第4章 货币时间价值

第4章货币时间价值Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-2本章结构4.1时间线4.2时间移动的三条规则4.3复利的效力:一个应用4.4系列现金流的估值4.5系列现金流的净现值4.6永续年金、年金以及其他特殊形式的现金流Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-3本章结构（续）4.7运用电子数据表程序解题4.8求解除现值或终值以外的其他变量Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-4学习目标掌握说明给定现金流的时间线的画法列举并描述时间移动的三条规则计算以下现金流的终值：一个单个金额。始于当前或未来某个时点的不规则的现金流。始于当前或未来某个时点的年金。每隔一定时间产生的并且每期以固定的速率增长的一系列现金流。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-5学习目标(续)计算以下现金流的现值：一个单个金额始于当前或未来某个时点的不规则的现金流永续的等额现金流。始于当前或未来某个时点的年金。每期以固定的速率增长的永续现金流。每隔一定时间产生的并且每期以固定的速率增长的一系列现金流。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-6学习目标(续)给定年金以下五个因素中的四个，求第五个：(a)现值，(b)终值，(c)期数，(d)一定时期的利率，(e)定期的支付额。给定系列等额现金流以下四个因素中的三个，求第四个：(a)现值，(b)终值，(c)期数，(d)一定时期的利率。给定现金流以及现值或者终值，计算系列现金流的内含回报率。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-74.1时间线时间线（timeline）是对预期现金流的发生时期的线性图形描述。画出现金流的时间线有助于使财务问题形象化。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-84.1时间线(续)假设一个朋友欠你钱。他同意在未来两年内，于每年年末分别偿还$10,000。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-94.1时间线(续)注意区分两种不同的现金流现金流入（Inflows）是正的现金流。现金流出（Outflows）是负的现金流，在图上用负号表示。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-104.1时间线(续)假定你今天将$10,000借给别人，向你的借款人承诺在未来两年的年末分别偿还$6,000。第一个发生于0期（今天）的现金流由于是现金流出，因此需要用负数表示。时间线可以表示发生于任何时期期末的现金流。例4.1构造时间线问题：假设你必须在未来两年内每年支付10,000美元的学费。学费必须以等额分期付款的形式在每学期的期初支付。学费支付的时间线是怎样的？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-11例4.1构造时间线(续)解答：假如今天为第一学期的开始，你的第1笔支付发生在时期0（今天）。其余的支付每隔1学期发生。将1个学期作为期间长度，我们可构建如下的时间线：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-12Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-134.2时间移动的三条规则财务决策通常要求比较或合并发生在不同时点的现金流。这三条规则使得我们可以比较或合并价值。表4.1时间移动的三条规则规则1只有同一时点上的价值才可以比较或合并规则2要在时间上前移现金流，需要对其进行复利计算现金流的终值规则3要在时间上后移现金流，需要对其进行折现现金流的现值Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-14时间移动规则1今天的1美元和1年后的1美元是不等价的。只有同一时间点上的价值才可以进行比较或合并。你更喜欢哪个：今天价值$1,000的礼物或者以后价值$1,210的礼物？要回答这个问题，你必须在两者之间进行比较，以决定哪个更值钱。需要考虑的一个因素是：以后到底是指多久以后？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-15时间移动规则2要在时间上前移现金流，需要对其进行复利计算（compoundit）。假设你有两种选择：今天收到$1,000或者两年后收到$1,210。你相信可以利用今天收到的$1,000进行投资并

每年赚取10%的收益，想知道这$1,000在两年后将值多少。时间线如下所示：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-16时间移动规则2（续）现金流的终值（FutureValue）：FVn=C×（1+r）×(1+r)×…×（1+r）=C×（1+r）nn次

补充：终值和复利计算

一项多期投资的终值的一般计算公式可以写为：FV=C0×(1+r)T

其中：

C0

是时间0的现金流量

r是适用的利率

T

是现金投资的时期数《公司理财（CorporateFinance原书第8版）》（美）斯蒂芬A.罗斯、伦道夫W.威斯特菲尔德、杰弗利F.杰富著----附录表A-3给出了“1元钱在T期末的复利值（终值系数）”。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-18时间移动规则2——另一个例子要在时间上前移现金流，需要对其进行复利计算。假设你有两个选择：今天立即收到$5,000或者五年后收到$10,000。你认为今天收到的$5,000每年可以赚取10%的利息，想知道这$5,000在五年后会变成多少。时间线如下所示：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-19时间移动规则2——另一个例子（续）五年后，$5,000将增加为：

