实验物理误差理论

实验物理误差理论第一页，共八十二页，2022年，8月28日大学物理实验课程教师：谭伟石电话：大学物理实验中心第二页，共八十二页，2022年，8月28日一、为什么要学习物理实验课摘自：《理工科类大学物理实验课程教学基本要求》

(2010年版)教育部高等学校物理学与天文学教学指导委员会物理基础课程教学指导分委会第三页，共八十二页，2022年，8月28日物理实验课的地位、作用和任务1、物理实验课的地位物理实验课是高等理工科院校对学生进行科学实验基本训练的必修基础课程，是本科生接受系统实验方法和实验技能训练的开端。2、物理实验课的作用物理实验课覆盖面广，具有丰富的实验思想、方法、手段，同时能提供综合性很强的基本实验技能训练，是培养学生科学实验能力、提高科学素质的重要基础。它在培养学生严谨的治学态度、活跃的创新意识、理论联系实际和适应科技发展的综合应用能力等方面具有其他实践类课程不可替代的作用。第四页，共八十二页，2022年，8月28日物理实验课的地位、作用和任务3、物理实验课的任务

⑴培养学生的基本科学实验技能，提高学生的科学实验基本素质，使学生初步掌握实验科学的思想和方法。⑵培养学生的科学思维和创新意识，使学生掌握实验研究的基本方法，提高学生的分析能力和创新能力。⑶提高学生的科学素养，培养学生理论联系实际和实事求是的科学作风，认真严谨的科学态度，积极主动的探索精神，遵守纪律，团结协作，爱护公共财产的优良品德。第五页，共八十二页，2022年，8月28日二、课前动员1、具体的课程体系、学习内容、学习要求，请同学们阅读教材绪论部分，并浏览学习教材第二章内容（自学），了解常用物理实验方法

。2、梦想与追求大学本科是优秀中学生继续深造的一种普遍的培养模式，每位学生都对此寄予更高的希望和追求；第六页，共八十二页，2022年，8月28日大家都梦想一个美好的未来学士学位是一个重要的学位，以应用型和研究型复合人才为培养目标，有一定的研究能力，能解决有技术含量的实际问题，大多数以应用为主，在社会上就业竞争力较强，是继续深造的基础。增强就业竞争力是大家进入大学的一个朴素正当的理由，找到好工作或具有创业能力，是提高自己一生生活质量的良好开端。第七页，共八十二页，2022年，8月28日提高生活质量在于提高自身能力提高生活质量的要素是提高工作效率，效率在于能力，能力包含——知识、技能、合作等多个方面。知识——知识点的积累、并能融合为有用的知识链（这一点需要去了解社会，形成自己感兴趣的知识链，并灵活应用）；技能——除了基本技能外，要形成自己有一定特色的、有战斗力的、较为完整的技能训练，积累经验，悟性来自经验；合作——任何研究的课题或者其他实际的工作都有难度，团队合作才能做成一件有价值的工作，创建、加入团队的能力是体现自身能力的客观表现。第八页，共八十二页，2022年，8月28日你准备好工具箱了吗？每一个科技人员都有一个工具箱，工具箱越强，适应能力越强。知识库、工具库、前人经验的积累是工具箱的重要内容。走向社会是要干事的，你拿什么来完成任务，空手套白狼是不切合实际的。良好的理论基础和强大的动手能力，是悟性发展的必备条件。原理、方法、手段是解决实际问题的基本思路，用精湛的技术，巧妙的设计，自身资源的充分利用，才能提高效率、战无不胜。所以我们必须要有一个强大的工具箱来武装自己，高效率才能获取机会、创造机会。你准备好了吗？第九页，共八十二页，2022年，8月28日1、必修基础课，3个学分，分2个学期完成；每个学期1.5个学分，各做8个实验，2个星期1次。2、平时成绩占总成绩的50%，考试成绩占30%，期末实验考核成绩占20%，成绩等级为优秀（90分以上）、良好（80分以上）、中等（70分以上）、及格（60分以上）、不及格（60分以下）5个等级。3、实验过程为：预习—课堂实验—提交实验报告，缺席实验1次，实验成绩降一个等级；缺席实验2次（或以上）者，实验课程成绩视为不及格，重修。三、实验课规则及成绩评定参考第十页，共八十二页，2022年，8月28日4、平时成绩评定：预习—课堂实验—提交合格实验报告整个过程，占80分；良好的工作作风和学习态度10分；对实验结果进行分析总结10分。5、考试：第一个学期笔试（内容和今天上课关系很大）加实验考核，第二个学期设计性实验考试。实验课成绩评定参考第十一页，共八十二页，2022年，8月28日四、实验课的基本要求1、预习：课前认真预习本次实验内容，并用实验册写出预习报告，每次上课要检查的内容。2、课堂实验：老师对实验内容、实验要求、注意事项等作简单讲述，对号入座，完成实验；实验完成后必须在实验室记录本上登记，对实验情况，仪器使用情况等作登记，最后老师签字后方能离开实验室，没有老师签字的作旷课处理。第十二页，共八十二页，2022年，8月28日实验课的基本要求3、养成良好的工作作风，遵守课堂纪律；做完实验后，要做现场的清理工作，如仪器整理、现场环境整理等，计入平时成绩。4、课后完成实验报告，不要抄书，要求逻辑性强，科学合理，用自身对实验的理解，总结性书写，最好写成设计性实验报告形式，有分析有总结。第十三页，共八十二页，2022年，8月28日五、单周星期五上午课堂实验安排分组：分3个大组，每个组分为甲、乙2个小组1组：甲：乙：2组：甲：乙：3组：甲：乙：

