控制系统的数学模型

2.1控制系统微分方程的编写

2.2传递函数

2.3控制系统的结构图及其等效变换

2.4自动控制系统的传递函数

2.5信号流图

2.6Matlab应用第二章自动控制系统的数学模型

1系统示意图系统框图Remember恒温箱自动控制系统?数学模型基础2系统框图系统构成的要点Back

t

u2

u

ua

n

v

u

t系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态--稳定运动由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。31.定义：

数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。数学模型又分为静态模型和动态模型。静态模型反映系统在恒定载荷或缓变作用下或在系统平衡状态下的特性，现时输出仅由其现时输入所决定，一般以代数公式描述。动态模型反映系统在迅变载荷或在系统不平衡状态下的特性，现时输出还由受其以前输入的历史的影响，一般以微分方程或差分方程描述。在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。例:4

2.建立数学模型的目的

建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。3.建模方法5

微分方程（或差分方程）传递函数（或结构图）频率特性状态空间表达式（或状态模型）

5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应

频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换S=jω频率特性4.常用数学模型6Back6.建立数学模型的基础微分方程（连续系统）机械运动:牛顿定理、能量守恒定理电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律热学： 传热定理、热平衡定律

数学模型的准确性和简化差分方程（离散系统）线性与非线性分布性与集中性参数时变性7Back机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理阻尼

B质量

M弹簧

K7.机械运动系统的三要素8Back8.电气系统三元件电阻电容电感电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。9分析法建立系统微分方程的一般步骤：分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定待研究系统的输入量和输出量。将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量和输出量。（所谓单向环节是指其后面的环节无负载效应，即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有影响）根据支配系统动态特性的规律，从系统的输入端开始，依次列写组成系统各环节的运动方程式，组成联立方程组。2.1控制系统微分方程的编写2.1.1线性元件的微分方程10对联立方程组进行简化、线性化和增量化，并消去中间变量，得到只包含系统输入量和输出量的方程式，即系统的输出模型。将该方程式化为标准形式。即将与输入量有关的各项放在方程的右边，而与输出量有关的各项放在方程的左边，并将各导数项按降幂排列。11R-L-C串联电路示意图由电阻R、电感L、电容C组成的R-L-C电路，输入量为ur（t），输出量为uc（t），求该电路的微分方程（数学模型）12基本的电工学规律电阻上的电压和电流的关系（欧姆定律）电感上的电压和电流的关系电容上的电压和电流的关系基尔霍夫电压定律（回路电压定律）基尔霍夫电流定律（节点电流定律）13R-L-C串联电路的数学模型根据基尔霍夫定律：消去中间变量：此即R-L-C电路的数学模型（输入－输出模型），它描述了输入ur（t）和输出uC（t）之间的动态关系。14电工电子系统的特点在电工电子系统中，通常研究电压与电流之间的因果关系。组成电工电子系统的基本元件有：电阻、电感、电容和运算放大器等。电阻将电能转化为热能消耗掉，电感通过磁场储能，电容通过电场储能，运算放大器则通过与电阻、电容、电感等组成不同的电路拓扑，实现对电压和电流的变换。

15机械平移系统示意图由弹簧－质量－阻尼器组成的机械平移系统，外力f（t）为输入信号，位移y（t）为输出信号，列写其运动方程式。k－弹簧的弹性系数；m－运动部件的质量；－阻尼器的粘性摩擦系数。16机械平移系统的基本关系假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：阻尼器的阻尼力为：17机械平移系统的数学模型根据牛顿定律： 可得此即机械平移系统以外力f（t）为输入信号，位移y（t）为输出信号的运动方程式，即数学模型18机械平移系统的特点在机械系统中，通常研究力（或转矩）与位移（或角位移）的因果关系。组成机械系统的基本元件有：弹簧（或弹性轴）、阻尼器和运动部件。阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置，所产生的阻力与运动速度成正比。阻尼器不储存能量，它将动能转化为热能消耗掉。

