山东省枣庄市2023届高三上学期期末质量检测(一调)(理)数学试题

2023届高三第一学期期末质量检测高三数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A．B．C．D．2.直线的倾斜角的大小是（）A．B．C．D．4.已知实数满足，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．55.设，则这三个数的大小关系是（）A．B．C．D．6.已知命题；命题，函数在上为减函数，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．7.若函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与图象的对称中心重合，则的最小值是（）A．1B．2C．4D．88.已知，若对，则的形状为（）A．必为锐角三角形B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D．答案不确定9.函数的零点的个数为（）A．3B．410.已知圆C：，点P在直线上，若圆C上存在两点A，B使得，则点P的横坐标的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知随机变量，且，则.12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则=.13.观察下列等式：……照此规律，第个等式为.14.某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是.15.已知直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线上，则.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知直线与直线是函数的图象的两条相邻的对称轴.（1）求的值；（2）若，，求的值.17.（本小题满分12分）已知等比数列的前n项和为，，公比，成等差数列.（1）求；（2）设，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙、丙做对的概率分别为，且三位学生是否做对相互独立，记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：0123（1）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求的值；（3）求的数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点.（1）求证：//平面；（2）求锐二面角的大小.20.（本小题满分13分）已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点.(i)当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；(ii)求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程.21.（本小题满分14分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）的极小值为,当时，求证：.(为自然对数的底)二○一六届高三第一学期期末质量检测高三数学（理科）参考答案及评分标准2023.1选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DBDAAACCBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.12.13.14.15.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.解：(1)因为直线、是函数图象的两条相邻的对称轴，所以，即.………5分又因为，所以………6分(2)由(1)，得.由题意，.………………7分由，得.从而.…………8分…………10分………………12分17.解：(1)因为成等差数列，所以.…………1分化简得.……………………3分所以.因为，所以.………4分故……………………6分(2)…………8分…………………10分………12分18.解：（1）至少有一位学生做对该题的概率为………………4分（2）由题意，得………………6分又，解得，………8分（3）由题意，………………9分……10分…………12分19.（1）解法一：如图，以为坐标原点，分别以所在的方向为的正方向，建立空间直角坐标系则.…2分法一：设即解得所以又平面，所以平面.…………4分法二：取的中点，则，.所以，所以又平面，平面，所以平面.……4分法三：设为平面的一个法向量，则，即取，则于是又，所以所以.又平面，所以平面.……4分解法二：连接，设因为是正方形，所以是线段的中点.又是线段的中点，所以，是△的中位线.所以…………2分又平面，平面，所以平面.………………4分（2）解法一：由（1）中的解法一，，.设为平面的一个法向量，则，.取，则.于是………………7分因为是正方形，所以因为底面，所以又，所以平面所以是平面的一个法向量.………………10分所以.…………11分所以，锐二面角的大小为.…………………12分解法二：如图，设在中，过作于，连接…………5分因为四边形是正方形，所以，即…………6分因为侧棱底面，平面，所以…………7分又，，所以平面所以………8分又，，所以平面所以从而就是二面角的一个平面角…9分在中，……11分在中，所以所以二面角的大小为………………12分20.解：（1）设椭圆的半焦距为因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，即.………………1分由题意，得.解得……………………2分于是，.故椭圆的方程为.……3分（2）（i）设，则.由于点与点关于原点对称，所以.故直线与的斜率之积为定值.…………6分（ii）设直线的方程为，，由消去并整理，得………7分因为直线与椭圆交于两点，所以…………8分法一：………………9分点到直线的距离.………………10分因为是线段的中点，所以点到直线的距离为.……………11分令，则.，………………12分当且仅当，即，亦即时，面积的最大值为.此时直线的方程为.…………13分法二：由题意，……………9分…………11分以下过程同方法一.21.解：(1).………………1分则.又，所以，曲线在点处的切线方程为.…………3分(2)解法1：由(1)得.①当时，因为为增函数，所以当时，，因此.当且仅当，且时等号成立.所以在上为增函数.因此，当时，.所以，满足题意.………………6分②当时，由，得.解得.因为，所以，所以当时，，因此在上为减函数.所以当时，，不合题意.综上所述，实数的取值范围是.………………9分解法2：.令，则.…………4分当时，.由，得.因此，当时，，当且仅当，且时等号成立.所以在上为增函数.因此，当时，，此时.所以，满足题意.…………………7分当时，由，得.当时，，因此在上为减函数.所以，当时，.此时，不合题意.综上，实数的取值范围是.……9分方法3：当时，满足题意.时，.…………4分令，则,.上述不等式可化为.令，则在上恒成立..令，则当时，，在上为增函数.因此，当时,.所以，当时,，所以在上为增函数.……………6分令，由导数定义得.又，所以.因此，当时，恒大于.………8分所以，实数的取值范围是.………………9分(3)由，得，