下周二交误差理论作业，由班长收齐，交至—基础实验大楼326房间谭伟石老师，下周五取回报告册。第十四页，共八十二页，2022年，8月28日第一次课堂实验安排

（基础实验大楼）1、甲：磁阻效应；406室乙：PN结；404室2、甲：直流电桥；407室乙：导热系数；405室3、甲：霍耳效应；301室乙：示波器；303室以后的实验依序轮换。第十五页，共八十二页，2022年，8月28日误差理论及数据处理第十六页，共八十二页，2022年，8月28日

按测量方法不同可分

直接测量间接测量

测量：用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地得到待测量的量值。一、

测量§

1.1测量与误差关系直接测量--指无需对被测量与其它实测量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；

间接测量--指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量第十七页，共八十二页，2022年，8月28日二、

误差2、误差来源（1）

仪器误差：任何仪器都存在误差

（2）

环境误差：实验条件、环境不符合规定

（3）

测量方法误差：方法、理论不完善

（4）

人员误差：主观因素和操作技术1、误差的定义

测量误差=测量值-真值

N真是客观存在但通常是无法测量到的，因为误差与测量是形影不离的。误差反映的是测量值偏离真实值的大小和方向。注意有正、负之分。（单位）第十八页，共八十二页，2022年，8月28日三、

误差分类：系统误差，随机误差，粗大误差

1系统误差（保持恒定或以可预知的方式变化）

特点：确定性，许多情况下系统误差是不变的，不可避免，但可以修正。

产生原因：仪器本身的缺陷、测量方法的不完善、环境因素、实验者的不良习惯等.不能经过多次测量求平均来减小或消除。第十九页，共八十二页，2022年，8月28日分类及处理方法：（1）已定系统误差：必须修正电表、螺旋测微计的零位误差；

（2）未定系统误差：要估计出分布范围 （大致与B类不确定度B

相当）如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等注意：由于测量条件不变时有确定的大小和正负，无法通过多次测量求平均值消除或减小，必须针对原因消除或修正（比较复杂）第二十页，共八十二页，2022年，8月28日2.随机误差界定：同一被测量在多次测量过程中，绝对值和符号以不可预知方式变化的测量误差的分量例:

电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化，操作读数时的视差影响。特点:

随机性，但总体（大量个体的总和）上通常服从正态分布来源：仪器、环境、人员消除：由于其随机性，不可能修正第二十一页，共八十二页，2022年，8月28日正态分布特点：（1）绝对值小的误差出现的概率大：单峰性（2）绝对值相等的正负误差出现的概率相等，所以用多次测量取平均的方法可以减小随机误差：对称性（3）绝对值很大的误差出现的概率趋于零：有界性曲线下面积为1，曲线越窄，峰越高，随机误差越小。第二十二页，共八十二页，2022年，8月28日3.粗大误差界定：在测量中因疏忽或其它种种原因，引入的一些不正常的,明显超出规定条件下预期误差的，具有较大偏差的误差量。大于3倍标准偏差的残差产生原因：测量中的疏忽或其它种种原因。例如，突然的振动，短时间的强风，偶尔记录错误，错误读数，使用有缺陷的器具，使用仪器方法不对，环境的强干扰等。特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。