19相似系统（1）电工系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统，但它们的微分方程却具有相同的形式，称为相似系统。20相似系统（2）相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路系统的动态特性研究机械系统的动态特性。由于电工电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因此常采用电工电子电路来模拟其它实际系统，这种方法称为电子模拟技术。在建立系统的数学模型后，通过数字计算机求解系统的微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性，称为计算机仿真技术。21恒定磁场他激直流电动机示意图u（t）－电枢电压，为控制输入；ml（t）－作用在电动机轴上的总负载转矩，为扰动输入；（t）－电动机的转角，为输出量。假设电机轴上总转动惯量J是常数，各种机械转矩全部归并到负载转矩中，传输轴是刚性轴，电动机电枢电路的电阻、电感全部归并到电枢总电阻R、电感L中。22恒定磁场他激直流电动机的基本关系根据基尔霍夫定律、牛顿定律、直流电机特性：

R，L－电枢回路总电阻和总电感，，H；

i－电枢电流，A； e－电动机反电势，V；

u－电枢电压，V； Ce－电势系数，V.s/rad；

J－电动机轴上总转动惯量，kg.m2；

m，ml－电磁转矩、负载转矩，N.m；

Cm－转矩系数，N.m/A。23恒定磁场他激直流电动机数学模型化简

24恒定磁场他激直流电动机数学模型化简

25恒定磁场他激直流电动机的数学模型（1）方程联立求解，消去中间变量i，e，m：－电动机的机电时间常数，s；－电动机的电磁时间常数，s；－电枢电压作用系数，rad/(V.s)

－负载转矩作用系数，rad/(N.m.s)。Ce－电势系数，V.s/rad；Cm－转矩系数，N.m/A。26恒定磁场他激直流电动机的数学模型（2）若系统的输出量为转速n（r/min），：则不同物理系统可以有相同形式的数学模型；同一系统如果所选的输入量、输出量不同时，数学模型也会不同。27工程实践中遇到的系统和元件的输入－输出特性或多或少存在着非线性。例如：放大器在大信号输入时输出出现饱和；磁化曲线有饱和和磁滞回环；齿轮传动中有间隙。为了便于研究，对非线性程度不严重的系统，总是尽可能地将非线性数学模型转换成近似的线性模型。2.1.2非线性微分方程的线性化

28

线性化问题的提出有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统优点：线性化定义

将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。29以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。增量（微小偏差法）假设：

在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程

局部线性增量方程1

微小偏差法(增量法)302

增量方程增量方程的数学含义将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。313

多变量函数泰勒级数法增量方程静态方程324

单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程33直流他激发电机示意图Rf－激磁绕组的电阻，；Lf－激磁绕组的电感，H；Wf－激磁绕组的匝数；uf（t）－激磁电压，V；if（t）－激磁电流，A；eg（t）－发电机电枢电势，V；－气隙磁通，Wb；－发电机角速度，rad/s。34直流他激发电机的基本关系假设发电机的转速为恒值，且磁滞、涡流、漏磁效应忽略不计。根据基尔霍夫定律及发电机特性，有：35磁化曲线线性化（1）

