数学模型的建立

第二章线性自动调节系统的数学模型

第一节数学模型的建立

第二节传递函数第三节脉冲响应和阶跃响应

第四节环节的联接方式

要了解系统的性能，就必须掌握系统中各变量之间的相互关系。这些相互关系是用数学方程来描述的，称之为系统的数学模型。

分析和设计自动控制系统的一个首要任务就是建立系统的数学模型。第一节数学模型的建立.静态

——运动中的自动调节系统（或环节），其输入信号和输出信号都不随时间变化时，也称系统（或环节）处于平衡状态。

.静态特性——在平衡状态时，输出信号和引起它变化的输入信号之间的关系。一、静态特性例：(1)

RC电路输入量-----电压u1

输出量-----电容两端的电压uc。静态特性方程：

uc=u1

(2)

阀门输入量---阀门前后的差压△P

输出量---流量Q

静态特性方程：

fr—阀门局部阻力系数。

(3)阀门输入量---阀门开度m

输出量---流量Q

动态

----运动中的自动调节系统（或环节），当输入信号和输出信号随时间变化时，称系统（或环节）处于不平衡状态或动态。动态特性---在不平衡状态时，输出信号和引起它变化的输入信号之间的关系。二、动态特性例:

RC电路，已知电阻阻值为R，电容为C,当输入信号为u1，输出信号为uc时，试写出该电路的动态特性方程。

解：1、写出输入电压u1与输出电压uc的差值变化引起电流i变化的关系式。

2、写出输出信号uc与i的关系式

3、消去中间变量i，整理得RC电路的动态特性方程式：

环节的静态特性方程式：例：试列出图示系统的微分方程式，并比较得到的结果：(a)中系统的输入信号为FA,输出信号为质量m的位移x;(b)中系统的输入信号为流经电路的电量q,输出信号为ur。※解：(a)根据牛顿第二定律

（b）假定回路电流为i，则：

因此：

电流,q为电量，上式可写成系统的数学模型可以从两个方面来描述：稳态（静态）工况下，系统的参数与时间无关，确定系统各参数之间关系的数学方程是代数方程。动态特性下，系统输出总是随着输入的变化而变化，并且系统还会受到随时间而变化的各种干扰，系统的各个变量都是随时间而变化的，所以，描绘系统动态特性的数学方程不仅包含变量本身，而且也包含了这些变量的变化率或导数，这样的数学方程就是微分方程，微分方程是表征系统动态特性的一种最基本的数学方程。

实际的生产过程是很复杂的，因此在建立数学模型时，必须确定哪些变量是可以忽略的，而哪些对模型的准确性具有决定性作用的变量是不可忽略的。针对不同的自动调节系统，必须在模型的简化程度与分析结果的精确性方面提出适当的要求。为了简化调节系统的分析，在研究系统特性时，通常总是把非线性系统近似线性化。在某个一定的工况下，当系统参数在小范围内变化时，可以应用“小偏差法”将某些非线性系统予以线性化。

计算机的运算速度快、精度高，必要时可以用多达几百个方程来描述一个完整的系统，这为建立精确的数学模型开辟了新的途径。但在大多数场合下，人们往往用一个低阶的线性数学模型来描述生产过程的动态特性，因为低阶的近似模型在分析控制系统时已具有足够的精确度，而且明显地减少了计算工作量。几种典型的物理系统微分方程的建立：1、机械系统2、电气系统对比机械系统：

VS3、热力系统基本定律：其中热容量：热阻：单位热流量变化引起的温度变化。对比

注：对于尺寸较小的物体或很好混合的液体、气体，可以认为物体的温度处处相等，属集中参数的对象，动态特性可以用线性微分方程描述。对于象锅炉过热器、省煤器这类有着很长蛇形管的对象，属于分布参数对象，动态特性的数学描述就不能简单地用线性微分方程来表示。热电偶：冷端温度为0，热端为θ

平衡时：θ=被测介质温度θw此时，介质温度升高，则：一阶常系数线性微分方程热流量热端温度升高热电偶的输出液体加热器设热容，热阻小增量范围线性化，得：一阶常系数线性微分方程4、液力系统流阻：层流：紊流（伯努利）：系统的指定工作点为h=h0,q2=q20，则其近似线性方程：式中：流阻：工作点附近的小范围内，可把流阻看作常数

