长沙市第一中学2020届高三数学月考卷七理含解析

湖南省长沙市第一中学2020届高三数学月考卷七理含解析湖南省长沙市第一中学2020届高三数学月考卷七理含解析PAGE27-湖南省长沙市第一中学2020届高三数学月考卷七理含解析湖南省长沙市第一中学2020届高三数学月考卷（七）理（含解析）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2。回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.3。回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡，上,写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。已知全集,,,则（）A. B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】计算，再计算得到答案.【详解】由题，则，故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集和补集的计算，意在考查学生的计算能力.2.已知，则（）A. B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得结论。【详解】∵,∴。故选:B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．3.函数的图像可能是（）．A。 B.C. D.【答案】D【解析】试题分析:∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0，1）点，所以排除A,当时，∴,所以排除B,当时，∴，所以排除C，故选D.考点：函数图象的平移.4。的展开式中,项的系数（）A。20 B.30 C。 D。【答案】C【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】展开式的通项为。所以的展开式中项的系数为，故选：C。【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生对于二项式定理的应用。5。2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述:存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意共包含个基本事件,4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意,20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件，而20以内的孪生素数有共四对,包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为.故选：B。【点睛】本题考查了概率的计算,意在考查学生的计算能力。6.如图所示的程序框图，则输出的的值分别是(）A.，600， B.1200，500，300C。1100，400，600 D.300,500，1200【答案】B【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图得：①，满足；②，满足；③，，不满足.故输出的.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力.7。若，,则A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【详解】【考点定位】本题从常规角度看考查了三角函数的求值,其中重点对倍角公式、平方关系等重点考查。而从答题技巧角度看，只是简单的代入检验，由于给定了，使问题更趋于简单化8.在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为是抛物线上的一点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则()A。2 B.4 C。6 D.8【答案】D【解析】【分析】的外接圆圆心应位于线段的垂直平分线上，得到，计算得到答案。【详解】的外接圆半径为6，的外接圆圆心应位于线段的垂直平分线上,圆心到准线的距离等于6,即有，由此解得，故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中参数的计算,意在考查学生的综合应用能力。9。在三棱锥中，,为等边三角形,,是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：取的中点,连接,则,所以或其补角就是异面直线和所成角．因为为正三角形，所以．设，因为平面，所以，所以，故选B．考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直的性质定理；3、余弦定理．【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点（线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．10。直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任意一点，若(为坐标原点），则下列不等式恒成立的是()A。 B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】不妨设，计算得到,再利用均值不等式得到答案.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为,联立直线，解得，∴不妨设,∵，∴，∵为双曲线上的任意一点，∴，∴，∴(时等号成立），可得,故选：D。【点睛】本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力。11。已知函数，给出下列命题:①,都有成立;②存在常数恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数。以上命题中正确的为（）A.①②③④ B。②③ C.①②③ D。①②④【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案。【详解】①,为奇函数，正确；②,为周期函数，正确；③，令,则，令，得，且为最大值，错误;④当时，，所以在上为增函数，正确。故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性,周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用。12.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为（）A。 B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】求导得到在上递增，在上递减，得到，计算得到答案。【详解】时，；，,∴在上递增，在上递减,，即的值域为.令，则，∵在上递增，在上递减，要使的值域为,则，∴的取值范围是，故选:D。【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力。第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13。已知向量，且与共线,则实数________【答案】【解析】【分析】计算得到，再根据向量共线计算得到答案。【详解】由己知得，，由于与共线，所以，得.故答案为:。【点睛】本题考查了根据向量共线求参数,意在考查学生的计算能力.14。某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在公里的学生有_____人.【答案】360【解析】【分析】直接根据比例关系计算得到答案。【详解】依题意可知，样本中公里的人数所占的比例为，故全体学生中居住地到学校的距离在公里的人数为人.故答案为:。【点睛】本题考查了总体的估计，意在考查学生的应用能力。15.