处理：剔除（要特别小心）第二十三页，共八十二页，2022年，8月28日

（1）绝对误差：反映误差本身大小。（2）相对误差（百分误差）：反映误差的严重程度。四、

测量结果表示结果表示：注意：绝对误差大的，相对误差不一定大。（单位）第二十四页，共八十二页，2022年，8月28日例如：第二十五页，共八十二页，2022年，8月28日例如:

2m20m38.4万公里100米跑道：地月：可见：绝对误差大的，相对误差不一定大第二十六页，共八十二页，2022年，8月28日五、精密度、正确度与准确度（又称精确度）1.准确度和精密度——分析测量结果的衡量指标。

(

1)准确度──分析测量结果与真实值的接近程度准确度的高低用误差的大小来衡量；包括系统误差和随机误差。(2)精密度──几次平衡测定结果相互接近的程度精密度的高低衡量随机误差的大小(3)两者的关系精密度是保证准确度的先决条件；精密度高不一定准确度高；两者的差别主要在于是否反映系统误差的大小。2.正确度：表示系统误差的大小

第二十七页，共八十二页，2022年，8月28日

精密度、正确度与准确度这三个名词分别用来反映随机误差、系统误差和综合误差的大小。正确度较高、精密度低精密度高、正确度低精密度和正确度均高，故说成是准确度高(b)(c)(a)第二十八页，共八十二页，2022年，8月28日§1.2测量结果误差估算及评定方法

对待测量N进行K次测量，得N1，N2……Nk．用算术平均值：

作为真值的最佳估计（最佳值），评定其可靠性（可信度如何）的方法有三种。

它们是：算术平均偏差δ、

标准偏差σ、不确定度u第二十九页，共八十二页，2022年，8月28日1．算术平均偏差结果可表示为：（单位）其中：Ni-N为残余误差（残差）

特点：简单；缺点：大偏差得不到应有反映。第三十页，共八十二页，2022年，8月28日

（2）平均值的标准偏差（在同一条件下对某物理量进行多次测量）

（1）测量列的实验标准差(有限次测量和被测真值未知)：贝塞尔公式2．标准偏差（反映平均值代替真值的精密度）m个K次平行测定的平均值：由统计学可得：K方均根偏差第三十一页，共八十二页，2022年，8月28日

标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。

理解：若随机误差服从正态分布，在与平均值距离σ

处，是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1，σ越小，曲线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之精密度越低。

第三十二页，共八十二页，2022年，8月28日置信概率（包含真值的概率）

测量结果的范围68.26%

95.44%99.73%当系统误差、粗大误差已消除，随机误差服从正态分布，且σ已确定时第三十三页，共八十二页，2022年，8月28日A类分量（用统计方法计算）uＡ：B类分量（用其他方法计算）uＢ：合成不确定度测量结果表示为：相对不确定度：3．不确定度（uncertainty，反映平均值代替真值的准确度）

Δins为仪器的极限误差；K为置信系数。（单位）第三十四页，共八十二页，2022年，8月28日完整的测量结果应表示为：以电阻测量为例

包括：测量对象测量对象的量值约定：在我们的实验中u取一位有效数字，相对不确定度取1-2位有效数字。注意：的末位和u对齐。测量的不确定度测量值的单位第三十五页，共八十二页，2022年，8月28日

一、单次测量误差估算及评定

单次测量结果的误差估算常以测量仪器误差来评定。

仪器误差：

△已标明（或可明确知道）的误差

△未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度的一半作误差。

△电表

§1.3直接测量结果误差估算及评定方法第三十六页，共八十二页，2022年，8月28日例:

