第十一章-动量矩定理

11动量矩定理

质点和质点系的动量矩动量矩定理刚体绕定轴转动的微分方程刚体对轴的转动惯量质点系相对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程引言

由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将由本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。1质点的动量矩

质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，是矢量。11.1质点和质点系的动量矩xyzqOmvlO(mv)lz(mv)r

质点动量mv在oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩，是代数量。

类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z的动量矩。在国际单位制中，动量矩的单位是kg·m2/s。质点的动量矩[lO(mv)]z＝lz(mv)质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。质点系的动量矩2质点系的动量矩LO=ΣlO(mv)质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一z轴的动量矩的代数和。Lz=Σlz(mv)质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。[LO]z=Lz3平动刚体的动量矩刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。刚体的动量矩4定轴转动刚体的动量矩令Jz＝Σmiri2

称为刚体对z轴的转动惯量,于是得即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。转动惯量1物体对轴的转动惯量2物体对点的转动惯量3物体对各坐标轴的转动惯量4物体对坐标原点的转动惯量转动惯量由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是:kg·m2。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。

在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为如果已知回转半径，则物体的转动惯量为

回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。回转半径(惯性半径)转动惯量1求几何简单物体的转动惯量2求可分为几个简单形体的物体的转动惯量3求复杂或非均质物体的转动惯量用实验方法测定同一物体对不同轴的转动惯量一般不同。

1.均质细杆简单形状物体的转动惯量z1dxxxCzdxxxOl

设均质细杆长l，质量为m，取微段dx,则

2.均质薄圆环对于中心轴的转动惯量设细圆环的质量为m，半径为R。则3.均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圆板转动惯量为简单形状物体的转动惯量转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理：物体对某轴的转动惯量=物体对通过其质心并与该轴平行的轴的转动惯量+物体的质量与两轴间距离的平方之乘积。对一组平行轴而言，物体对通过其质心的轴的转动惯量最小。

证明：因平行轴定理y,y1z1zdxmCOz＝z1x＝x1r1ryy1x1

由质心坐标公式

由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。当坐标原点取在质心C时,yC＝0,Smiyi＝0,又有Smi＝m,于是得平行轴定理

例

如图所示，已知均质杆的质量为m，对z1轴的转动惯量为J1，求杆对z2的转动惯量J2

。解：由，得平行轴定理(1)－(2)得zz1z2abC

例

均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴O的转动惯量。解：组合刚体的转动惯量

例1均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。解：LO的转向沿逆时针方向。质点系的动量矩

例2均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长为l＝3r，绕轴O转动的角速度为w、求下列三种情况下系统对轴O的动量矩：(a)圆盘与杆固结；(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动；(c)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w顺时针方向转动。解：(a)(b)(c)11.2.1质点的动量矩定理

设质点对固定点O的动量矩为LO(mv)，作用力F对同一点的矩为MO(F)，如图所示。11.2

动量矩定理xyzOLO(mv)mvrMO(F)F将动量矩对时间取一次导数，得11.2.1

质点的动量矩定理因为所以又因为所以xyzOLO(mv)mvrMO(F)F质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。

将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。11.2.1

质点的动量矩定理

必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。例3图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为v，摆的偏角为j，则式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标j的正负号相反。它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。质点的动量矩定理MyxNvmg由即这就是单摆的运动微分方程。当j很小时摆作微摆动，sinj

≈j，于是上式变为此微分方程的解为其中A和a为积分常数，取决于初始条件。可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为显然，周期只与l有关，而与初始条件无关。得

设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)

和内力Fi(i)

。由质点的动量矩定理有这样的方程共有n个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项11.2.2

质点系的动量矩定理上式左端为于是得11.2.2

质点系的动量矩定理质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。在应用质点系的动量矩定理时，取投影式质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。11.2.2

质点系的动量矩定理

必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。1.质点动量矩守恒定律如果作用在质点上的力对某定点(或定轴)之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量矩保持不变。11.2.3

动量矩守恒定理当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。2.质点系动量矩守恒定律例4水平杆AB长2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，这系统绕z轴的角速度为w0。如某时此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度w。解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即显然，此时的角速度w＜w

0。解：取系统为研究对象例5

均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。应用动量矩定理OPWvmgFOxFOyw例6一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为m的重物A，另一端有一质量为m的人以速度u相对细绳向上爬。若滑轮半径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为由于SMO(F(e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物A将始终保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy

设刚体绕定轴z以角速度w转动，则Lz＝

Jzw。11.3刚体绕定轴转动的转动微分方程xyzFN1FN2FnF1F2刚体受有主动力和轴承约束反力，如不计摩擦，则由质点系动量矩定理得或11.3刚体绕定轴转动的转动微分方程刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。以上各式均称为刚体绕定轴转动的微分方程。

应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。例7如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2

。求滑轮的角加速度ε

。

解：由刚体定轴转动的微分方程于是得由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。F1F2ORε定轴转动的转动微分方程例8图示物理摆的质量为m，C为其质心，摆对转轴的转动惯量为JO。求微小摆动的周期。

解：设j角以逆时针方向为正。当j角为正时，重力对O点之矩为负。由刚体定轴转动的微分方程，有当微摆动时，有sinj

≈j

，故方程写为此方程通解为j

0为角振幅，ε

为初相位。它们均由初始条件确定。摆动周期为mg这就表明，如已知某物体的质量和质心位置，并将物体悬挂于O点作微幅摆动，测出摆动周期后即可计算出此物体对于O轴的转动惯量。例9如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有由运动学关系，得注意到 ，联立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nM

如图所示，O为固定点，C为质点系的质心，质点系对于固定点的动量矩为对于任一质点mi于是11.5质点系相对于质心的动量矩定理由于rir'irCmiyy'x'z'COxzvirir'irCmiyy'x'z'COxzvi它是质点系相对于质心的动量矩。于是得即：质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系统动量mvC对于O点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩LC(应为矢量和)。11.5质点系相对于质心的动量矩定理

质点系对于固定点O的动量矩定理可写成令展开上式,注意右端项中ri＝rC+ri',于是上式化为上式右端是外力对质心的主矩，于是得因为于是上式成为质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。11.5质点系相对于质心的动量矩定理

由刚体平面运动理论知：平面运动刚体的位置可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心为基点，如图所示，则刚体的位置可由质心坐标和j角确定。刚体的运动可分解为随同质心的平动和相对质心的转动两部分。取如图的动坐标系，则刚体绕质心的动量矩为JC为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量。11.6刚体的平面运动微分方程y'x'xyOCD

设作用在刚体上的外力可向质心所在平面简化为一平面力系，由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得上式也可写成11.6刚体的平面运动微分方程y'x'xyOCD以上两式称为刚体平面运动微分方程。应用时，前一式取其投影式。即11.6刚体的平面运动微分方程

例10一均质圆柱，质量为m，半径为r，无初速地放在倾角为q的斜面上，不计滚动阻力，求其质心的加速度。

解：以圆柱体为研究对象。圆柱体在斜面上的运动形式，取