后趋于零。i(t)=CduC(t)/dt

=Cd(USe－t/RC)／dt=－(US/R)e－t/RCuR(t)=i(t)R=－US

e－t/RC

令τ=RC，称为R、C串联电路的时间常数，单位s。变化曲线为:u、iUS

uC(t)Us/R

i(t)－US

uR(t)t

uC(t)=USe－t/RCO2.时间常数

从上面的变化规律可知,过渡过程的快慢与RC有关,τ=RC

τ值越小,暂态过程进行得越快；

τ值越大,暂态过程进行得越慢。当t＝τ时：

uC(τ)=USe－τ/τ

=USe－1

=0.368US

也就是说，零输入响应的初始值经过一个τ

，衰减为原来的36.8％。

一般在t＝(3～5)τ时uC(t)的值已很小,可认为暂态结束。USuC0.368USτ1tτ1

＜τ2

＜τ3τ2τ3O

二、零状态响应

与零输入相反，如果在换路前储能元件没有能量储存，这种状态称为零状态。因此，将这种零初始状态的电路接通激励源时，电路中的响应就叫做零状态响应。1.换路后的微分方程

S在1位置

uR(t)+uC(t)=

USuR(t)=i(t)Ri(t)=－C[duC(t)／dt]

得到一阶常系数线性非齐次微分方程+－SiuCRUS12uRS在2位置uC(0)=0(初始条件)2.解微分方程RCduC(t)/dt+uC(t)=USuC(∞)=US∵

uC(0)

=0uC(t)=US(1－e)－t/RC令τ=RC

uC(t)=US(1－e)

－t/τi(t)＝CduC(t)／dt=(US／R)e－t/τuR(t)＝i(t)R

＝USe－t/τ

显然i、uR

是按指数规律衰减，最后趋于零。uC随t不断增加，最后趋于US。u、iUSUS/RiuRuCt

τ反映RC电路充电的速度。一般，经过（3～5)τ的时间，可认为暂态结束。uC(t)=US(1－e)－t/τOuUS0.632USuC(t)tτuC(t)=US(1－e－1)＝0.632US当t=τ时O+－uCRUS例、已知R=103kΩ，US=100V，C=10μF,换路前电路已处于稳态，求开关闭合后5s、10s、30s时的uC值，并画出uC曲线。解：uC(0)=0(初始条件)开关闭合uC(t)=US(1－e)－t/RC=100(1－e－0.1t)

t=5suC=39.4V

t=10suC

=63.2V

t=30suC

=95Vu/VuC(t)t100O

换路前,储能元件有储能,即非零状态,

这种状态下的电路与电源接通，储能元件的初始储能与外加电源共同引起的响应称为全响应。三、完全响应及其两种分解方式

对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加。

全响应=零输入响应+零状态响应1.换路后的微分方程t=0,S闭合uR(t)+uC(t)=US

初始条件为uC(0+)=uC(0－)=U0

RC[duC(t)／dt]+uC(t)=US+－USSi(t=0)

uRuCRC

得到一阶常系数线性非齐次微分方程2.解微分方程通解形式为:uC(t)=US+Ae－t/τ∵uC(0)=U0∴U0=US+A,A=U0－US所以RC电路的全响应为:uC(t)=US+(U0－US)e－t/τRC[duC(t)／dt]+uC(t)=US3.对全响应的讨论(1)此时电容将放电，最后达到稳态值US。

全响应＝稳态解+暂态解

U0<US

U0>US

此时电容将充电，最后达到稳态值US。uC(t)=US+(U0－US)e－t/τU0U0USU0>USU0<US放电充电

变化曲线tuCO

全响应=零输入响应+零状态响应(2)uC(t)=US+(U0－US)e－t/τ=US

－USe－t/τ

+U0e－t/τ

=US(1－e－t/τ

)+U0e－t/τ

可分别求零输入响应（令电源为零）；零状态响应（令初始值为零），然后求叠加。+－USS1i

uRuCR1C例、已知R1=R2=10Ω，US=80V，C=10μF,t=0开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，求uC的变化规律。(C上初始能量为零)S2解：(1)0<t<0.1msR2uC(0+)=uC(0－)=0零状态响应uC(t)=US(1－e)－t/R1C=80(1－e－10000t