描述的是如右图所示的磁化曲线，它是非线性曲线。为获得非线性系统的线性化模型，采用小偏差线性化方法（或称小增量线性化方法）。假设发电机工作在某个平衡工作点P附近时，各个变量相对于该点的值偏离得很小，在这个平衡工作点附近可用切线近似代替曲线。36磁化曲线线性化（2）设平衡工作点为P（if0，0），在P的邻域内将＝f（if）展开成泰勒级数：当（if－if0）足够小时，可略去二阶以上各项：0－发电机工作在P点处磁通的稳态值，Wb；if0－发电机工作在P点处激磁电流的稳态值，A；K2－磁化曲线在平衡工作点P处的斜率。小偏差线性化方法就是在平衡工作点附近的微小范围内，用该点处的切线代替曲线来获得近似的线性化模型。这里，K2与平衡工作点的位置有关。37直流他激发电机的数学模型（1）38直流他激发电机的数学模型（2）公式：令：eg0＝K10－发电机工作在P点时电枢电势的稳态值；uf0－发电机工作在P点时激磁电压的稳态值；uf，eg，if：uf，eg，if相对于平衡点处稳态值的微小增量。39直流他激发电机的数学模型（3）经过简化、线性化、增量化的直流他激电动机的数学模型：－工作点P处的微偏时间常数，s；－工作点P处的微偏电压放大系数。Tf，Kg与磁化曲线在平衡工作点P处的斜率K2有关。简便模型（省略）：40自动平衡搜索车M，m－小车和摆的质量，kg；l－摆杆的长度，m；u（t）－外作用力，N；z（t）－小车移动距离，m；（t）－摆杆相对于直立方向的偏离角，rad。41自动平衡搜索车说明（1）自动平衡搜索车由小车及倒置于其上的摆（倒置摆）组成。它实际上是一个空间起飞助推器的姿态控制模型。姿态控制的目的是保持空间起飞助推器在垂直位置上。因此控制系统的作用是在施加控制作用u（t）后，使摆直立不倒。42自动平衡搜索车说明（2）为研究方便，假设小车与摆仅作平面运动，摆杆质量、风力、摩擦等略去不计。摆的运动可看作由牵引运动（小车平移）和相对运动（摆杆转动）的合成。摆的水平运动为：

z＋lsin。在垂直于摆杆的方向，摆的运动也由两部分合成：一部分为小车平移运动在该方向的投影zcos；另一部分为摆的圆周运动l。43自动平衡搜索车基本关系根据牛顿定律，沿水平方向：在垂直于摆杆方向：式中，g－重力加速度，m/s2。44自动平衡搜索车基本关系简化（1）在自动平衡搜索车的运动方程式中，有变量的乘积和三角函数－非线性方程。线性化：假设摆只在垂直位置附近作微小的摆动。因为控制系统的目的在于使摆保持直立不倒，因此假设与实际情况相符。闭环系统反馈的作用是力图抑制或消除偏差，因此可以认为，d/dt接近于零，从而可忽略微不足道的高次项。如2，（d/dt）2，d/dt等，而保留，d/dt项。45自动平衡搜索车基本关系简化（2）三角函数也可同样简化：微分方程可近似为：46自动平衡搜索车的数学模型（1）

47自动平衡搜索车的数学模型（2）

48自动平衡搜索车的数学模型数学模型：上述模型不适用于开环系统。因为如果没有u（t）的作用。摆就会倒下，这时就不符合，d/dt接近于零的假设。49应用小偏差线性化方法应注意的问题所得的数学模型只有在所取的平衡工作点附近的小范围内才能保证线性化的准确性。通过小偏差线性化方法，通常得到的是经过简化、线性化、增量化的微分方程，即使变量前省去了“”，也应将变量理解为增量。经过增量化以后，相当于把坐标原点移到平衡工作点,这时各变量的初始条件为零。当系统有本质非线性特性时（非线性特性有间断点、转折点和非单值关系），不能采用小偏差线性化方法。50在零初始条件(

)下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。系统(或环节)的输入量系统(或环节)的输出量

输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0

时，输出量及其各阶导数也均为0

2.2传递函数图2-8传递函数方框图51

R-L-C无源电路网络的传递函数

所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：

传递函数求解示例

52

质量-弹簧-阻尼系统的传递函数

所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：53初始条件为零时微分方程拉氏变换系统的传递函数!传递函数的直接计算法2

