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文档简介

§6.2相似矩阵一、相似矩阵的概念定义1设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P

使则称B相似于A对A进行运算称为对A

进行相似变换，可逆矩阵P

称为把矩阵A变成矩阵B

的相似变换矩阵。也称过渡矩阵。或称矩阵A与矩阵B

相似，记作B

～A证明定理1若n阶方阵A与B相似，则A、B有相同的特征多项式与特征值。二、相似矩阵的性质注意：A

～B时，A，B属于同一特征值的特征向量未必相同。其关系如下：当A的属于特征值的特征向量为x时，B的属于特征值的特征向量为证明则对上式两边右乘P－1，得所以B的属于特征值的特征向量为（其中P为从A到B的过渡矩阵）A

～B推论

若阶方阵A与对角阵把方阵A通过相似变换化为对角矩阵的过程称为相似对角化。矩阵的相似对角化的应用之一：若则证明三、矩阵的相似对角化必要性充分性设A有n个线性无关的特征向量则有相应的特征值，而且满足由于P可逆，所以P的n个列向量即A的n个特征向量线性无关。从而故方阵A与对角矩阵相似。记，则矩阵X一定可逆，且满足关系式即定理3方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。此定理也适用于如下情况设λ1对应m个线性无关的特征向量x1，x2，…，xm；λ2对应l个线性无关的特征向量y1，y2，…，yl，则向量组x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yl仍线性无关。证明略如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论说明如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵。

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