)V

t1=0.1msuC(t1)=50.56V(2)t>0.1msuC(t1+)=uC(t1

－)=50.56V

全响应uC(t)=US+(U0－US)e－t/τ=

80V+(50.56－80)

e－t/τV

τ=(R1+R2)C=2×10－4suC(t)=80V－29.44e－5000(t－t1)V第四节求解一阶电路的三要素法

一阶电路求解一阶电路的三要素法三要素公式说明例题

只含有一个（或者可以化为一个）储能元件的线性电路，无论是简单的，还是复杂的，它的微分方程都是一阶常系数微分方程,这种电路称为一阶电路。一、一阶电路

对于一阶电路，它的时域响应是从初始值开始，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间常数τ。

因此将初始值、稳态值、时间常数τ

称为一阶电路的三要素。二、求解一阶电路的三要素法用f(t)表示电路中的某一元件的电压或电流,f(∞)表示稳态值,f(0+)表示初始值，τ为时间常数。全响应=稳态分量+暂态分量f(t)=f(∞)+Ae－t／τf(t)=f(∞)+[f(0+)－f(∞)]e

－t／τ只要求出f(0+),f(∞)和τ

值,即可直接写出暂态过程中电压,或电流的表达式。

f(0+)：uC(0+)和iL(0+)可用换路定律在换路

前的电路求，其它电压和电流要在换路后的电路中求得。

f(∞)：进入稳态后电容相当于开路，电感

相当于短路，可应用电路的分析方法计算电压或电流的稳态值。三、三要素公式说明

时间常数τ：在换路后的电路中求得τ=R0C

R0是换路后的电路中，从C两端看进去的将恒压源短路，恒流源开路后的等效电阻。例1、图示电路中,IS=6mA,C=0.1μF,R1=6kΩ,R2=1kΩ,R3=2kΩ，换路前处于稳态，在t=0时将S闭合,试求uC(t)，画出曲线。SR2R3R1IS解:uC(0+)=uC(0－)C

τ=[(R1+R2)//R3]·C=0.155×10－3s

uC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=8V+(36－8)e－6430t

V=8V＋28e－6430t

VuC

/Vt/s368O例2、图示电路中，IS=8mA，C=4μF,R1=2kΩ，R2=3kΩ，R3=1kΩ，R=5kΩ，E=10V，换路前处于稳态，在t=0时将S由1打向2，试求uC(t)，画出曲线。SRR2R3R1ISE解:uC(0+)=uC(0－)C

τ=[(R1//R2)+R3]C=8.8×10－3s

uC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=6V+(12－6)e－114t

V=6V+6e－114t

V12uC

/Vt/s126OrUSCiKiCuC+－Rir例3、图中电路原已稳定，求开关闭合后的

uC

和iK。解：iC＝－uC(t)／R

＝－(US／R)e－t/RCir=US/ruC(0+)=uC(0－)=USuC(∞)=0

uC(t)=USe－t/RCτ

=RC例4、图示电路中U=20V,R=50kΩ,C=4μF,在t=0时闭合S1,在T=0.1s时闭合S2,试求S2闭合后的uC(t),并画出曲线,设S1闭合前uC=0。＋－US1S2CuC(t)RR解:S1闭合后:uC(0+)=uC(0－)=0

uC(∞)=U

=20Vτ1=RC

=0.2suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=20(1－e－5t)V当t＝0.1s时uC(0.1)=20(1－e－5t)V

≈7.87V

τ2=(R//R)C=2.5×104×4×10－6s=0.1suC(t)=uC(∞)+[uC

(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=20V－12.13e－10(t－0.1)V＋－UCuC(t)RRS2闭合后:uC(0+)=7.87VuC(∞)=U=20VS1S2变化曲线如图uC20V7.87VO0.1stτ1＝0.2sτ2＝0.1s例5、已知，U=10V,R1=10kΩ,R=15kΩ,C=50μF,换路前处于稳态，在t=0时打开S1,经过1s后打开S2,试求uC(t)，并画出曲线。＋－US1S2CuC(t)R1R解:uC(0+)=uC(0-)=U/2=5V

uC(∞)=0τ1=RC=0.75suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)-uC(∞)]e－t/τ

=5e－1.3tVR＋－US1S2CuC(t)R1RR当t=1s时uC(1)=5e－1.3V

≈1.36VS2打开:uC(0+)=1.36VuC(∞)=0V

τ2=(R+R1)C=2.5×104×50×10－6s=1.25suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=1.36e－0.8(t－1)V变化曲线如图uC5V1.36VO1st

