误差理论及数据处理

测量误差基础知识2

误差分析与实验数据处理

不仅在科学研究领域，测量在国民经济、国防建设和社会生活中，特别是在司法、商业贸易、维护权益、保护资源环境、医疗卫生等诸方面起着越来越大的作用。它对科研、生产、商贸和国际技术交流等诸多相关领域影响很大。

为了能选择适当的实验方法以使测量结果有预期的可靠性和分析测量结果的可靠程度，都必须对误差进行分析。因此必须具有误差理论的知识；为了把得到的数据进行科学的归纳整理，从而得出表征被测量之间的函数关系还必须掌握数据处理的技术。

当测量误差超过一定的限度，测量工作和结果不但毫无意义甚至带来极大危害。

例1，射程8000公里的洲际导弹，如果航向误差0.03度，偏离目标可达5－8公里；

例2，矿井中瓦斯浓度监测问题4－16％的瓦斯浓度会引起爆炸，爆炸最猛烈的为9％；规定达到1％时监测系统报警，不允许作业。

例3，医学介入法治疗中的显示、定位、手术。

手术戒毒―除毒瘾记忆的开颅手术

给病人播放吸毒者注射毒品的录像，观测病人的脑磁图，局部异常兴奋点闪烁，准确测量兴奋点的位置，在坐标系上（把兴奋点）定位。用定位仪把要打击的“靶点”置于虚拟的球心。开颅（直径1厘米的小孔），顺着定位仪的垂直管道插入射频电针，相距6毫米平行进入大脑，发射射频电波使“靶点”周围的离子高速往来摩擦生热达720C，杀死神经元，形成8毫米高的椭圆形死海。切断毒瘾记忆。

美国的脑磁图定位系统、荷兰的核磁共振、瑞典的立体定向手术系统、德国的手术导航系统；为控制误差，将脑磁图、核磁共振、CT机三项检查的脑部图象在电脑上叠加、核对，手术误差要求不超过0.1毫米，否则会造成痴呆或疯癫。

问题：试用你亲身经历的事例说明误差理论的重要性。

测量误差

基本概念

真值－待确定量客观存在的真实值。

由理论给出或计量学作出规定的如：三角形内角之和为1800；第13届国际计量大会规定，铯原子Cs133在两个超精细能级间跃迁所对应辐射的192,631,770个周期的持续时间为1秒。这些都是真值。

实验值－测量值

10测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响一.产生测量误差的原因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素：仪器原因

仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因

判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响

气象因素(温度变化,风,大气折光)

结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件:

上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。举例：砝码；尺问题：在相同的测量条件下，增加测量次数可以减少系统误差吗？二、测量误差的分类与对策（一）分类偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”问题：在相同的测量条件下，增加测量次数可以减少随机误差吗？

3．粗大误差

又称过失误差，是显然与事实不符的误差。误差值可以很大，没有一定的规律。往往是由仪器故障、环境意外变化、操作失误等原因引起。是不允许存在的。如果测量值中含有较大误差，应按一定的规则对数据进行判断，如确定为粗差则应将此数据从测量值中剔除。

问题：过失误差如何判断？单凭感觉能判断吗？

误差的分类不是绝对的。未掌握变化规律或过于复杂的系统误差按随机误差处理。已弄清规律的随机误差按系统误差处理。

例：电磁场对测量结果的影响，如果较小，规律不明显，与其他因素难以区分时当作随机误差；当影响较大、规律可掌握就当作系统误差；影响严重到完全偏离真值，不能允许的程度时当作粗大误差。（二）处理原则粗差——细心，多余观测，限差排除系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差研究误差的目的世界是未知的。根据掌握的有限次测量的结果，对真值进行估计，或者判断测量结果的合理性。1.观测值为l1,l2,l3,….ln如何取值？如何评价数据的精度？2.观测值为X1,X2，如何评价数据的合理性？测量有无粗差？偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。19精度和限差误差在3倍的标准差之内几率99.7%误差在2倍的标准差之内几率95.4%误差在1倍的标准差之内几率68.3%因此以2倍的标准差作为限差，如果有限次的测量误差大于限差，则说明必然存在粗大误差。但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：

=？m=？寻找最接近真值的值x真值如何找到？精度如何描述集中趋势的测度（最优值）中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。切尾平均数：去掉lmax,lmin以后的平均数。算术平均数：满足最小二乘原则的最优解精度（中误差）计算方法一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则二、中误差二、中误差精密度低准确度低精确度高

枪的准确性和射手的技术分别可以代表哪种误差？

误差结果描述24相对误差(相对中误差)

