武汉理工大学-电磁场与电磁波总复习(1-9)

第1章矢量分析1.标量、矢量3.通量与散度8.亥姆霍兹定理

2.矢量的运算5.环量与旋度

6.斯托克斯定理4.高斯散度定理7.方向导数与梯度1标量：只有大小、没有方向的量；如：质量、时间、温度、功、电荷矢量：既有大小又有方向的量；如：力、力矩、速度、加速度、电场强度。1.标量和矢量2

2.矢量的代数运算33.通量与散度44.高斯散度定理该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系。矢量函数的面积分与体积分的互换。55.环量与旋度称为矢量A的环量旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于0

6矢量函数的线积分与面积分的互换该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系6.斯托克斯(Stockes)定理7

例

求矢量场

在点M(1,0,1)处的旋度以及沿

方向的环量面密度。解：矢量场A的旋度8在点M(1，0，1)处的旋度n方向的单位矢量在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度9方向导数

方向导数表示函数ｕ(x,y,z)在一给定点处沿某一方向的标量函数的变化率。

M0（x,y,z）M（x+x,y+y,z+z）7.方向导数与梯度梯度10梯度的重要性质：梯度的旋度恒等于011

例:求数量场在点M(1,1,2)处沿方向的方向导数。解：l方向的方向余弦为12已知数量场在l方向的方向导数为在点M(1,1,2)处沿l方向的方向导数138.亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。

矢量场可以根据散度和旋度分为：无旋场、无源场和有旋有源场。

（1）无旋场

（2）无源场

（3）有旋有源场

14正交坐标系球坐标xO•z•PR(R,,)151.某一矢量，它总满足。2.某一矢量场F（r），若，则F（r）是无旋场；若在场中任意处divF=0，则F（r）是无散场。判断下列说法是否正确。√3.表达式rotE=0与E=–gradψ是等效的。√√16第2章电场、磁场与麦克斯韦方程1.电场力、磁场力、洛伦兹力

4.微分形式的麦克斯韦方程3.麦克斯韦方程的导出及意义2.电磁场中的三种电流7.电磁场的能量与坡印廷矢量

5.积分形式的麦克斯韦方程6.时谐形式的麦克斯韦方程171电场力、磁场力与洛伦兹力

1.电场力库仑定律

N(牛顿)182.磁场力

当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力。

假定一个电荷q以速度在磁场中运动，则它所受到磁场力为

这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以用一个磁感应强度来描述。193.洛伦兹力

当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。202.电磁场中的三种电流及电流连续性原理

1.传导电流、运流电流和位移电流自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成

传导电流运流电流电荷在无阻力空间作有规则运动而形成电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成

位移电流213.麦克斯韦方程的微分形式224.积分形式的麦克斯韦方程235.时谐形式的麦克斯韦方程微分形式的时谐表示积分形式的时谐表示时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的随时间按照正弦变化的场。246.电磁场的能量与坡印廷矢量

电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。称其为坡印廷矢量

25

对于正弦电磁场，计算一个周期内的时间平均值更有实际意义，坡印廷矢量的时间平均值即平均坡印廷矢量定义为

在时谐形式下

26例.已知，并且已知

只有x方向的分量，求Ex27

例将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。

28(3)解:化为相同的函数表示:(4)29证明：在无源的自由空间中随时间变化的场，如满足麦克斯韦方程组解由题30与前面计算的磁场强度的旋度相同31此外，还需验证两个散度方程所以，电场和磁场满足4个麦克斯韦方程组32第3章介质中的麦克斯韦方程

1.介质特性：电偶极矩、分子极化率、极化矢量4.一般媒质中的麦克斯韦方程3.磁偶极矩、磁化强度矢量

2.介质的折射率、相对介电系数

5.介质中的三个物态方程6.场量的边界条件

33定义：其内部存在的带电粒子，受到原子内在力、分子内在力或分子之间的作用力不能自由运动，这样的物质称为电介质（简称介质）。电介质

1.介质特性电介质的极化

在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出现束缚电荷的现象。342.介质的折射率、相对介电系数

介质的折射率(refractiveindex)n定义为其中c是电磁波在真空中的速度，v则是电磁波在折射率为n的介质中的速度。反映介质特性的量——相对介电常数353.磁偶极矩、磁化强度矢量