$5,000×(1.10)5=$8,053$5,000按照每年10%的利率，五年后的终值等于$8,053。

所以你应该放弃当前$5,000的收入，选择五年后收入$10,000。

Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-20时间移动规则3要在时间上后移现金流，需要对其折现（discountit）。现金流的现值（PresentValue）：补充：现值和贴现

计算未来现金流量的现值的过程叫做“贴现”。它是复利计算的相反过程。

一项多期投资的现值的一般计算公式可以写为：

其中：

CT

是在期的现金流量

r

是适用的利率

《公司理财（CorporateFinance原书第8版）》（美）斯蒂芬A.罗斯、伦道夫W.威斯特菲尔德、杰弗利F.杰富著----附录表A-1给出了“T期后得到的1元钱的现值（现值系数）”。例4.2单个未来现金流的现值计算问题：假如你考虑投资于储蓄债券，该债券将在10年后支付15,000美元。假如市场利率固定为每年6%，该债券今天的价值是多少？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-22例4.2单个未来现金流的现值计算（续）解答：该债券的现金流可以用如下的时间线表示：因此，该债券10年后的价值为15,000美元。为了确定其今天的价值，需要计算15,000美元的现值：由于货币时间价值，该债券在今天的价值比它的最终支付金额少得多。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-23Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-24时间移动规则3——另一个例子假设你进行了一项投资，5年后将产生10,000美元的回报。如果你希望获得10%的回报率，试问这项投资当前的价值是多少？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-25时间移动规则3——另一个例子（续）这项投资将值：$10,000∕(1.10)5=$6,209Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-26用时间移动规则合并价值回到规则1：只有同一时间点上的价值才可以进行比较或合并。到目前为止我们只关注了现金流之间的比较。假定我们计划在今天和未来两年的每个年末分别储蓄$1000。如果我们的存款可以固定获取10%的存款利率，那么从今天开始的三年后我们将拥有多少钱？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-27用时间移动规则合并价值(续)时间线如下所示：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-28用时间移动规则合并价值（续）Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-29用时间移动规则合并价值（续）Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-30用时间移动规则合并价值（续）例4.3计算终值

问题：再回到前面的储蓄计划：我们计划在今天和未来两年的每个年末分别储蓄1000美元。在固定的10%的存款利率下，从今天开始的3年后，我们在银行将拥有多少存款？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-31例4.3计算终值

(续)解答：让我们选择与前面不同的另一种方法解决这个问题。首先计算现金流的现值。有几种方法计算现值，这里我们采取分别计算每期现金流的现值，然后再合并它们的现值。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-32例4.3计算终值

(续)在这个例子中，今天存入2735.54美元等价于3年里每年存入1000美元。现在让我们计算该存款在3年后的终值：答案3641美元与我们之前的计算结果完全一致。只要我们正确运用时间移动的三条规则，总是能得到正确的答案。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-33Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-34用时间移动规则合并价值——另一个例子假定一项投资现在支付$5,000以及五年后支付$10,000。时间线如下所示：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-35用时间移动规则合并价值——另一个例子（续）你可以通过将两个单独现金流今天的价值相加计算合并现金流的现值。两个现金流的现值为$11,209。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-36用时间移动规则合并价值——另一个例子（续）你可以通过将两个单独现金流在第5年的价值相加计算合并现金流的终值。两个现金流的终值为$18,053。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-37用时间移动规则合并价值——另一个例子（续）Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-384.3复利的效力：一个应用复利（Compounding）利息生利息（利滚利）随着时期的增加，终值以一个不断增长的速度增加，这是因为利息产生越来越多的利息。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-39图4.1复利的效力补充：终值和复利计算如果资金按复利计算，利息将被进行再投资；而在单利情况下，利息没有进行再投资。