——误差绝对值与观测量之比。用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。重视程度准确度《精密度《相对精密度25误差结果描述准确度(测量成果与真值的差异，反映系统误差）精（密）度（观测值之间的离散程度，反映随机误差）精准度（同时考虑测量结果的准确度和精密度）测量平差（求解最或是值并评定精度）26测量数据结果表示这样表示的含义是：是最佳值；误差超过的概率是很小的。目前国内外尚无统一规定，原则上测量结果应在正确反映被测量的真实大小和它可信度的同时又不过于庸长和累赘。通常用算术平均值作为最佳值和算术平均值的极限误差表示：

关于置信度与不确定度

测量值在某区间内的概率称为测量结果的置信概率或置信度。

极限误差Δ常称为测量结果的不确定度，通常取

Δ

＝σ，2σ，3σ置信系数置信限置信概率

1.01.0σ0.68272.02.0σ0.95443.03.0σ0.9973关于不确定度*

一不确定度的概念

来自400多年前伽利略测量天体的实践，直到1993年国际不确定工作组上才正式制定《测量不确定度指南》（GuidetotheExpressingofUncertaintyinMeasurement）(GUM)，由ISO出版1995年公布，得到世界各国的广泛应用。因为具有可操作的规范需要实践的积累和时间的检验。目前GUM的应用和推广已成为当今科学界、质量技术监督部门、各类认可机构和认证机构关注的热点。

我国1999年批准发布了JJF059-1999《测量不确定评定与表示》的计量技术规范。对于计量设备和仪器、计量部门的校准实验室已经有较为成熟的测量不确定评定与表示的论文发表，而很多领域如理化检验还处于起步阶段。

测量的结果只能近似真值，因此都有不确定性。在生产场合，没有特殊需要的都用测量误差，在计量和检验领域才采用“不确定度”。

不确定度与误差的联系与区别：误差是不确定度的基础，不确定度是误差的发展。

误差与不确定度的比较

误差

不确定度有正负恒为正分为系统误差、随机误差、过失误差评定时不分性质，由随机效应和由系统效应引入的不确定度都有A类评定（统计）和B类评定（非统计）客观存在，不以人的认识程度而改变客观存在，但与人们对被测量的影响量和过程的认识有关操作性：误差很易测，可靠性无法知晓不管真值是否知晓皆可按GUM规定结果修正：起码系统误差的估计值可以不能由不确定度对测量结果进行修正修正自由度：不存在存在置信概率：不存在存在与分布有关与分布无关“国家标准GB/T228-2002实施要点”《金属材料室温拉伸试验方法》35测量数据的处理

1.有效数字与测量误差在测量中既然不可避免地存在误差，因此数据只能是一个近似数。当我们用这个数表示一个量时，通常规定误差不得超过末位单位数字的一半，即0.5误差原则。这种误差不大于末位单位数字一半的数，从它左边第一个非零数字起，直到右面最后一个数字为止，都叫做有效数字。有效数字位数越多，精密度越高。36测量数据的处理“小于5舍，大于5入，等于5取偶数”的规则

(1)加法运算：运算结果的有效数字位数，应与参与运算各数中小数点后面有效位数最少的相同。

(2)乘除运算：运算结果的有效数字位数，应与参与运算各数中有效位数最少的相同。

(3)乘方及开方运算：运算结果的有效数字比原数据多保留1位。

(4)对数运算：取对数前后有效数字位数应相同。在运算前可将各数先行删减，原则上可按结果有效位数多保留1～2位安全数字。§6-5误差传播定律已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?y=?

二.误差传播定律一般函数的中误差公式——误差传播定律设有函数xi为独立观测值观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx误差传播定律的应用

测量次数n多少合适？从标准误差与测量次数的关系可知n>10时曲线下降较少而n太大就难以保证测量的条件的一致，所以一般取n=10。不等精密度测量的数据处理

一般测量实践基本上属于等精密度测量的问题，有时为了得到更精确的结果，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器，不同的测量方法,不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这就是不等精密度测量。一“权”的概念

等精密度测量中各个测量值可靠程度相同，因此取算术平均值为最佳值，而不等精密度测量中各个测量值可靠程度不相同，因而不能简单地取算术平均值为最佳值。应使可靠程度大的数据在最后结果中占的比例大一些，可靠程度小的数据在最后结果中占的比例小一些。各个测量值可靠程度可以用一数值表示，这数值称为该测量值的“权”，以P表示。因此“权”可以理解为当测量值进行比较时，对各测量值的信赖程度。“权”只有相对的意义。二“权”的确定方法