在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象称为物质的磁化。磁介质，是在外加磁场的作用下，产生磁化现象，影响外磁场分布的物质。除了真空外，其它任何物质都是可磁化的磁介质。根据物质的磁效应的不同，磁介质通常可分为：抗磁质、顺磁质、铁磁质、亚铁磁质等。36电介质中的麦克斯韦方程的一般形式为:4.一般媒质中的麦克斯韦方程375.介质中的三个物态方程6.场量的边界条件

38（1）的边界条件如图为两种一般媒质的交界面，第一种媒质的介电常数、磁导率、电导率分别为，，；第二种媒质的分别为,,1、一般媒质界面的边界条件媒质1媒质2如图所示，在分界面上取一个小的柱形闭合面，其上下底面与分界面平行.39在柱形闭合面上应用高斯定律：则如图，应用高斯定律得：此式即为的法向边界条件，它表明：的法向分量在分界面处产生了突变当时，的法向分量变为连续（2）的边界条件40即如图，由电流连续性原理此式即为的法向边界条件，它表明：的法向分量在分界面处总是连续的。（3）的边界条件41可得说明：当分界面处电荷面密度发生变化时，其电流密度的法向分量产生突变，突变量为电荷面密度的变化率。42（4）的边界条件如图，电场强度的边界条件通常用电场的切向分量来表示。可得说明：电场强度的切向分量是连续的。由麦克斯韦第二个方程：43（5）的边界条件可得说明：当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向方向是连续的。与上图类似，由安培环路定律综上所述，五个场量的边界条件是：44例已知半径为r1

的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径为

r2

的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1

，球壳的外半径为r3

，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4

，介电常数为2

，外部区域为真空，如左下图示。试求：各区域中的电场强度；

r1r2r3r4

0

2

1解

由于结构为球对称，场也是球对称的，应用高斯定理求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。45

在r<r1及r2<r<r3

区域中，因导体中不可能存静电场，所以

在r1<r<r2

区域中，由，得

r1r2r3r4

0

2

1同理，在r3<r<r4

区域中，求得

在r>r4

区域中，求得46球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充满介电常数为和的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。分析：电场平行于介质分界面，由边界条件可知，介质两边相等。【例】47解：令电场强度为，由高斯定律48第4章矢量位与标量位

1.矢量位与标量位的导出4.动态位（滞后位）的概念3.矢量位与标量位满足的波动方程

2.洛伦兹规范，库仑规范49矢量位

根据麦克斯韦第三方程任意矢量的旋度的散度恒等于零以及令

于是我们就得到了一个关于磁场的位函数，但在这里，是一个无约束的任意矢量。则有50标量位

根据麦克斯韦第二方程令

则有所以更一般地，如果是一个矢量函数，并且，则有51保证的唯一方法是令其中是一个标量位函数即这里也是无约束的任意标量位函数在非时变（静态）情况下,上式变为522.洛伦兹规范，库仑规范称为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范.这个规定被称为库仑规范53分析说明，在时刻t，空间某点所观察到的矢量位和标量位是由时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间，这个滞后效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化的位函数和称为动态位或滞后位。54第5章静态场的解1.静电场、恒定电场、恒定磁场的基本方程4.镜像法3.对偶原理、叠加原理、唯一性定理2.静态场的位函数方程551.静电场、恒定电场、恒定磁场的基本方程

1、静电场的基本方程上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，即56

2、恒定电场的基本方程载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电源内部的电场也是恒定的。若闭合路径不经过电源，则：这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为57

3、恒定磁场的基本方程这是恒定磁场的基本方程。从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，电流线是闭合的。恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为I，电流密度为,则有

582.静态场的位函数方程

静电场的位函数满足的方程,称为泊松方程。

如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为将这种形式的方程称为拉普拉斯方程。

1、静电场的位函数分布593.对偶原理、叠加原理、唯一性定理

如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处于同等地位的量称为对偶量。对偶原理60叠加原理若和分别满足拉普拉斯方程，即和

,则和的线性组合：必然也满足拉普拉斯方程.式中a、b均为常系数。唯一性定理对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。61镜像法镜像法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷称为镜像电荷，然后通过计算由源电荷和镜像电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场，这种方法称为镜像法。镜像电荷与源电荷共同产生的电位函数，既能满足给定的边界条件，又在一定区域内满足拉普拉斯方程。根据唯一性定理，所假设的位函数就是该区域上的唯一的电位函数。622π/α=偶数63接地导体球外的电场计算BA64即：球面电位为：

导体球外各点的电位由q,和共同产生：

q’q’’65第6章自由空间中的电磁波1.电波4.波的极化3.自由空间中的平面电磁波2.

