【教案】平面向量的概念 教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

12/12§6.1平面向量的概念一、内容和内容解析内容：平面向量的概念．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第1节的内容．本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量.本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习.二、目标和目标解析目标：（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等定义.（3）通过用向量的语言描述客观实际培养学生的数学抽象素养.目标解析：（1）通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景；初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；通过类比用带箭头的线段表示位移，理解用有向线段表示向量，进而理解向量的表示.（2）借助有向线段的长度和方向，理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等定义；能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．通过本节课的学习，教会学生用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题，培养提升学生的“直观想象”和“逻辑推理”等数学素养.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的.2.教学问题二：学生在物理学科中已经知道重力，弹力，摩擦力，位移，速度等是既有大小又有方向的物理量即矢量，知道借助有向线段来作力的图示，经历并了解了实数的形成过程，针对实际生活中一些常见的量，能识别是否具有大小，方向.基于上述情况，本节课的教学难点定为：向量的概念和共线向量的概念.四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比得到平面向量的相关概念，让学生体会“向量集形与数于一身”的特征，应该为学生创造积极探究的平台，引导学生的思考置疑.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点.在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路。因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”他能如愿到达楚国吗？[问题2]老鼠以10m/s的速度向东跑，猫以50m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？[问题3]质量、力、速度这三个物理量有什么区别？教师1：提出问题1.学生1：不能．教师2：产生这个结果的原因是？学生2：方向错误．教师3：提出问题2.学生3：不能.教师4：提出问题3.学生4：质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向.问题引入:提出问题．设置实际的生活情境，从学生熟悉的经验和问题开始，激发学生学习欲望，同时为学习向量的概念做好铺垫.探索新知形成概念（一）向量的实际背景与概念[问题4]在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？【练习】下列量不是向量的是（）（1）质量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度（6）面积（7）年龄（8）身高（二）向量的几何表示[问题5]一条有向线段由哪几个基本要素所确定？[问题6]向量与有向线段有什么区别？（三）向量的相关概念[问题7]向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？[问题8]零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？[问题9]向量由其模和方向所确定.对于两个向量,就其模等与不等,方向同与不同而言,有哪几种可能情形?【练习】判断：1.如果|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，那么eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→)).()2.若都是单位向量，则.()3.若，且与的起点相同，则终点也相同.()4.零向量的大小为0，没有方向.()（四）相等向量与共线向量[问题10]向量由其模和方向所确定.对于两个向量，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？[问题11]若平行向量有相同的起点，那么它们是否一定有相同的终点？[问题12]不相等的两个向量可能平行吗？[问题13]如果两个向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向有什么关系?【练习】判断(1)平行向量方向一定相同.()(2)不相等向量一定不平行.()(3)与零向量相等的向量是零向量.()(4)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反.()(5)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()教师5：提出问题4．学生5：不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小.教师6：提出定义：向量与数量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量);只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.教师7：完成练习题.学生6：（1）（6）（7）（8）教师8：（1）明确有向线段的概念：1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|（2）提出问题5.学生7：起点、方向、长度.教师9：（1）明确向量的表示：2.向量的表示：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.A(起点A(起点)B（终点）(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用).（2）提出问题6.学生8：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小相等和方向相同，则这两个向量就是相同的向量.有向线段有起点、方向与长度三个要素，若起点不同，尽管方向与长度相同，也是不同的有向线段.教师10：（1）明确向量的模：1.向量的模向量的大小，就是向量的长度（或模），记作或记作.（2）提出问题7.学生9：可以为0,1，不能为负数。教师11：（1）明确零向量、单位向量：2.零向量：长度为0的向量，记作.3.单位向量：长度等于1个单位的向量.（2）提出问题8.学生10：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同.教师12：提出问题9.学生11：有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.教师13：完成练习学生12：（1）×，（2）×，（3）√，（4）×．教师14：提出问题10.学生13：模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；教师15：（1）明确平行向量、相等向量、共线向量的概念：1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记法：向量与平行，记作.规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.（2）提出问题11.学生14：不一定，只有当两个平行向量相等时，它们才有相同的终点.教师16：提出问题12.学生15：可能.事实上，考虑到零向量的特殊性，向量平行有如下三种情况：(1)两个向量中，有一个为零向量，另一个为非零向量；(2)两个向量均为非零向量，方向相同，但模不相等；(3)两个向量均为非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可.教师17：提出问题13.学生16：方向相同或相反.教师18：完成练习学生17：(1)×(2)×(3)√(4)√（5）×借助熟悉的物理背景，通过相关量的对比研究，让学生深刻理解“向量既有大小，又有方向”的特征.学习有向线段的含义，明确如何用有向线段表示向量，同时理解好“有向线段与向量的区别”，进一步明确“向量与起点无关”.在学习向量的表示之后，借助有向线段，进一步学习“向量的模、零向量、单位向量”等相关概念.通过探究让学生理解平面向量的概念、平行向量、相等向量的概念，培养数学抽象的核心素养.典例探究落实巩固1.平面向量的相关概念例1.给出下列命题：①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；②在中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；③若，，则.其中所有正确命题的序号为________．2.平面向量的表示例2.在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)eq\o(OA,\s\up6(→))，使|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，点A在点O北偏东45°方向；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))，使|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，点B在点A正东方向；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))，使|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，点C在点B北偏东30°方向．3.相等向量与共线向量例3.如图，四边形为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为的向量个数有________个．教师19：例题1中，正确的命题有哪些？学生18：②③．教师20：能否分析一下各个命题？学生19：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故②正确；，则，且与的方向相同；，则，且与的方向相同，则与长度相等且方向相同，故，故③正确．教师20：哪位同学能上台展示一下你的答案？学生19：教师21：请同学分析一下例3.学生20：如图所示，满足与eq\o(AC,\s\up6(→))平行且长度为2eq\r(2)的向量有eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(HG,\s\up6(→))，eq\o(IJ,\s\up6(→))，eq\o(JI,\s\up6(→))共8个．教师21：与同向且长度为的向量有几个？学生20：与同向且长度为的向量占与平行且长度为的向量中的一半，共4个.例题讲解：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。课堂小结升华认知[问题14]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.与共线B.与共线 B.eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线C.与相等D.与相等 D.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))相等2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(DC,\s\up12(→))的关系是()A.eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))B．|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|C.eq\o(AB,\s\up