既然“权”说明了可靠程度，因此可根据这一原则来确定“权”的大小。例如，可按照测量条件的优劣，测量仪器和测量方法所能达到的精度高低，重复测量次数的多少以及测量者水平的高低等来确定“权”。测量方法越完善，测量精度越高，所得测量结果的“权”也越大。在相同条件下，由不同水平的测量者用同一种测量方法和仪器对同一被测量进行测量，显然对经验丰富的测量者所得到的结果应赋予较大的“权”。最简单的方法是按测量次数来确定，即其它条件相同，重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大。因此完全可由测量次数来确定“权”的大小。即权权是用来描述测量值在整个测量数据集合中的重要性的参数例：50（权为1），47（权为2）。表示了三次测量结果50，47，47。平均值计算时（50+47+47）/3=48权平均：A=（a1*w1+a2*w2)/(w1+w2)权正比于算术平均值精度的倒数45例有甲、乙、丙三人。观测结果如下：甲：平均值36mm，

精度0.7mm乙：平均值42mm，

精度1.2mm丙：平均值33mm，

精度0.7mm求最或然值。解：甲乙丙权分别可设为1/0.7^2=2.04;1/1.2^2=0.69;1/1^2=1最或然值为（36×2.04+42×0.69+33×1）/(2.04+0.69+1)=3646例电子设备的生产厂家一般会给出仪器的精度，表示方法为相对精度+-尾数来表示。现用一台电子测距仪测量距离为6835.417m，仪器的精度为1/400000+-20mm，又用另一台测距仪检查，测量数据为6835.398m，该仪器精度为1/600000+-30mm。求该距离的最或然值。4748数据的合理性判断：粗差鉴别观测值为X1,X2，…Xn如何评价数据的合理性？有无粗差？数据最终表示。1.先求出算术平均值2.求出单次测量的精度3.由单次测量的精度制定限差4.比较各个残差与限差，如果超限，则剔除该测量数据。5.goto16.数据表示为练习在等精度条件下，对某距离用钢尺丈量了四次，观测值分别为120.031,120.025,119.983,120.041，计算其算术平均值、单次测量值的中误差、算术平均值的中误差。(单位米)4950数据的合理性判断：独立校核设单次测量的精度已知（等于仪器的精度），观测值为X1,X2，如何评价数据的合理性？测量有无粗差？数据最终表示。1.先求Y的限差2mY,2判断残差是否超限3若超限则Y不合理，即测量中出现粗差。4若在限差之内，则取x1和X2的平均值为真值估计Y=X1-X2mY2=mx12+mx12=2mx2实验数据的表示方法一列表法优点：简单易行，不需仪器和专门工具，数据易查阅、比对，形式紧凑等。是图形表示和方程表示的基础。列表的数据分度也需要作出图形。

规范的原始数据表是得到正确实验结果的前提，也是实验者优秀素养的体现。使测量结果和计算后的一切数据都有条不紊地列于设计适当的表格中，不要让实验数据零星的分散在各种临时性的记录纸张上。

表格结构表名表头数据资料52二图示法

按一定的坐标系把实验数据描成曲线图，在实验数据整理上最为重要和常用。优点是直观，能直接显示极大或极小值，折点，周期性。在使用数据表或函数表达式也常常需要先作曲线图。步骤：图纸（坐标系）选择，坐标分度，数据描点，连曲线，注释或说明二图示法1坐标系的选定应使曲线图最简单。常用的有直角坐标系/极坐标系/对数或半对数坐标系；应用变量代换使图形尽可能为直线。例：Y=aXb

两边取对数得：logY=loga+blogX,在对数坐标系里成为u=v+bw是直线。2坐标的最小分度以1，2，5单位最方便，避免3，6，7，9分格。分格的大小应反映实验值的精度，应便于从图中找到读数，图形位于图纸的中心位置。图2－63按数据描点只需看趋势的将数据点描在图上；需要插值分度或计算的应描在误差带的中心。4连曲线光滑/均匀/尽量少的拐点和奇异点/曲线不必通过每一个数据点，要使曲线两侧的数据点数大致相等。制图要求1.曲线要光滑2.定量的坐标轴，分度可用低于最小实验值的某个整数位起点，高于最大实验值的某个整数为终点3.定量绘制的坐标图，其坐标轴上必须注明变量的名称、符号、单位4.图有时还应该有图注5.图要被坐标轴筐起来6.各组数据点差异要明显56范例57范例58

1，对公式的要求：形式简单，准确代表各变量之间的关系。两者