假设输入增加了Δq1,则：

小偏差情况,R可视作常数：则：为方便表示，省略符号“Δ”：一、建立物理微分方程的基本步骤：分析系统的工作原理，确定输入输出变量的相互关系；2.根据支配系统运动的物理规律，写出各变量之间的运动方程；3.消去中间变量，得出输入、输出变量之间的微分方程。二、不同的环节虽然物理结构不同，但是表示动态特性的微分方程形式相同时，可以抽象地认为是同类环节(相似系统)。三、对一个具体环节来说，微分方程的阶次和各系数值由环节内部的结构和物理参数而决定。四、静态特性包含在动态特性之中。归纳：五、比较上述系统，可以发现其特性参数有着一定的相似性归纳：相似系统：具有相同的数学模型，而物理性质不同的系统1、定义：

拉普拉斯变换存在的条件为：2、基本定理

(1)线性定理第二节传递函数一、拉普拉斯变换简介

(2)微分定理

(3)位移定理设F(s)=L[f(t)]则L[eatf(t)]=F(s-a)

设F(s)=L[f(t)]则L[f(t-T)]=e-TSF(s)

(5)初值定理

设F（s）=L[f(t)]，如果下列极限存在的话，则有

(6)终值定理设F（s）=L[f(t)]，并且SF（s）在虚轴上及右半平面内没有极点，则有：

(4)迟延定理

(7)卷积定理设F1(s)=L[f1(t)]，F2(s)=L[f2(t)]

则常用函数的拉氏变换

3、部分分式法※解：将F（s）分解为部分分式：例1

求F(s)的反变换。拉氏反变换利用公式由X(s)求其反变换x(t)是很困难的。工程上常用的函数，其拉氏变换一般是s的有理分式所以常用部分分式法求反变换：求待定常数K1，K2，由式（2-16），得：

进行反变换，求得原函数

f(t)=-e-3t+2e-t所以例2

求的反变换※解：查拉普拉斯变换对照表，得：

f(t)=e-tcost+2e-tsint利用拉氏变换解微分方程：例：利用拉氏变换解微分方程解法一：二阶常系数（非齐次）线性微分方程，形式如下：对应的二阶齐次线性微分方程为：特征方程是：求解程序：1、先求齐次方程的通解yc：由特征方程的根的形式写出通解2、再求非齐次方程的一个特解y*：用代参系数法，根据自由项f(x)的形式设出特解的形式3、y=yc+y*就是方程的解解法二：利用拉氏变换二、传递函数在自动控制理论中，动态特性的描述一般不是直接采用微分方程，而是采用便于系统分析综合的其他一些方法，传递函数就是其中一种最重要的描述系统动态特性的数学工具。例：热电偶测温的动态特性的数学模型：在初始值为零的条件下，进行拉氏变换：输出量的拉氏变换式：输出量取决于输入量（介质温度的变化）和热电偶的结构。写成如下形式：

G(s)就是热电偶的传递函数。

传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉普拉斯变换式与输入量的拉普拉斯变换式之比。传递函数反映了系统自身的动态本质。对热电偶来说，热电偶的传递函数仅决定于热电偶及其保护套管的材料和结构，它反映了热电偶自身的动态本质。

设线性定常系统（或环节）的微分方程是：

在初始条件为零的情况下，对上式进行拉普拉斯变换，得：

（n≥m）

所以，该系统(或环节)的传递函数为：

S的阶次、系数与微分方程的阶次、系数一一对应，传递函数中各项系数的数值完全取决与系统的结构参数，与输入信号无关。

可改写为：

式中：K为常数；

Z1,，Z2，…，Zm为传递函数分子多项式方程的根，称为传递函数的零点；

P1，P2，…，Pm为分母多项式方程的根，称为传递函数的极点。

传递函数的分母式就是微分方程的特征方程式，故P1，P2，…，Pm又称为特征方程的根。

取s=0，则：

则传递函数G(0)就是静态放大系数，即

上式为系统的静态方程，它反映了在稳态时输出与输入之间的关系。

传递函数具有以下性质：（2）一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系。（3）系统传递函数的分母就是系统的特征方程，从而能方便地判断动态过程的基本特性。(1)传递函数是描述动态特性的数学模型，它表征系统（或环节）的固有特性，和输入信号的具体形式、大小无关。在已知传递函数G(S)和输入函数R(S)时，输出的时域响应为:

c(t)＝L-1[C(s)]＝L-1[G(s)R(s)]如果输入R(S)是一个简单且较典型的时间函数，则可从c(t)来了解系统的动态特性。典型的输入有：单位脉冲函数、单位阶跃函数。在输入为单位脉冲函数时，系统的输出随时间而变化的过程，称为单位脉冲响应。在输入为单位阶跃函数时，系统的输出随时间而变化的过程，称为单位阶跃响应。