系统传递函数的一般形式543

特征方程N(s)=0系统的特征方程特征根 特征方程决定着系统的动态特性。

N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K——系统处于静态时，输出与输入的比值。当s=0时系统的放大系数或增益554零点和极点M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。565零点、极点分布图传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“×”表示576单位脉冲响应g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）系统输出单位脉冲函数脉冲响应函数传递函数系统动态特性587结论传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定。59(1)传递函数是微分方程经拉氏变换导出的，而拉氏变一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。(2)传递函数只与系统本身的结构和参数有关，与系统输入量的大小和形式无关。(3)传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统是处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。(4)传递函数是复变量s的有理分式。分母多项式的最高阶次n高于或等于分子多项式的最高阶次m，即n≥m。这是因为实际系统或元件总是具有惯性且能源有限。(5)一个传递函数只能表示单输入单输出的关系。对多输入多输出系统，要用传递函数阵表示。

(6)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。8传递函数的基本性质60控制器常用阻容电路和运算放大器组合来实现，如图所示。运算放大器具有同相(＋)和反相(－)两个输入端，一般采用反相输入。假设运算放大器的输入阻抗与放大倍数为无穷大，则下图网络的传递函数为复数阻抗法612.4.2

典型环节的传递函数设系统有b

个实零点;d个实极点;c

对复零点;e对复极点;v

个零极点b+2c=mv+d+2e=n1

典型环节的产生62比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节纯微分环节63环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。[说明]64Back运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数例1：齿轮传动例2：晶体管放大器2

放大环节/比例环节65Back例1齿轮传动66Back3惯性环节运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数T——环节的时间常数!储能元件！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入例1：弹性弹簧例2：RC惯性环节67例1弹性弹簧68例2RC惯性环节694积分环节运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数！记忆！积分输入突然除去积分停止输出维持不变例1：电容充电例2：积分运算放大器70!积分环节具有明显的滞后作用如当输入量为常值A时，输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。！改善系统的稳态性能71Back例1电容充电72Back例2积分运算放大器735微分环节理想微分实际微分惯性T0KT有限运动方程式：传递函数：传递函数：例1：测速发电机例2：RC微分网络例3：理想微分运放74Back例1测速发电机!无负载时75例2RC微分网络例3理想微分运算放大器766二阶振荡环节运动方程式：传递函数：

——环节的阻尼比K——环节的放大系数T——环节的时间常数0<<1产生振荡1两个串联的惯性环节不同形式储能元件能量转换振荡例1：机械平移系统例2：RLC串联网络77例1机械平移系统78例2RLC串联网络电路797延时环节运动方程式：传递函数：—环节的时间常数超越函数近似处理例1：水箱进水管的延滞80延迟环节与惯性环节的区别惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。81例1水箱进水管的延时822.3控制系统的结构图及其等效变换

结构图又称方块图或方框图，具有形象和直观的特点。方框图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含以下四种基本单元：

(1)信号线。带有箭头的直线，箭头表示信号传递的方向，线上标记所对应的变量，如图2-23(a)所示。

(2)比较点（或综合点）。表示对两个或两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，可省略不写；“-”表示相减，如图2-23(b)所示。

(3)方框。方框中为元件或系统的传递函数。方框的输出信号等于输入信号乘以方框中的传递函数，如图2-23(c)所示。

(4)引出点（或分支点）。表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号，大小和性质完全相同，如图2-23(d)所示。2.3.1结构图(a)信号线(b)比较点(c)方框(d)引出点X(s)X(s)X(s)X(s)Y(s)=Y(s)B(s)B(s)X(s)Y(s)G(s)X(s)图2-23方框图的基本单元83绘制控制系统方框图的一般步骤：(1)

写出组成系统各环节的微分方程；(2)

求取各环节的传递函数，绘制各环节的方框图；(3)从输入端开始，按信号流向依次将各环节方框图用信号线连接成整体，即得控制系统方框图。

例2-16试绘制如图2-24所示的RC网络的方框图。设输入为u1(t)，输出为u2(t)。解将图2-24所示RC网络视为一个系统，组成网络的元件就对应于系统的元件，选取变量如图2-24所示。根据基尔霍夫定律在零初始条件下对方程取拉式变换图2-24RC网络84将每式用方框图表示，如图2-25所示。从输入量开始，将同一变量的信号线连接起来，得到系统的方框图，如图2-26所示。