如图所示，在正四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别是的中点,，若在同一球面上,则此球的体积为______。【答案】【解析】【分析】正四棱锥的外接球的球心在它的高上,根据计算得到答案。【详解】由题意得，底面是边长为4的正方形，，故高为2.易知正四棱锥外接球的球心在它的高上，记球心为，则或（此时在的延长线上），在直角中，,解得，所以球的体积为.故答案：.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力。16.如图，在中，为边上的点，为上的点，，则__________。【答案】2【解析】【分析】根据正弦定理得到,计算，化简得到答案.【详解】设.在中，，，由正弦定理得：,即，在中,，由正切定义：，在中,,，由余弦定义：,∴。故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理和三角函数定义解三角形，意在考查学生的数形结合能力和计算能力.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等差数列和递增的等比数列满足:且，（1）分别求数列和的通项公式；（2）设表示数列的前项和，若对任意的恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1）；（2).【解析】【详解】试题分析:（1）由题意，设等差数列的公差为,等比数列的公比为，由,解出,得到；代入方程组得得到;（2）由题意，，由得设，．则当；当;由数列的单调可得,，即可得到实数的取值范围。试题解析：(1）由题意,设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由则，解得（舍去）或所以；代入方程组得因此，综上，.（2)由题意,，由得设当；当；由数列的单调可得，所以.18。如图，三棱柱中，。（1)求证：;（2)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1)见解析；（2）。【解析】【分析】（1）如图，设的中点为，连接，证明平面，得到答案.（2)如图，建立空间直角坐标系,平面的法向量，再利用向量夹角公式计算得到答案。【详解】(1）如图，设的中点为，连接，又设，则.在中，的中点为，故在中,,所以为等边三角形.又的中点为,所以，因为，，且，所以平面，∵平面，所以，又，所以。（2)因为平面平面，平面平面，且，故平面,如图，建立空间直角坐标系，则，故,设平面的法向量，则有令，得，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19。2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降,一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活。为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表：生猪存栏数量(千头）23458头猪每天平均成本（元）3。22。421。91.5（1)研究员甲根据以上数据认为与具有线性回归关系，请帮他求出关于的线.性回归方程（保留小数点后两位有效数字）(2)研究员乙根据以上数据得出与的回归模型:。为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务:①完成下表（计算结果精确到0。01元）(备注:称为相应于点的残差）；生猪存栏数量（千头）23458头猪每天平均成本(元）3。22.421.91.5模型甲估计值残差模型乙估计值3.22.421.761.4残差0000。140.1②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（3）根据市场调查,生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7。5元;生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7。2元若按(2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1。2万头能获得更多利润？请说明理由.（利润=收入—成本）参考公式：。参考数据：。【答案】(1）；(2)模型的拟合效果更好；（3）选择生猪存栏数量1。2万头能获得更多利润。【解析】分析】（1)利用公式直接计算得到答案.（2）计算得到，得到答案。（3）根据模型分别计算利润，比较大小得到答案.【详解】（1）由题知:，，，故.（2）①经计算,可得下表：生猪存栏数量(千头）23458头猪每天平均成本(元）3。22.421.91。5模型甲估计值2.802。552。302。051.30残差0。400.20模型乙估计值322。421.761。4残差0000。140。1，因为，故模型拟合效果更好。（3)若生猪存栏数量达到1万头，由(2）模型乙可知，每头猪的成本为元，这样一天获得的总利润为（元);若生猪存栏数量达到1。2万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为元,这样一天获得的总利润为（元），因为,所以选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润。【点睛】本题考查了回归方程的计算和应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足。（1）求出动点的轨迹的标准方程;(2）设动直线与曲线有且仅有一个公共点，与圆相交于两点（两点均不在坐标轴上），求直线的斜率之积。【答案】(1）；（2)。【解析】【分析】（1)计算得到，根据，计算得到答案.（2)讨论直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况，计算得到答案.【详解】（1）因为，即所以，所以又因为，所以,即，即。所以曲线的标准方程为.（2）当直线的斜率存在时，设的方程为。由方程组得.∵直线与椭圆有且仅有一个公共点,∴,即。由方程组得，则。设,则，设直线的斜率分别为,所以，将代入上式，得.当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为。此时,圆与的交点也满足.综上，直线的斜率之积为定值。【点睛】本题考查了椭圆的轨迹问题,椭圆内的定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知函数（为常数）.(1）讨论函数的单调性；（2）若函数在内有极值，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】(1）当时，在上是增函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数,在上是减函数；（2)当时，;当时，；当时，。见解析【解析】【分析】（1）求导得到,讨论，,三种情况计算得到答案。（2）根据题意有一变号零点在区间上，得到，构造函数，根据函数的单调性得到答案。【详解】（1)定义域为,设当时，，此时,从而恒成立,故函数在上是增函数，在上是增函数；当时，函数图象开口向上,对称轴，又所以此时，从而恒成立，故函数在上是增函数，在上是增函数；当时，，设有两个不同的实根,共中，令,则,令，得或；令，得或，故函数在上是增函数,在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数.综上，当时，函数在上是增函数,在上是增函数；当时,函数在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数.（2）要使在上有极值，由（1）知，①则有一变号零点在区间上，不妨设，又因为，∴，又，∴只需,即,∴，②联立①②可得：。从而与均为正数.要比较与的大小，同取自然底数的对数，即比较与的大小，再转化为比较与的大小。构造函数，则，再设,则，从而在上单调递减，此时，故在上恒成立，则在上单调递减.综上所述，当时，；当时，；当时,.【点睛】本题考查了函数单调性，利用导数比较函数值大小,意在考查学生的综合应用能力和计算能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,若多做，