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文档简介

柱面坐标系球面坐标系★重积分计算的基本方法——累次积分法1第四节一、平面图形的面积及立体体积

二、曲面的面积

三、物体的质心

四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用第十章2例:设由锥面计算的体积.解法1:解法2:31.能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是对区域具有可加性.分布在有界闭域上的整体量.2.用重积分解决问题的方法-----元素法问题:满足什么条件的量可用重积分解决？4元素法的步骤：把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.元素法也可推广到三重积分上：5设曲面S的方程为曲面S在xoy面上的投影为区域D，如图，设小区域点(x,y)为S上过点M(x,y,z)的切平面，以的边界为准线，母线平行于z轴的小柱面，截曲面S为截切平面为则有则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.6---曲面S的面积元素因为则有7abxy83.设曲面的方程为：曲面面积公式为：2.设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得曲面面积公式为：即1.设曲面的方程为：

9xzy解：xoyP175T1例1.求球面，含在圆柱体内部的那部分面积.曲面方程：由对称性知：10xoy所求面积为：11例2.求半径为a的球的表面积.解：取直角坐标系，使上半球面的方程为则上半球面在xoy面上的投影区域D可表示为由得12函数在闭区域D的边界上不连续，这是反常的二重积分，所以先取区域算出上的球面面积后，令取的极限就得半球面的面积，13利用极坐标，得故即为半球面的面积.因此整个球面的面积为14三、物理应用15则得：则薄片的质心坐标为：16因闭区域D关于y轴对称,所以质心必在y轴上,于是解:1718古鲁金第二定理：平面有界闭区域D绕该平面内不与它相交的直线旋转而成的旋转体，其体积等于D的面积与D的形心坐标所划出的圆周之长的乘积.证明：用元素法.如图,设D绕x轴旋转，旋转体的体积为：由于D的形心坐标为：故19因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.20得：21例4.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.解:

建立坐标系如图,半圆薄片的质量Dxoy22232425G

为引力常数推广到空间立体

：设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,得：其密度函数26小结曲面面积公式为：设曲面的方程为：

27四、物

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