U1(s)I1(s)-U0(s)U0(s)I2(s)-U2(s)I1(s)I3(s)-I2(s)U0(s)I3(s)U2(s)I2(s)图2-25各环节方框图U1(s)---I1(s)I3(s)-I2(s)U0(s)U2(s)I2(s)图2-26RC网络方框图851.串联

(2-57)传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，若G1(s)的输出量为G2(s)的输入量，则G1(s)和G2(s)的方框连接称为串联，如图2-27(a)所示。由图2-27(a)可知图2-27方框串联的等效变换R(s)U(s)G1(s)C(s)G2(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)(a)

(b)

消去中间变量，得式中G(s)=G1(s)G2(s)，表明两个方框串联的等效传递函数等于各环节传递函数的乘积，如图2-27(b)所示。这个结论可推广到n个方框串联的情况。2.4.2方框图的等效变换862.并联

(2-58)传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，若它们有相同的输入量，而输出量等于两个方框输出的代数和，则G1(s)和G2(s)的方框连接称为并联。如图2-28(a)所示。由图2-28(a)可知消去中间变量C1(s)和C2(s)，得式中G(s)=G1(s)G2(s)，表明两个方框并联的等效传递函数等于各环节传递函数的代数和，如图2-28(b)所示。这个结论可推广到n个方框并联的情况。

图2-28方框并联的等效变换R(s)G1(s)C(s)G2(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)(a)

(b)

C1(s)C2(s)873.反馈连接

(2-59)传递函数分别为G(s)和H(s)的两个方框，如图2-29(a)形式连接，则称为反馈连接。“+”表示正反馈，可省略，“-”表示负反馈。负反馈连接是控制系统的基本结构形式。若反馈环节H(s)=1，则称为单位反馈。

由图2-29(a)可知消去中间变量E(s)和B(s)，得式中

，称为系统的闭环传递函数，如图2-29(b)所示。

E(s)H(s)C(s)G(s)R(s)C(s)图2-29反馈连接的等效变换R(s)(a)(b)B(s)88

方框图的等效变换法则

求和点的移动

G(s)ABC±求和点后移G(s)ABC±求和点前移G(s)ABCG(s)±G(s)ABC±4.比较点和引出点的移动89

引出点的移动

引出点前移G(s)ACC引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA90R(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)C(s)G2(s)R(s)C(s)H(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R1(s)R2(s)C(s)G(s)R1(s)R2(s)C(s)G(s)R1(s)R2(s)R1(s)G1(s)C(s)G2(s)R2(s)C(s)R1(s)R2(s)R3(s)C(s)R1(s)R3(s)R2(s)R(s)G1(s)C(s)G1(s)表2-1方框图等效变换法则91例2-17试简化图2-30所示系统结构图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。R(s)---C(s)图2-30例2-17系统结构图G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)R(s)---C(s)图2-31(a)等效变换图G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)1解这是一个多回路系统结构图，且有分支点、相加点的交叉，为了从内回路到外回路的逐步简化，首先要消除交叉连接。第一步，将引出点后移，如图2-31(a)所示。92第二步，对图2-31(a)中由G3(s)、G4(s)和H3(s)构成的回路1进行等效变换，简化为图2-31(b)。

第三步，对图2-31(b)中的回路2进行等效变换，简化为图2-31(c)2R(s)--C(s)图2-31(b)等效变换图G1(s)G2(s)H1(s)3R(s)-C(s)图2-31(c)等效变换图G1(s)H1(s)93最后，对图2-31(c)中的回路3进行等效变换，简化为图2-31(d)。

系统的传递函数

R(s)C(s)图2-31(d)等效变换图94例2-18试简化图2-32所示系统结构图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。

