曲线的凹凸性与拐点

一、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的水平渐近线

和垂直渐近线三、函数图形的描绘第3节曲线的凹凸性

与拐点函数图形的描绘

如图所示，曲线弧ABC部分是向下弯曲的，这时曲线位于切线的下方；而曲线弧CDE部分是向上弯曲的，曲线位于切线的上方．一、曲线的凹凸性与拐点

C

A

y

E

B

D

x

O

a

c

b

定义如果曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称这条曲线弧是凹的；如果曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称这条曲线弧是凸的．定理设函数

f(x)

在(a,b)内具有二阶导数.

（证明从略）例1

判断曲线y=x3的凹凸性．

解

定义连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点，称为曲线

y=f(x)的拐点．分析：由上述定理可知，

以判断曲线的凹凸.如果

就是曲线的一个拐点．另外，二阶导数不存在的点对应曲线上的点也有可能为拐点．

判定曲线

y=f(x)的拐点的一般步骤：

(1)确定y=f(x)的定义域.(2)求f(x)，f(x)，令f(x)=0，求出所有可能拐点x0.(3)考察f(x)在每个可能拐点x0左右两侧的符号，如果f(x)的符号相反，则点(x0

,f(x0))

是拐点，否则就不是．

例2

求曲线

f(x)=x3-6x2

+9x+1的凹凸区间与拐点．解(1)定义域为(,).(2)f(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

-12

=6(x

-2

)，令f(x)=0，得x=2.(3)当

x(,2)时，f(x)<0，此区间为凸区间．当

x(2,+)时，f(x)>0，此区间是凹区间.例3

求曲线

f(x)=(2x-1)4+1的凹凸性，并求拐点．解(1)定义域为(,).(2)f(x)=8(2x-1)3,f(x)=48(2x-1)2,令f(x)=0，可得

x=1/2.(3)因为当x≠1/2时，f(x)>0

，所以该曲线在整个定义区间内都是凹的，曲线没有拐点．

要想完整地描绘出函数的图形，除了要知道其升降，凹凸性，极值和拐点等性态外，还须了解曲线无限远离坐标原点时的变化状况，这就是下面要讨论的曲线的渐近线问题．在此，我们仅讨论曲线的水平渐近线和垂直渐近线．二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线引例（如图所示）

yxOy=arctanxy

x=1xO1

(2,0)

y=ln(x-1)（如图所示）定义则称直线

y=b为曲线

y=f(x)的水平渐近线.则称直线

x=x0

为曲线

y=f(x)的垂直渐近线.所以的两条水平渐近线.例如

通过利用导数研究函数性态，进而描绘函数的图形的一般步骤：

(1)确定函数y=f(x)

的定义域，并考察其奇偶性、周期性等；

三、函数图形的描绘

确定所有可能的极值点和拐点；

(4)讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；

(5)根据需要补充函数图形上若干特殊点(如与坐标轴的交点等)；(6)描图.（3）列表讨论函数的单调性、极值及函数图形的凹凸性和拐点；解

(1)函数定义域为

(-

,

),函数为奇函数，其图形关于原点对称．

(2)f

(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),例4描绘函数

f(x)=x3–

3x

的图形.f(x)=6x，令f(x)

=0，得

x1=-1，x2=1,令f(x)=0，得x=0.（3）列表讨论如下：xf(x)f(x)(,1)+-0---1(1,0)0-0(0,1)-+10+(1,+)++f(x)极大值f(-1)=2拐点(0,0)极小值f(1)=-2(4)无水平渐近线和垂直渐近线；yxO1-1-综合上述讨论，即可描绘出所给函数的图形：例5

描绘函数

的图形.解

(1)

定义域为

(-

,

).该函数为偶函数，

其图形关于y轴对称.因此，只要作出(0,)内的图形，即可根据其对称性得到它的全部图形．令

f(