第三节脉冲响应和阶跃响应单位脉冲函数：

可以看成面积为1四矩形脉冲函数在宽度τ→0时的极限单位脉冲响应函数当系统（或环节）的输入信号r(t)为单位脉冲函数(t)，传递函数为G（s），则它的输出信号c(t)称为单位脉冲响应，c(t)的数学表达式称为单位脉冲响应函数。

例

RC电路的传递函数，试求其单位脉冲响应函数，并作出单位脉冲响应曲线。※解：单位脉冲响应函数uc(t)为：作单位脉冲响应曲线图：

单位脉冲函数在物理系统中是不存在的，是一个重要的数学工具。持续时间很短的脉冲电压信号、冲击等，可近似看作脉冲作用。二．单位阶跃响应函数当系统（或环节）的输入信号r(t)为单位阶跃函数1(t)，传递函数为G（s），则它的输出信号c(t)称为单位阶跃响应，c(t)的数学表达式称为单位阶跃响应函数。由于单位阶跃函数1(t)的拉普拉斯变换为：

则它的单位阶跃响应函数为：例

RC电路的传递函数，试求其单位阶跃响应函数，并作出单位阶跃响应曲线。

※解：单位阶跃响应函数为：单位阶跃响应曲线图:

电阻R和电容C的乘积是RC电路的时间常数二．单位阶跃响应函数在生产过程中，很多扰动近似于阶跃函数的性质，如负荷的突然变化，阀门的突然开大等。因此，用阶跃响应特性来表示一个环节或系统的动态特性，能够比较直观地显示出其输出量在扰动作用下的变化情况。在工业过程中，为了测试系统的动态特性，经常采用阶跃响应试验（又称飞升试验），这是因为在生产过程中很容易通过调节机关或扰动机关造成阶跃输入，记录系统的输出量便得出阶跃响应曲线。采用低阶近似的办法由阶跃响应曲线可推导出近似的传递函数。脉冲响应特性和阶跃响应特性也是在时间域中对系统特性的一种数学描述方法，实际上它们就是微分方程在特定的输入函数和给定边界条件下的解，它们可以用输出量的时间函数表示，也可以用输出量随时间变化的曲线来描述。

在分析控制系统时，可以用方框图表示各变量之间的关系。方框图中的每一个方框称为环节，系统是由若干个环节以不同方式联接而成。系统的传递函数：式中，Ti和Tj称为时间常数，有时间量纲。第四节基本环节及环节的联接方式

如果分子或分母的常数项和低次幂依次r项都缺项，则G(s)可表示为：可以看出，组成系统的各种环节中最基本的形式是一阶因式。这些基本环节可归纳成：比例环节、积分环节、惯性环节、微分环节和迟延环节。一、基本环节1．比例(Proportional)环节比例环节的传递函数为：作比例环节的阶跃响应曲线图比例环节的微分方程为：

K—环节的传递系数或比例系数。输出信号能按一定比例、无迟延和无惯性地复现输入信号的变化，因此输出信号与输入信号随时间变化的曲线形状完全相同。2、积分(Integral)环节

积分环节的微分方程为：比例环节的实例很多。杠杆传动间的位移或力的传递、齿轮传动间的转速或力矩的传递都是成比例关系的；各种放大器间的输入电压和输出电压间的关系是比例关系；流经电阻的电流与电压之间成比例关系，因此电阻以及相类似的线性化的流阻，热阻也都可以看作是比例环节。积分环节的传递函数为

作积分环节的阶跃响应曲线:Ti的数值等于当输出信号从零变化到与输入信号的阶跃变化量在数值上相等时所经历的一段时间。积分环节的实例很多，凡是输出量反映输入量对时间的累加值的环节都属于积分环节。一个储藏物质或能量的元件，若以流量作为输入信号，以表征储藏量多少的相当于势能的参数作为输出信号，则这种元件的特性就属于积分环节。例如：电容器：等截面积水箱：