解在图2-32中，由于G1(s)和G2(s)之间有交叉的比较点和引出点，不能直接进行方框运算，也不可简单地互换其位置。在此首先要消除交叉连接。

第一步，将引出点后移，简化为图2-33(a)。第二步，对图2-33(a)中由G2(s)构成的内回路进行等效变换，简化为图2-33(b)。最后，对图2-33(b)中的回路进行等效变换，简化为图2-33(c)。R(s)---C(s)图2-32例2-17系统结构图G1(s)G2(s)H1(s)R(s)---C(s)图2-33(a)等效变换图G1(s)G2(s)H1(s)R(s)-C(s)图2-33(b)等效变换图G1(s)R(s)C(s)图2-33(c)等效变换图系统的传递函数

95962.4自动控制系统的传递函数

一、系统开环传递函数

自动控制系统在工作过程中，经常会受到两类外作用信号的影响。一类是有用信号，或称为输入信号、给定值、参考输入等，常用r(t)表示；另一类则是扰动，或称为干扰，常用n(t)表示。输入r(t)通常是加在系统的输入端，而干扰n(t)一般是作用在受控对象上，但也可能出现在其它元部件上，甚至夹杂在输入信号之中。一个闭环控制系统的典型结构可用图2-34表示。

在图2-34中，将H(s)的输出通路断开，即断开系统的主反馈通路，则将前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)称为该系统的开环传递函数。它等于B(s)与E(s)的比值，即E(s)C(s)G1(s)图2-34闭环控制系统典型结构图R(s)-B(s)G2(s)H(s)N(s)开环传递函数=

(2-60)

97二、R(s)作用下系统的闭环传递函数为研究干扰对系统的影响，需要求出C(s)对N(s)之间的传递函数。令R(s)=0，则图2-34简化为图2-36。则干扰N(s)作用下系统的闭环传递函数

由于干扰N(s)在系统中的作用位置与输入信号R(s)的作用点不一定是同一个地方，故两个闭环传递函数一般是不相同的。这也表明引入干扰作用下系统闭环传递函数的必要性。

令N(s)=0，则图2-34简化为图2-35，则输入R(s)作用下系统的闭环传递函数当系统中只有R(s)作用时，系统输出C(s)完全取决于Φcr(s)及R(s)的形式。C(s)G1(s)图2-35R(s)作用下系统的结构图R(s)-B(s)G2(s)H(s)三、N(s)作用下系统的闭环传递函数

(2-61)

(2-62)

C(s)G1(s)图2-36N(s)作用下系统的结构图N(s)-B(s)G2(s)H(s)98四、系统的总输出在分析一个实际系统时，不仅要掌握输出量的变化规律，还经常要关心控制过程中误差的变化规律。误差的大小，直接反映了系统工作的精度，因此得到误差与系统的给定信号R(s)及干扰N(s)之间的数学模型，是非常必要的。在此定义误差为给定信号与反馈信号之差，即当给定输入和干扰同时作用于系统时，根据线性叠加原理，线性系统的总输出等于各外作用引起的输出的总和。五、闭环系统的误差传递函数(2-64)

(2-63)

99对比传递函数(2-61)、(2-62)、(2-63)、(2-64)、(2-66)及(2-67)

，虽然它们各不相同，但分母却完全相同，这是因为它们的特征式Δ=[1+G1(s)G2(s)H(s)]相同，这是闭环控制系统的本质特征，即同一系统的特征式具有唯一性。(2-65)

(2-67)

(1)R(s)作用下的误差传递函数

令N(s)=0，则图2-34简化为图2-37，则输入R(s)作用下系统的误差环传递函数E(s)G1(s)图2-37R(s)作用下误差输出的结构图R(s)-G2(s)H(s)E(s)G2(s)图2-38N(s)作用下误差输出的结构图N(s)+-H(s)G1(s)(2)R(s)作用下的误差传递函数令N(s)=0，则图2-34简化为图2-38，则输入R(s)作用下系统的误差环传递函数(2-66)

