北师大版高一数学必修第一册2019版-分层随机抽样的均值与方差教学设计

《分层随机抽样的均值与方差》教学设计教学设计一、创设情境某学校高一年级，如果只知道甲班和乙班的数学平均成绩和方差，以及甲班和乙班的人数，而缺少每名学生的成绩，如何计算整个高一年级数学的平均成绩和方差？教师提出问题，引入本节课的课题.设计意图：如果不知道样本中的每一个数据，只知道分层随机抽样中各层的平均数和方差，以及各层所占的比例(权重)，如何计算样本的平均数和方差？这是一个新问题.提出问题，引发学生思考，激发学生学习兴趣，引入课题.二、温故知新.我们前面学习了哪些抽样的方法？如何选择恰当的方法进行抽样？提示：简单随机抽样与分层随机抽样，当总体有明显的层次差异时用分层随机抽样..如何计算样本数据的均值、方差和标准差？(1)如果在n个数据中，\出现f1次，x2出现f2次…、出现fk次(f+f2+.・.+fk=Q，那么这n个数的加权平均数是x--(xf+xfH Fxf).n11 22 kk(2)方差：S2-—P(x—x>+(x—x>++(x—x)2.nL1 2 n-(3)标准差：s-p(x—x)2+(x—x)2+…+(x—x)2].VnL1 2 n」三、探索分层抽样的平均数例1、某公司的高收入员工月平均工资是11000元，中等收入员工月平均工资是6500元，低收入员工月平均工资是2900元.能否认为该公司员工的月平均工资收入是11000+6500+2900-6800(元)？这样计算平均数的方法合理吗？3教师追问：(1)如果该公司有90名员工，其中高收入者、中等收入者和低收入者分别是30名，这种计算方法合理吗？（2）如果该公司有10名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者，这种计算方法合理吗？先找几名学生分析，根据学生分析的情况进行点评总结.对于问题（1），由于高收入者、中等收入者和低收入者占的比例相同，这种计算方法是合理的.对于问题（2），由于每一类员工所占比例不同，特别是高收入者很少，他们的月平均工资对该公司员工的月平均工资影响较小.因此，上述计算方法显然不合理.设计意图：让学生从感性上认识平均数并不是简单的几个数字相加除以数字的个数，还要考虑数字所占的比例（权重）.例2、甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率?教师追问：（1）根据给出的信息，你能计算出这家餐馆的好评率吗？（不能计算）（2）假设网站A有100人进行评价，网站B也有100人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？（好评率为98%+85%=91.5%）2（3）假设网站A有100人进行评价，网站B有200人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？（好评率为-x98%+2°。x85%x89.3%）300（4）假设网站A有勺人进行评价，网站B有n2人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？（好评率为：设在网站A评价该餐馆的人数为n「其中给出好评的人数为mJ在网站B评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2.由题目条件,空=98%，m=85%.综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为n n

0.98n+0.850.98n+0.85n 1 2

n+n=0.98———+0.85•—―n+nn+n其中，和分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其n+nn+n权重乘积的和.所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率.设计意图：通过问题设计，给学生搭建台阶，使问题的跨度减小，引导学生逐步深入思考，最后得出结论这样使一般的学生比较容易接受.抽象概括：1.一般地，将样本a1,a2,…巴和样本b1,(…,bn合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为a+a+•••+a+b+b+•••+bma+a+•••+anb+b+•••+b-1 2 m 1 2 n= ,-1 2 m+ ,-1 2 mm+n m+nm m+nnm_n_= x+ x.m+n1m+n2其中样本aJa2,…,am的平均数为『样本b1,4,…,bn的平均数为X2，记w=———,w=---称为权重.1m+n2m+n2.设样本中不同层的平均数和相应权重分别为X1,X2,…,Xn和w1,w?,…,wn,则这个样本的平均数如何计算？设样本中不同层的平均数和相应权重分别为X1,X2,…,Xn和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为wa+w2X2+…+wnX/为了简化表示，引进求和符号，记作wx+wX+ +wX=乙wxi=1四、探索分层抽样的方差例3、甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么

甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？让学生自己完成甲、乙两班全部90名学生的平均成绩的计算，教师可以找两名学生板演计算过程.解：设甲班50名学生的成绩分别是a1,a2，…,a50，那么甲班的平均成绩、权50905090，x=〃「a+a50=80.5（分）,攻甲 50 甲（a一x）+（a一x）H b（a一x）用一々―S 2―50 50―J―500.设乙班40名学生的成绩分别是b1,b2,…,bJ那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"一 b+bH Fb （八） 40X= 240-=85\分）,W=\o"CurrentDocument"乙 40 乙90（b-X）2+（b-X）2+…+（b-X）2s2二 乙 2 乙 40 乙一二360乙 40如果不知道a,a2,…,a^和b1,b2,…,b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为甲甲乙乙9090X=3X+3X=—x80.5+—x85=82.5（分）甲甲乙乙9090提出问题：如何计算90名学生的方差?先让学生进行充分的思考讨论，然后引导学生利用方差公式进行推导.全部90名学生的方差可以用式子进行计算，s2=w甲50=——xl90Ls2进行计算，s2=w甲50=——xl90Ls2甲因此，+（X甲一X}]s2+乙（x乙一X）2忡s2+（无乙一X）2]40500+（80.5-82.5）2]+痴x[360+（85-82.5）250x500+50x4+40x360+40x6.2590根据方差的意义，全X442.78.部90名学生的方差为，它与运用式子①得出的结果是否一致呢?TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"一(「D+艺(b—D901i i，它与运用式子①得出的结果是否一致呢?i=1 i=1实际上艺(a一x)2=光(a一x+x一x)2i=1 i=1=R^(^ax^)2+2(a.—x甲)(x'甲-x)+(x甲-x)2]i=1\o"CurrentDocument"=R(a-x)+2(x-x)R(a-x)+50(x-x)2.i甲 甲 i甲 甲i=1 i=1因^为(a—x)=a+a+,•,+a-50x=0,i=1所以艺(a一x)2=X(a-x)+50(x-x)2.i=1 i=1同理S(b-x)2=X(b-x>+40(x-x>.=1 =1S(a-x》+E(b-x)2于是 ― 90S(a.—x甲)+50(x甲-x)2+S(b-x)2+40(x-x)29050s(a[〈J。(x-040S(b-x»4°(--x)2=X-==i 1 甲 1 X-i=i 1 乙 90 50 90 90 40 90让学生代入公式求全部90名学生的方差教师找两名学生板演计算过程.抽象概括：设样本中不同层的平均数分别为-,x，…,-，方差分别为s2,s2,…,s2，相应1 2n 1 2n的权重分别为31g2,…,3n则这个样本的方差为s2=S3i[的权重分别为31g2,…,3ni=1亍为这个样本的平均数.设计意图：分层随机抽样样本方差公式的推导，运算量比较大，对学生的计算能力要求比较高，教师要根据学生的具体情况，进行必要的引导，帮助学生完成推导过程由于推导过程比较烦琐，推导出公式后，要求学生记住这个公式.五、课堂总结引导学生从两个方面进行归纳：.分层随机抽样的均值与方差公式的推导..分层随机抽样的均值与方差公式的应用.六、课后作业.教材第171页练习第1题..教材第173页练习第1题.板书设计4.2分层随机抽样的均值与方差一、分层随机抽样的均值1.一般地，将样本a1,a2，…巴和样本b1,b2,…,bn合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为a+a+•••+a+b+b+•••+bma+a+•••+a—[ 2 m 1 2 n= -—1 2 mm+n m+nmnb+bH bbm_n_H 1 2 m-- XH x.m+nn m+n1m+n2其中样本a/a2,…,am的平均数为『样本b『',…,bn的平均数为X2.记w————,w——--称为权重1m+n2m+n2.设样本中不同层的平均数和相应权重分别为X,,…,Xn和％,吗，…,匕,则这个样本的平均数为w1^+w2X2+…+wnX/为了简化表示，引进求和符号记作WX+wXH bwX=£WXi-1二、分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为工,X，…,无，方差分别为S2,S2,…,S2，相1 2n 1 2n应的权重分别为％32，…,3n，则这个样本的方差为S2=£①[s；+(X-X>],i=1其中X为这个样本的平均数教学研讨本案例通过设计问题情