如用一个精度为0.5级，量程为10μA的电流表，单次测量某一电流值为2.00μA，试用不确定度表示测量结果。

解：u=10μA×0．5％=0．05μA

I=（2．00±0．05）μA相对不确定度Eu＝2.5%第三十七页，共八十二页，2022年，8月28日二、多次测量结果的误差估算

及评定程序

1、求平均值。

2、求或或u。

3、表示结果。（例如用u，则结果为）

第三十八页，共八十二页，2022年，8月28日u的利弊——计算方便但准确度低——只考虑了随机误差，只反映了精密度u

——既含随机误差又含系统误差，且准确度高今后我们约定结果写成：式中这种表示方法的置信概率大约为95%左右第三十九页，共八十二页，2022年，8月28日

绝对误差相对误差§1.4间接测量结果误差的估算及评定

N=f(x,y,z)

一、

一般误差的传递公式当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对误差较方便当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对误差较方便第四十页，共八十二页，2022年，8月28日

二、

标准偏差的传递公式第四十一页，共八十二页，2022年，8月28日

三、不确定度的传递公式不确定度相对不确定度当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z)，先计算不确定度较方便当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（N=x2y/z)，先计算相对不确定度较方便第四十二页，共八十二页，2022年，8月28日表某些常用函数的不确定度传递公式函数形式

不确定度传递公式

第四十三页，共八十二页，2022年，8月28日[总结]

间接测量结果用不确定度评定的基本步骤：

（1）计算各直接测量的最佳值和它们的不确定度；

（2）根据公式计算间接测量量的不确定度（保留1位有效数字），或相对不确定度（保留1~2位有效数字）；

（3）求出间接测量值N，N的末位与不确定度所在位对齐；

（4）写出结果注意单位不要漏写

第四十四页，共八十二页，2022年，8月28日例:用一级千分尺（）测量某一圆柱体的直径D和高度H，测量数据见表1，求体积V并用不确定度评定测量结果。

第四十五页，共八十二页，2022年，8月28日表1圆柱体的测量数据测量次数D/mmH/mm13.0044.09623.0024.09433.0064.09243.0004.09653.0064.09663.0004.09473.0064.09483.0044.09893.0004.094103.0004.096第四十六页，共八十二页，2022年，8月28日解：（1）计算直接测量值D、H的不确定度（a）（b）A类不确定度（c）B类不确定度第四十七页，共八十二页，2022年，8月28日（3）写出结果（d）估算UD和UH（2）求V和Uv第四十八页，共八十二页，2022年，8月28日§1.5有效数字及其运算

一、什么叫有效数字

一般地，有效数字是由若干位准确数字和一位可疑数字（欠准数字）构成。举例：1.25 （3位有效数字）

1.250 （4位有效数字） 0.0125（3位有效数字）

1.0025（5位有效数字）第四十九页，共八十二页，2022年，8月28日注意：（1）同一物体用不同精度的仪器测量，有效数字的位数是不同的，精度越高，有效数字的位数越多如：最小分度被测量长度有效数字位数米尺1mm120.6mm4游标卡尺0.02mm120.60mm5螺旋测微器0.01mm120.600mm6（2）有效数字位数与十进制单位的变换无关如：12.06cm=0.1206m=0.0001206km

有效数字位数都是4第五十页，共八十二页，2022年，8月28日（3）表示小数点位数的“0”不是有效数字；数字中间的“0”和数字尾部的“0”都是有效数字；数据尾部的“0”不能随意舍掉，也不能随意加上（4）推荐用科学记数法在十进制单位变换时，K不变，只改变n如：900v=9.00×v=9.00×mv=9.00×kv第五十一页，共八十二页，2022年，8月28日

二、有效数字运算规则１、加减运算

尾数对齐——在小数点后所应保留的位数与诸量中小数点后位数最少的一个相同。如：11.4+2.56=14.0

75-10.356=65如：4000×9.0=3.6×104

2.000÷0.10=20２、乘除运算

位数对齐——有效数字的位数一般与诸量中有效数字位数最少的一个相同。第五十二页，共八十二页，2022年，8月28日3、某些常见函数运算的有效位数

（1）对数函数尾数的位数取得与真数的位数相同；（2）指数函数的有效数字，可与指数的小数点后的位数（包括紧接在小数点后的零）相同；第五十三页，共八十二页，2022年，8月28日