磁波5.电磁波谱66自由空间是一个没有电荷因而也就不存在电流的空间。这并不是说在整个空间中没有源存在，而只是指在我们所感兴趣的区域不存在源，这个区域应有=0和=0。

平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空间传播过程中，对应于任意时刻t，在其传播空间具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波阵面）为平面，于是就称其为平面波。

671.电波

麦克斯韦方程组说明：在自由空间存在着电波，对其所作的唯一的限制是它在自由空间必须以光速传播。此式称为亥姆霍兹方程。2.

磁波

亥姆霍兹磁场方程683.自由空间中的平面电磁波

电场和磁场相对于传播方向来说都是横向波，这种波称为横向电磁波,简称为TEM波。和相互垂直的，都垂直于波的传播方向。694.波的极化1.如果矢量的尖端在一条直线上运动，称之为线极化波。

2.如果矢量的尖端的运动轨迹是一个圆，则称之为圆极化波。

极化（polarization）通常是用电场矢量的尖端在空间随时间变化的轨迹来描述的。3.椭圆极化波：电场的尖端的运动将描绘出一个椭圆。

3.1

如果用右手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场矢量运动的方向相同，这个波就是右旋极化波。

3.2如果用左手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场矢量运动的方向相同，这个波就是左旋极化波。4.无一定极化的波，如光波，通常称为随机极化波。

70当，并且

时，电磁波是圆极化波当时，

，电磁波为左旋椭圆极化波当时，

，电磁波是线极化波当时，

，电磁波为右旋椭圆极化波71为了对各种电磁波有个全面的了解，人们按照波长或频率的顺序把这些电磁波排列起来，这就是电磁波谱

.5.电磁波谱无线电波微波红外线可见光紫外线X射线伽马射线可见光:红

|橙

|黄

|绿

|蓝

|靛

|紫电磁波谱72例解：（1）波沿+Z轴方向传播;（rad/m）试求（1）

及传播方向；（2）E

的表达式；（3）S

的表达式；巳知自由空间中73

（2）60y-e74(1)