$1×(1+r)2=1+2r+r2>1+2r

如果投资金额越大，期限越长，复利的威力就越大。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-414.4系列现金流的估值基于时间移动规则1，我们可以推导出一个系列现金流估值的一般公式：如果我们想要计算系列现金流的现值，我们只需要将每个现金流的现值相加。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-424.4系列现金流的估值(续)系列现金流的现值:例4.4系列现金流的现值问题：假设你刚刚毕业，需要钱买一辆车。只要同意在4年内还清，并按照银行存款利率向他支付利息,你富有的亨利叔叔就愿意借钱给你。基于你的收入和生活开支，你认为能在1年后偿还5000美元，接着在以后的3年内每年偿还8000美元。如果亨利叔叔的存款利率是6%，你能从他那里借到多少钱？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-43例4.4系列现金流的现值（续）解答：你向亨利叔叔承诺支付的现金流如下所示：作为你承诺的这些支付的回报，亨利叔叔现在愿意借给你多少钱呢？他愿意借给你的金额等于这些支付的现值。这一金额等于他为得到这些相同的现金流今天所要花费的数额。计算如下：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-44例4.4系列现金流的现值（续）因而，亨利叔叔愿意借给你24,890.65美元作为与你所承诺的支付相交换。由于货币时间价值，这一数额少于你将支付给他的总额（5,000美元+8,000美元+8,000美元+8,000美元=29,000美元）。让我们来验证这一答案。如果你叔叔现在把24,890.65美元存入银行，按照6%的利率，4年后他会得到Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-45例4.4系列现金流的现值（续）现在假设你叔叔把这笔钱借给你，并且每年将你还给他的钱存入银行。从现在起4年后他会得到多少？我们需要计算每年存款的终值。一种方法是计算每年的银行存款余额：两种方法得到一样的结果（由于四舍五入，误差在1美分之内）。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-46Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-47系列现金流的终值现值为PV的系列现金流的终值计算公式：现在假设你叔叔把这笔钱借给你，并且每年将你还给他的钱存入银行。从现在起4年后他会得到多少？我们需要计算每年存款的终值。一种方法是计算每年的银行存款余额：两种方法得到的结果是一样的（由于四舍五入，误差在1美分之内）。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-48系列现金流的终值——另一个例子如果复利率为5%，如下所示的现金流三年后的终值是多少？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-49系列现金流的终值——另一个例子（续）或者Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-504.5系列现金流的净现值计算未来现金流的净现值（NetPresentValue，NPV）可以帮助我们评估投资决策。净现值衡量的是流入现金（收益）的现值与流出现金（成本）的现值之间的差值。例4.5计算投资机会的净现值问题：你有如下的投资机会：如果今天投资1000美元，在未来3年的每年年末你都将收到500美元。如果你投资于其他项目，能获得每年10%的回报率，你应该接受这个投资机会吗？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-51例4.5计算投资机会的净现值（续）解答：一如既往，先构建时间线。将前期的投资表示为负的现金流（因为这是我们需要支出的钱），将未来收到的钱表示为正的现金流。为了决定是否接受这个投资机会，我们通过计算系列现金流的现值以计算投资机会的净现值：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-52例4.5计算投资机会的净现值（续）因为净现值为正，收益大于成本，所以应该进行投资。的确，净现值告诉我们，接受这个投资机会，就相当于今天得到了额外的243.43美元可供花费。为了说明这一点，假设你现在借入1000美元进行这项投资，并借入额外的243.43美元供你花费。为今天这笔1243.43美元的借款，3年后你要还多少钱？在10%的利率下，你的欠款总额将为：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-53例4.5计算投资机会的净现值（续）同时，投资将会产生现金流。如果你将这些现金流存入银行账户，从现在起3年后你的存款将是多少？存款的终值为：正如你所看到的，你可以用你的银行存款来偿还贷款。因而接受这一机会，将使你现在可以花费243.43美元，而没有任何额外成本。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-54Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-554.5系列现金流的净现值——另一个例子如果折现率是7%，你愿意支付$5,000以换取如下所示的系列现金流吗？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-56计算收益的现值和成本的现值……收益的现值为： 3000/(1.05)+2000/(1.05)2+1000/(1.05)3=5366.91成本的现值为$5,000，因为这笔支出发生在现在。净现值（NPV）=

PV(收益)–PV(成本) =5366.91–5000=366.91Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-574.6永续年金、年金以及其他特殊形式的现金流永续年金（perpetuity）为定期发生的一系列等额的现金流，并且永远持续。永续年金的价值等于现金流除以利率。永续年金的现值计算公式：补充：永续年金(Perpetuity)永续年金是一系列没有止境的固定的现金流量。0…1C2C3C永续年金现值的计算公式：例4.6捐赠永续年金问题：假如你想为母校每年举行的MBA毕业聚会捐款。你想使这一事件具有纪念意义，打算永久性地每年为聚会捐赠30,000美元。如果这所大学能用这笔钱赚得8%的年回报率，现在你要为聚会捐赠多少钱？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-59例4.6捐赠永续年金（续）解答：你要提供的现金流的时间线如下所示：这是每年支付30,000美元的标准的永续年金。为了将来以永续年金的形式为母校提供资金，现在要一次性捐赠的数额就是未来这一系列现金流的现值。由永续年金现值公式可得：如果现在你捐赠375,000美元，并且如果大学将这笔钱以8%的年回报率永久性地投资，则MBA毕业生每年都会有30,000美元可用于他们的毕业聚会。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-60Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-61年金年金（annuity）为在N期里定期发生的一系列等额现金流。年金的现值计算公式：补充：年金(Annuity)年金是一系列固定、有规律、持续一段时期的现金流量。01C2C3C年金现值的计算公式：TC补充：年金：计算公式一个年金可以看作是两个永久年金之差：一个自时间1开始的永久年金减去一个自时间T+1开始的永久年金。01C2C3CTC补充：年金(Annuity)