(3)

系统的总误差根据线性叠加原理，系统的总误差1002.5信号流图

2.5.1信号流图的定义与术语信号流图是表示控制系统各变量间相互关系的另一种图示方法，将信号流图用于控制理论中，可不必求解方程或进行预先的等效变换就可得到各变量间的关系。因此，当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并根据Mason公式求解系统的传递函数。x1x2x3x4x5x6x7G1G2G3G4G5G6G7-H1-H2-H3-H4图2-39信号流图节点表示变量或信号的点，用符号“o”表示。传输两节点间的增益或传递函数。如图2-39中的G1，G2，G3，G4，G5，G6，G7。支路连接两个节点并标有信号流向的定向线段。支路的增益即是传输。如图2-39中支路x2→x3的传输为G2，支路x3→x2的传输为-H1。

101x1x2x3x4x5x6x7G1G2G3G4G5G6G7-H1-H2-H3-H4图2-40信号流图混合节点既有输入支路也有输出支路的节点。如图2-39中节点x2，x3，x4，x5，x6。通路沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的路径。如果通路与任一节点相交的次数不多于一次，则称为开通路；如果通路的终点就是通路的起点，而与任何其它节点相交的次数不多于一次，则称为闭通路或回路。如图2-39中有五个回路，分别为x2→x3→x2，x4→x5→x4，x5→x5，x2→x3→x4→x5→x6→x2，x2→x3→x5→x6→x2。回路增益回路中各支路传输的乘积。如图2-39中的五个回路增益分别为-G2H1，-G4H2，-H3，-G2G3G4G5H4，-G2G7G5H4。不接触回路如果回路间没有任何共有节点，则称它们为不接触回路。如图2-39中有两对不接触回路，x2→x3→x2与x4→x5→x4，x2→x3→x2与x5→x5。前向通路

如果在从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。如图2-39中有两条前向通路，分别为x1→x2→x3→x4→x5→x6→x7，x1→x2→x3→x5→x6→x7。前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路增益。

源点只有输出支路而无输入支路的节点，也称为输入节点。它与控制系统的输入信号相对应。如图2-39中节点x1。阱点只有输入支路而无输出支路的节点，也称为输出节点。它与控制系统的输出信号相对应。如图2-39中节点x7。102信号流图可以根据系统的运动方程绘制，也可以由系统方框图按照对应关系得出。

2.5.3信号流图的绘制2.5.2信号流图的基本性质(1)

信号只能沿着支路上箭头表示的方向传递。(2)

节点将所有输入支路的信号叠加，并把叠加结果送给所有相连的输出支路。(3)具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的线路，可将其变为输出节点。(4)对于给定的系统，其信号流图不唯一。

103例2-19

试绘制例2-11的信号流图。

解由例2-11的分析得到下列方程组

式中，六个节点分别为I1(s)，I2(s)，I3(s)，U0(s)，U1(s)，U2(s)。其中U1(s)为源点，U2(s)为阱点。按照数学方程式表示的关系，将各变量用相应增益的支路连接，即可得系统的信号流图如图2-41所示。U0图2-41例2-19的信号流图U1I1I3I2U2-1-1-11/R11/R21/C1s1/C2s1104G(s)R(s)C(s)E(s)C(s)G1(s)R(s)-G2(s)H(s)N(s)E(s)C(s)G(s)R(s)-H(s)E(s)C(s)G(s)R(s)-H(s)N(s)C1(s)G11(s)R1(s)G12(s)C2(s)G22(s)G21(s)R2(s)R(s)11G1(s)C(s)-H(s)E(s)G2(s)N(s)R(s)11G(s)C(s)-H(s)E(s)1N(s)R(s)1G(s)C(s)-H(s)E(s)R(s)G(s)C(s)R1(s)G11(s)C1(s)R2(s)G22(s)C2(s)G21(s)G12(s)表2-2控制系统方框图与信号流图对照表