τ1=0.75s

τ2=1.25s例6、已知，U=90V，R=60Ω，r=30Ω,C=10μF,换路前处于稳态，在t＝0时闭合S，试求uC(t),经过0.4ms后又打开S，试求uC(t)。＋－USRRrrC解:S闭合前:uC(0+)=uC(0－)=UR/(R+r)=60V

=60V－30V=30V＋－USRRrrCuC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=30V+30e－2500tV当t1=0.4ms时uC(t1)=30V+30e－2500t1

V

≈41VuC(∞)=UR/(R+r)=60V

uC(t)=60+(41－60)e－(t－t1)/τ′V

=60V－19e－2000(t－t1)V第五节R、C串联电路对矩形波电压的响应

微分电路积分电路1.矩形波脉冲UtutPT宽度tP幅度U周期T若在RC串联电路两端加矩形脉冲在0～t1C

充电在t1～

t2C

放电在矩形脉冲作用下，RC电路不断充放电。t2t1O一、微分电路2.电路的构成(1)τ<<tp（tp为脉冲宽度）(2)从电阻两端取输出CuiuoR3.输入输出关系由于τ<<tP,C充放电时间很短。

uC:ui=U,C充电，很快uC=U

ui=0,C放电，很快uC=0

uo:uo=uR=ui－uC工作波形如图所示ttuiuoUU－UtptuCUOOO微分电路的作用是将矩形波变成为尖脉冲

ui=uC+uo≈uC

uo=Ri

=RC

duC/dt

=RC

dui／dt

uo与ui之间是一种微分关系。二、积分电路1.电路的构成

τ>>tP(tP为脉冲宽度)(2)从电容两端输出uiRuRuoC2.输入输出关系

由于τ>>tP,所以充放电很慢,

uC:ui=U,C充电，充电时间tP<<τ。

ui=0,C

放电，放电时间tP<<τ。

uo:uo=uC=ui－uR

<<uiuotuitUtp工作波形如图OO积分电路可以将矩形波转换为三角波输出。ui=uR+uo≈uR(uo<<uR)=iR=RCduC/dt=RCduo/dt

uo≈

1/RC∫uidtuo与ui之间是一种积分关系。第六节R、L串联电路中的暂态过程

R、L串联电路的零输入响应

R、L串联电路的零状态响应得出特征方程换路前，开关S长期合在2的位置，电感元件已有电流。在t=0时开关合在1的位置，并且电感元件的电流的初始值为微分方程通解：U+-SRL21t=0+-+-令通解为：代入上式,1.应用经典法一、RL电路的零输入响应由初始条件求得:其中，为电路的时间常数。2.应用三要素法求的变化规律1)确定初始值2)确定稳态值3)确定电路的时间常数U+-SRL21t=0+-+-(2)变化曲线OO-UUU+-SRL21t=0+-+-3.RL直接从直流电源断开(1)可能产生的现象1)刀闸处产生电弧2)电压表瞬间过电压U+-SRL21t=0+-+-U+-SRL21t=0+-+-V1.变化规律

三要素法U+-SRLt=0+-+-二、RL电路的零状态响应2.

、、变化曲线OO时间常数L越大，R越小，电感在达到稳态时的储能越多，这会使得暂态过程变慢。例1、在图示电路中，已知L=1mH，R=10Ω,电压表内电阻RV=1.5kΩ,电源电压U=10V，在t=0时开关S断开，S断开前电路已处于稳态，求S断开后电压表两端电压的初始值及变化规律。VRVSabLRiLt=0U解：iL(0－)=U/R=1AiL(0+)=iL(0－)=1AS断开的瞬间uab(0+)=－iL(0+)RV=－1500V

uab(∞)=0

τ=L/(R+RV)=1×0.001/(10+1500)s=0.66×10－8suab(t)=uab(∞)+[uab(0+)－uab(∞)]e－t/τ

=－1500e－1.51×1000000t

V说明:换路的瞬间,电压表两端出现了1500V的高压,尽管暂态时间很短也可能使电压表击穿。通常在切断电感电路时,在线圈两端反并联一个二极管,以限制断开时的电压，保证电路中电气设备和操作人员的安全,电路如图所示。VDSLRit=0U例2、换路前处于稳态，t=0，断开S，求iL(t)。＋－6V10mH10ΩiL解:

iL(0+)=iL(0－)=0.24AS5Ω5Ω5Ωτ

=