年金系数——

《公司理财（CorporateFinance原书第8版）》（美）斯蒂芬A.罗斯、伦道夫W.威斯特菲尔德、杰弗利F.杰富著----附录表A-2给出了“T期内均匀收付1元钱现金流量的现值（年金系数）”。例4.7彩票奖金年金的现值问题：假如你幸运地中得3000万美元的州彩票奖。奖金的领取可以有两种选择：（a）从现在开始，每年领取100万美元，领取30年；或者（b）现在一次性领取1500万美元。如果利率是8%，你应该选择哪一种方式？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-65例4.7彩票奖金年金的现值（续）解答：选择（a）为你提供了全部的3000万美元奖金，但要分期支付。为了准确地评估这一选择，需要把它转换为现值。时间线如下（单位：美元）：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-66例4.7彩票奖金年金的现值（续）因为第一笔支付发生在今天，所以最后一笔支付发生在第29年（总共为30笔支付）。时期0的100万美元已经表现为现值的形式了，但我们需要计算其余支付的现值。好在本例看起来就像是每年支付100万美元的29年期的年金，所以我们可以用年金的现值计算公式：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-67例4.7彩票奖金年金的现值（续）因此，现金流的总的现值为：100万美元+1,116万美元=1,216万美元

用时间线表示如下：（单位：美元）：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-68例4.7彩票奖金年金的现值（续）选择（b）现在就能得到的1,500万美元，更有价值，虽然得到的支付总额仅为选择（a）的一半。这种差别的原因在于货币时间价值。如果你现在拥有1,500万美元，你可以立即消费100万美元，将余下的1,400万美元以8%的利率投资。这一策略将使你得到每年1,400万美元×8%=112万美元的永续年金！你也可以于当前消费1,500万美元-1,116万美元=384万美元，再将剩余的1,116万美元进行投资，这笔投资将使你可以在你的账户被撤销之前的未来29年里每年提取100万美元。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-69Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-70年金(续)年金的终值例4.8退休储蓄计划年金

问题：艾伦今年35岁，她觉得是认真地为退休做打算的时候了。在65岁之前的每年年末，她都将在退休账户里存入10,000美元。如果该账户存款的年利率为10%，艾伦到65岁时将攒下多少钱？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-71例4.8退休储蓄计划年金(续)解答：还是一样，先建立时间线。本例中，在时间线上同时标记日期和艾伦的年龄是有帮助的：艾伦的存款计划看起来像是每年10,000美元的30年期的年金。（提示：如果只看年龄而不同时看日期，就很容易困惑。常见的错误是认为只有65-36=29次支付。同时写下日期和年龄就可避免这个错误。）Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-72例4.8退休储蓄计划年金(续)为确定艾伦到65岁时在银行账户中将拥有的金额，我们计算这项年金的终值：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-73Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-74增长型永续年金（GrowingPerpetuities）假设你预期你的永续年金支付额以固定比例g增长。增长型永续年金的现值：补充：增长型永续年金(GrowingPerpetuity)增长型永续年金是一系列没有止境的且具有永续增长趋势的现金流量。0…1C2C×(1+g)3C×(1+g)2增长型永续年金现值的计算公式：例4.9捐赠增长型永续年金