积分环节的一个很重要特点，就是当输入信号为零时输出信号才能保持不变，而且能保持在任何数值上。只要输入端有信号，哪怕是很微小的信号，输出就不可能稳定，且会随时间的推移而不断变化，以致出现明显的变化，这就是积分环节的输出“爬行”现象。在自动调节器的设计中，引用积分环节便可以消除被调量的偏差。

3、惯性环节（非周期环节）式中T—惯性环节的时间常数；

K—惯性环节的传递系数或称静态放大系数。惯性环节的传递函数为它的阶跃响应函数，即时，输出信号c(t)为：惯性环节的微分方程为阶跃响应曲线：K就是输出的稳态值与输入的稳态值之比惯性环节传递函数的分母为Ts＋1，因此，它的特征方程有一个负实根：特征方程式的根与阶跃响应曲线之间的关系根在负实轴上距原点越远，表明惯性环节的时间常数就越小，阶跃响应曲线趋于稳态值就越快。例：如图所示的阻容电路：

比较热电偶、水箱、储气罐、电加热器和阻容电路，可以归纳出一个共同的特点：即惯性环节是由一个阻力（热阻、水阻、气阻和电阻）和一个容量（热容、水容、气容和电容）所组成，其输出信号是从容量上取得的势能（温度、水位、气压、电压）。4、微分(Derivative)环节

（1）理想微分环节式中Td—微分时间微分方程为传递函数为阶跃响应函数为

微分环节的阶跃响应是一个脉冲函数，实际上任何元件或设备都不可能具有这样的动态特性，因此，称它为理想微分环节。

(2)实际微分环节联立方程得：

对于一个阻容电路，如果输出电压取自电容上的电压，它的动态特性属于惯性环节。如果它的输出电压不是取自电容，而是取自电阻，如图所示，那么可列出下列动态方程式：上式描述的是一个实际微分环节，如将其写成一般形式，则实际微分环节的微分方程为：式中Td—实际微分环节的时间常数

Kd—放大系数传递函数为单位阶跃响应函数为响应曲线图阶跃响应曲线的特点是当阶跃信号输入时（即t=0+时），输出信号c(t)与输入信号的阶跃值成比例地跃变，其比值为Kd,随后c(t)按指数曲线衰减，当t趋于无限大时，c(t)复原至零。5、纯迟延环节

如果环节的输出信号的变化与输入信号的变化完全相同，只是落后了一段时间，则这种环节称为纯迟延环节。工程上，对于信号只能以有限速度传送的元件或装置，其动态特性可近似地看成迟延环节。例如皮带式输煤机，它的入口煤量要经过皮带输送，经历一段时间后才到达出口。若以入口煤量为输入信号，出口煤量为输出信号，就属于纯迟延环节。烟气取样管在采集炉烟时，烟道的炉烟要经历取样管形成的迟延时间才能送到烟气成分分析仪。烟气取样管属于纯迟延环节。

二．环节的基本联接方式1、环节的串联设各串联环节的传递函数分别为G1(s)，G2(s)，…，Gn(s)，则串联后总的传递函数为2、环节的并联二．环节的基本联接方式3、环节的反馈联接根据反馈信号B(s)与输入信号R(s)的综合方式，可将反馈联接分为正反馈和负反馈。当输入信号R(s)与反馈信号B(s)相加时称为正反馈。当输入信号R(s)与反馈信号B(s)相减时称为负反馈。二．环节的基本联接方式例1：图示为一阻容电路例2：单容水箱系统

单容水箱的传递函数为

在自动控制系统中，主要应用负反馈联接方式。负反馈联接有一个非常重要的性质：当前向环节的放大系数相当大时，

这就是说，反馈系统的总的传递函数只取决于反馈环节的特性，而与前向环节的特性无关。在测量仪表的设计中正是利用这一原理来提高仪表的精确度和线性度。只要放大器的放大倍数足够大，整个仪表的精确度就只决定于线性反馈元件的精确度，从而大大减轻了放大器漂移及其非线性的影响。

三、方框图的等效变换由环节构成自动调节系统时，最基本的联接方式就是上面所介绍的三种。在实际系统中，由于信号之间的相互交叉影响，反馈回路相互重叠，构成的调节系统往往比较复杂，只有采用等效变换，将方框图简化后才能求出总的传递函数。简化的原则是设法移动综合点或引出点的位置，在保证总的传递函数不变的条件下，消除回路间的交叉。必须遵守以下规则：（1)相邻相加点之间的移动

C(s)