（4）常数的有效位数可以认为是无限的，实际计 算中一般比运算中有效数字位数最多的多取1位；（3）三角函数的取位随角度的有效位数而定；4、当诸量进行加减、乘除混合运算时，有效数字应遵循加减、乘除运算规则逐步取舍第五十四页，共八十二页，2022年，8月28日2、最佳值或测量值末位与不确定度末位对齐。三、不确定度和测量结果的数字化整规则1、不确定度的有效位数1~2位

本书约定不确定度只保留1位。

相对不确定度1~2位。

尾数采用四舍六入五凑偶

如：1.4=1，2.6=3，1.5=2，2.5=2 第五十五页，共八十二页，2022年，8月28日小结实验中如何确定数据的有效位数？

在实验中我们所得的测量结果都是可能含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位有效位数。第五十六页，共八十二页，2022年，8月28日1.直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度游标类器具（游标卡尺、分光计度盘、大气压计等）一般读至游标最小分度的整数倍，即不需估读。第五十七页，共八十二页，2022年，8月28日数显仪表及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等）一般应直接读取仪表的示值。第五十八页，共八十二页，2022年，8月28日指针式仪表及其它器具，读数时估读到仪器最小分度的1/2～1/10，或使估读间隔不大于仪器基本误差限的1/5～1/3。第五十九页，共八十二页，2022年，8月28日注意指针指在整刻度线上时读数的有效位数。第六十页，共八十二页，2022年，8月28日被测量值有效位数的确定

Y＝y±u中，被测量值y的末位要与不确定度u的末位对齐（求出y后先多保留几位，求出u，由u决定y的末位）

不确定度分析结果最终结果为：V=9.44±0.08cm3即：不确定度末位在小数点后第二位，测量结果的最后一位也取到小数点后第二位。例：环的体积第六十一页，共八十二页，2022年，8月28日§1.6常用的数据处理方法一、列表法列表法是将实验上得到的数据按一定的规律列成表格。它的优点是：能使物理量之间对应关系清晰明了，有助于发现实验中的规律，也有益于发现实验中的差错，列表法又是其他数据处理的基础，应当熟练掌握。第六十二页，共八十二页，2022年，8月28日列表要求：1各栏目（纵及横）均应标明物理量的名称和单位。2原始数据应列入表中，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可列入表中。3栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算的程序，力求简明、齐全、有条理。4若是函数关系测量的数据表，应按自变量由小到大（或由大到小）的顺序排列。5在表格上方注明表序号和名称。6必要时的附加说明第六十三页，共八十二页，2022年，8月28日测量次数D/mmH/mm13.0044.09623.0024.09433.0064.09243.0004.09653.0064.09663.0004.09473.0064.09483.0044.09893.0004.094103.0004.096表1圆柱体的测量数据第六十四页，共八十二页，2022年，8月28日第六十五页，共八十二页，2022年，8月28日

作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据表１数据U轴可选1mm对应于0.10V，I轴可选1mm对应于0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）约为130mm×130mm。作图步骤：实验数据列表如下：

表1：伏安法测电阻实验数据二、作图法第六十六页，共八十二页，2022年，8月28日2.标明坐标轴：

用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.连成图线：用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。3.标实验点：实验点可用“”、“”、“□”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。第六十七页，共八十二页，2022年，8月28日5.标出图线特征：在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点A、B的坐标就可求出R值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线6.标出图名：

在图线下方写出图线的名称及某些必要的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：至此一张图才算完成第六十八页，共八十二页，2022年，8月28日不当图例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图图1曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。第六十九页，共八十二页，2022年，8月28日nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：第七十页，共八十二页，2022年，8月28日图2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴以3cm

代表1V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。第七十一页，共八十二页，2022年，8月28日I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线改正为：第七十二页，共八十二页，2022年，8月28日定容气体压强～温度曲线1.20001.60000.80000.4000图3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。第七十三页，共八十二页，2022年，8月28日定容气体压强～温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正为：第七十四页，共八十二页，2022年，8月28日三、逐差法逐差法是对等间距测量的有序数据，进行逐项或相等间隔相减得到结果。它计算简便，并可充分利用数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中