105应用Mason公式，不需要简化处理而通过对信号流图的分析和观察，便可直接得到系统的传递函数。在信号流图中计算输入节点与输出节点间传递函数的Mason公式为2.5.4信号流图的Mason公式式中，n—前向通路的条数；P—总增益；Pk—第k条前向通路的增益；Δ—信号流图的特征式，即—所有回路增益之和；

—每两个不接触回路增益乘积之和；—每三个不接触回路增益乘积之和；Δk—在Δ中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条前向通路特征式的余因子。106例2-20试应用Mason公式，求图2-42所示系统的传递函数C(s)/R(s)。

解由图2-42可知，该系统有一条前向通路，其通路增益为图2-42例2-20的信号流图R(s)1-H11G3G2G4G1C(s)-H2-H3有三个回路，各回路的增益分别为没有不接触回路，则系统的特征式

，，所有回路与前向通路均有接触，则根据Mason公式，系统的传递函数

107例2-21试应用Mason公式，求图2-43所示系统的传递函数C(s)/R(s)。

解由图2-43可知，该系统有四条前向通路，它们的通路增益分别为

有六个回路，各回路的增益分别为其中，有一对不接触回路L1和L2，其增益之积，，系统的特征式

根据Mason公式，系统的传递函数

图2-43例2-21的信号流图R(s)1-H3G1G4G3G5G2C(s)G7G6-H2-H1，，，，，，所有回路与前向通路均有接触，则1082.6Matlab处理系统数学模型

2.6.1多项式求根控制系统的传递函数可以描述为在Matlab中采用行向量表示多项式，行向量内的各元素是按降幂排列的多项式系数。多项式例2-22

设多项式为,试用Matlab语句表示该多项式的根。解MATLAB语句如下%ex2-17P=[12345];r=roots(P)运行结果为r=0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i的系数行向量可以表示如下：

P=[a0,a1,…,an]多项式求根在Matlab中可以用函数roots(P)实现。1092.6.2传递函数控制系统的传递函数可以描述为式中，ai与bi均为常数，且n≥m。这种系统在Matlab中可以表示如下：num=[b0,b1,…,bm]den=[a0,a1,…,an]G=tf[num,den]num为分子多项式，den为分母多项式，G为由num和den构成的传递函数。110解

Matlab语句如下

%ex2-18num=[123];den=[2321];G=tf(num,den)

运行结果为

Transferfunction:s^2+2s+3-----------------------2s^3+3s^2+2s+1例2-23

设传递函数为,试用Matlab语句表示该传递函数。说明：程序第一行是注释语句，不执行；如果给定的分子或分母多项式缺项，则所缺项的系数用0补充。111解当存在多项式乘积时，可用多项式乘积运算函数conv()来处理。调用格式为C=conv(A,B)

其中A和B分别表示一个多项式，C为A和B多项式的乘积多项式。同时，conv()函数的调用允许多级嵌套。

Matlab语句如下

%ex2-19num=[123];den=[2321];G=tf(num,den)

运行结果为

Transferfunction:s^5+56s^4+288s^3+672s^2+720s+288------------------------------------------------s^6+5s^5+9s^4+12s^3+12s^2+5s例2-24设传递函数为,试用Matlab语句表示该传递函数。1122.6.3零极点模型零极点表示

传递函数可以是有理多项式形式，也可以是零极点形式。Matlab提供了零极点形式与有理多项式形式之间的转换函数。调用格式如下:

[z,p,k]=tf2zp(num,den)[num,den]=zp2tf(z,p,k)例2-25

设传递函数为,试将其转换为零极点形式。式中，z、p和k分别为零点列向量、极点列向量和增益；num和den分别表示有理多项式的分子和分母的系数行向量。

解

Matlab语句如下%ex2-20num=[11-12];den=[16116];[z,p,k]=tf2zp(num,den)运行结果为z=-43p=