说明下列各式表示的均匀平面波的极化形式和传播方向。例题传播方向为沿

方向的线极化波。当时，

，电磁波是线极化波

75

(2)传播方向为沿

方向的左旋圆极化波。电磁波是圆极化波.76第7章非导电介质中的电磁波1.非导电介质中的电磁波方程

4.复数折射率的相关结论3.平面电磁波在有损耗介质中的传播2.平面电磁波在无损耗介质中的传播5.相速度、色散、群速度771.非导电介质中的电磁波方程

与波动方程的一般形式比较可知在一般介质中，电磁波的传播速度无界、线性、均匀和各向同性的一般媒质中的磁波方程无界、线性、均匀和各向同性的一般媒质中的电波方程782.平面电磁波在无损耗介质中的传播波速为这里的k称为传播常数或波数793.平面电磁波在有损耗介质中的传播复介电系数，式中称为损耗角实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在非理想介质中的传播具有实际意义。非理想介质是有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电导率,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。80引入另外一个变量有耗介质的本征阻抗是一个复数，其结果使均匀平面波中电场强度矢量与磁场强度矢量之间存在相位差。传播系数称为复波数。令也可称之为传播系数81可以发现，的存在会引起场量和呈指数型衰减，因此，我们将称为衰减常数(attenuationconstant)，单位为奈贝/米（Np/m）；而的存在则会引起场量和的相位发生变化，因此，我们将称为相位常数，单位为弧度/米（rad/m）824.复数折射率的相关结论1.复数折射率的实部决定了波的速度，而且很容易得出折射率实部的定义为两个速度之比，即。2.当波在介质中传播时，复数折射率的虚部使波的幅值按指数规律衰减，虚部值越大，波的衰减就越快。835.相速度、色散、群速度相速，即正弦波的最大速度。一般情况下，速度v是恒定相位面在波中向前推进的速度，相速群速是波包络上某一恒定相位点推进的速度。群速是指其折射率的虚部为非零值的媒质,这时波在传播的过程中会逐渐衰减。色散介质指波的传播速度即相速取决于介质折射率的实部,因而随频率而变，不同频率的波将以不同的速率在其中传播。耗散介质84损耗正切的取值不同将会影响到介质的性质发生变化，通常，我们有如下一些对应的分类：1、理想介质：这时2、良介质：（一般取）这时853、理想导体：，这时说明电磁波在理想导体中立刻衰减到零，说明波长为零，相速为零。这些特点表示电磁波不能进入理想导体内部。4、良导体：（一般取）这时5、半导体：可与相比拟，的表示为一般形式。867.4空气中某一均匀平面波的波长为12cm，当该平面波进入某无损耗媒质中传播时，其波长减小为8cm，且已知在媒质中的和的振幅分别为50V/m和0.1A/m。求该平面波的频率和无损耗媒质的与.解：电磁波的频率为

（Hz）而无损耗媒质的本征阻抗为

87若将电磁波的振幅衰减到时它在介质中的趋肤深度或穿透深度定义为，根据就可以测量出电磁波在开始明显衰减之前的传播距离。第8章导体中的电磁波当电磁波的振幅衰减到时，有即

1.穿透深度2.等离子体是除气体、液体和固体以外的第四种物态，它是由电子、负离子、正离子和未电离的中性分子组成的混合体。88导电介质通常是作为导体来使用的，但是，当交变电流通过导体时，电流密度在导体横截面上的分布将是不均匀的，并且随着电流变化频率的升高，导体上所流过的电流将越来越集中于导体的表面附近，导体内部的电流却越来越小，这种现象称为趋肤效应。

趋肤效应使得导体在传输高频（微波）信号时效率很低，因为信号沿它传送时衰减很大。89导电介质中的平面电磁波具有如下特点：（1）导电媒质内的平面电磁波在电场方向、磁场方向与传播方向上的对应关系与理想电介质中的电磁波相同，仍然是平面电磁波。（2）沿着电磁波的传播方向，例如z方向，电场和磁场的幅值随z的增加按指数衰减。（3）磁场在相位上比对应的电场有一个滞后角随着媒质电导率的增大而增大，最大可达90（5）从上面式子可知，导电媒质中电场能量密度和磁场能量密度是不等的。导电媒质中电磁波的相速由相位系数和角频率共同决定，如表明：电磁波传播的相速与频率有关，故导电媒质是色散媒质。91低损耗媒质中的平面波具有如下性质：（1）电导率对相位常数的影响可以忽略，的表达式与理想电介质的相同。

（2）衰减常数比较小，因为电磁波幅度的衰减缓慢。（3）电场与磁场几乎同相位，与理想介质中的情况近似。良介质中的均匀平面电磁波92良导体中电磁波具有如下特点:（1）很小的值使良导体内电磁波的传播速度远小于真空中的电磁波速度，并且速度与速率有关。

（2）很大的衰减常数值使得电场和磁场的幅度衰减很快。由幅度衰减因子可知，电磁波每前进一个趋肤深度的距离，场幅度就要减小63%左右；若前进的距离，场幅度大约下降到原来的1/500。由于良导体的趋肤深度只有毫米甚至微米数量级，因此当电磁波进入良导体后，将主要趋附于导体的表层上。（3）由于波阻抗的相角，表明磁场比对应电场的相位滞后约。因此，在同一场点上，电场达到最大值的1/8周期后，磁场才达到最大值。93（5）尽管良导体中的电场相对较小，但由于导体的电导率很大，所以也会产生很大的传导电流，其传导电流密度的复振幅为

（4）由于波阻抗很小，因此，在良导体中，磁场占有主要地位，磁场能量远大于电场能量。表明：导体内的传导电流也像电场和磁场一样，幅度很快衰减，从而形成主要集中在导体表层内侧一个很薄的区域内的趋肤现