问题：在例4.6中，你计划向母校捐赠一笔钱以资助每年花费30,000美元的MBA毕业聚会。给定8%的年利率，当前需要捐赠的数额就等于永续年金的现值：PV=30,000美元/0.08=375,000美元。然而在接受捐赠之前，MBA学生联合会考虑到未来通货膨胀对毕业聚会成本的影响，请求你增加捐赠额。尽管30,000美元对于举办下一年的聚会是足够的，但学生们估计聚会成本从那以后将会每年增长4%。为满足他们的要求，你现在需要捐赠多少钱？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-76例4.9捐赠增长型永续年金(续)解答：下一年的聚会成本为30,000美元，然后成本将永久性地每年增长4%。从时间线可见，这是增长型永续年金的形式。为给不断增长的成本融资，你今天需要提供增长型永续年金的现值：你的这份礼物的价值为原先的2倍！Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-77Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-78增长年金（GrowingAnnuities）初始现金流为c、增长率为g、利率为r的N期增长年金的现值被定义为：增长年金的现值补充：增长年金(GrowingAnnuity)增长年金是一种在有限时期内增长的现金流量。01C增长年金现值的计算公式：2C×(1+g)3C×(1+g)2T

C×(1+g)T-1补充：增长年金(GrowingAnnuity)

增长年金的计算不能查表，我们必须直接计算公式中的每一项。例4.10增长年金形式的退休储蓄问题：在例4.8中，艾伦考虑到退休，计划每年储蓄10,000美元。尽管10,000美元是她在第一年所能储蓄的最高金额，但她预计薪水会逐年增长，所以她将能够每年增加储蓄额5%。在这一计划下，如果存款的年利率是10%，艾伦到65岁时将储蓄了多少钱？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-81例4.10增长年金形式的退休储蓄（续）解答：她的新储蓄计划可以下面的时间线表示：这是增长率为5%、初始现金流为10,000美元的30年期的增长年金。其现值为：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-82例4.10增长年金形式的退休储蓄（续）艾伦打算的储蓄计划相当于她今天在银行存入150,463美元。为确定她到65岁时将拥有的金额，我们需要将现值向前移动30年：在新的储蓄计划下，艾伦到65岁时将攒下262.5万美元。这个数额比她每年没有额外增加储蓄时所拥有的数额几乎多了100万美元。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-844.7运用电子数据表程序解题电子数据表（Spreadsheets）可以简化货币时间价值(TVM)问题的计算NPERRATEPVPMTFV例4.11用Excel计算终值问题：假如你计划在一个利率为8%的账户中存入20,000美元。到15年后，你的账户上会有多少钱？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-85例4.11用Excel计算终值（续）解答：用以下的时间线来描述这个问题：为了求解终值，输入4个已知变量（NPER=15，RATE=8%,PV=-20,000，PMT=0），运用Excel函数FV（RATE,NPER,PMT,PV）求解未知量FV。电子数据表计算出终值为63,443美元。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-86例4.11用Excel计算终值（续）注意，我们输入的PV为负值（我们存入银行的金额），输出的FV显示为正值（我们可以从银行取出的金额）。在使用电子数据表函数时，正确地使用符号以表示现金流方向非常重要。为验证结果，我们可直接求解这个问题：例4.12使用年金电子数据表问题：假设你在一个利率为8%的账户中存入20,000美元，你计划在15年内的每年年末提取2,000美元。到15年后，账户上还剩多少钱？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-88例4.12使用年金电子数据表（续）解答：还是先构造时间线：时间线表明，每年提取的金额是我们从银行账户收到的年金。注意PV是负的（存入银行的钱），PMT是正的（从银行取出的钱）。使用年金电子数据表求解最终的账户余额FV：15年后，银行账户上会剩下9,139美元。Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-89例4.12使用年金电子数据表（续）我们也可以直接计算FV。一种方法是将存款和取款看成是两个独立的账户。在20,000美元的存款账户中，我们的储蓄到15年后将增长到63,443美元，正如我们在例4.11的计算结果。使用年金终值的计算公式，如果我们在未来15年内，每年以8%的利率借款2,000美元，最终债务将会增长到：偿债之后，在15年后我们将会剩余：63,443-54,304=9,139美元Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-914.8求解除现值或终值以外的其他变量有时候我们知道现值或终值，却不知道此前我们曾作为输入变量的某个变量。例如，当你借款时，你知道要借的金额，但是不知道每期需要偿付的金额。例4.13计算借款的偿付额问题：你公司打算花100,000美元购买一个仓库。银行提供一笔每年等额偿付、年利率为8%的30年期贷款。银行要求你公司支付购买价格的20%作为首付，所以你只能借到80,000美元。每年的贷款偿付额为多少？Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.4-92例4.13计算借款的偿付额（续）解答：先构建时间线（从银行的角度）：使用等式4.12，可以求解贷款偿付额，C，如下：Copyright©2007PearsonAddison-Wesley.Allrightsreserved.