第四章弯曲应力

材料力学中南大学土木工程学院1一、弯曲的概念1、弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶作用时,轴线由直线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2、梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。第四章弯曲应力§4.1平面弯曲的概念MMABF1F2q材料力学中南大学土木工程学院23、工程实例材料力学中南大学土木工程学院3材料力学中南大学土木工程学院44、平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。纵向对称面MF1F2q平面弯曲亦称为对称弯曲（指前后对称）。材料力学中南大学土木工程学院5FAAF1F2

B对称轴纵对称面FB

对称弯曲(平面弯曲)时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合材料力学中南大学土木工程学院6

特定条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴线所在平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属于平面弯曲。①梁不具有纵对称面；②梁有纵对称面，但外力没有作用在纵对称面内，从而变形后轴线所在平面与梁的纵对称面不一致。5、非对称弯曲yzFqxzyFq材料力学中南大学土木工程学院7二、梁的计算简图

梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1、构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。2、荷载简化作用于梁上的荷载（包括支座约束力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布荷载。F集中力ABFA集中力偶Mqq(x)分布荷载MA材料力学中南大学土木工程学院8①固定铰支座

2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。②可动铰支座

1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。AAAFAxFAyAAAAFAA3、支座简化材料力学中南大学土木工程学院9③固定端约束

3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。AFAyAFAxMA4、梁的三种基本形式②悬臂梁q(x)—分布荷载M集中力偶①简支梁材料力学中南大学土木工程学院10静定梁：由静力学方程可求出全部约束力的梁，如上述三种基本形式的静定梁。静不定梁：由静力学方程不能求出全部约束力的梁。③外伸梁M集中力FMq—均匀分布荷载F5、静定梁与静不定梁材料力学中南大学土木工程学院11一、弯曲内力解：①求外力§4.2梁的剪力和弯矩FFAyFAxFBAB②求内力——截面法xmm如图，已知：F，a，l。求距A端x处截面上内力。FalAB材料力学中南大学土木工程学院12M∴弯曲构件内力剪力FS弯矩M2、弯矩：M

构件受弯时，作用面垂直于横截面的内力偶矩。ACCBFAyFSFFBFSM1、剪力：FS

构件受弯时，作用线平行于横截面的内力。材料力学中南大学土木工程学院133、内力的正负规定①剪力FS：绕研究对象顺时针转动为正；反之为负。②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形

的为负弯矩。FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)FS(+)FS(–)FS(–)材料力学中南大学土木工程学院144、内力大小的求法（按“设正法”画图）某截面剪力的大小等于该截面一侧（左或右）梁上所有外力的代数和。即对截面左侧梁而言，向上的外力引起正的剪力，向下的外力引起负的剪力。右侧则相反q1FAMCq2F1FSM1q3FBMCF2FSM2或应选外力比较简单的一侧计算！材料力学中南大学土木工程学院15②某截面弯矩的大小等于该截面一侧所有外力对此截面形心之矩的代数和。向上的外力引起正的弯矩，向下的外力引起负的弯矩。截面左侧梁上顺时针转向的力偶引起正的弯矩，逆时针转向的力偶引起负的弯矩，右侧则相反。q1FAMCq2F1FSM1q3FBMCF2FSM2或+M顺－M逆+M逆－M顺材料力学中南大学土木工程学院16解：1、求约束力2、计算1-1截面的内力3、计算2-2截面的内力F=12kNFAFBq=12kN/m求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=12kNABFAFB材料力学中南大学土木工程学院17①计算一个截面的内力，可直接根据方程由外力写出结果，而不必逐个作截面画受力图再列方程求解。②求弯矩时不论取截面左侧还是取截面右侧，都是向上的外力引起正的弯矩，向下的外力引起负的弯矩，与求剪力不同。二、剪力方程和弯矩方程内力图1、内力方程：内力与截面位置坐标(x)间的函数关系式。FS=FS(x)剪力方程M=M

(x)弯矩方程注意用方程表达内力沿轴线的变化规律，其优缺点是⑴用积分法求弯曲变形需要列出弯矩方程；⑵方程依赖于坐标系，即同一段梁用不同坐标系写出的方程不同。且内力变化规律不直观，不方便。材料力学中南大学土木工程学院183、FS，M图(剪力图与弯矩图)的要求⑴与梁的轴线对齐画，并注明内力性质；⑵正的剪力画在梁的上方，负的剪力画在梁的下方；⑶弯矩无论正负均画在梁受拉的一侧；

(即正的弯矩画在梁的下方，负的弯矩画在梁的上方)⑷标明特殊截面内力数值；⑸标明内力的正负号；⑹注明内力单位。2、剪力图和弯矩图将内力方程画成图像，观察内力变化规律既唯一又直观。剪力图FS=FS(x)的图线表示弯矩图M=M

(x)的图线表示材料力学中南大学土木工程学院19解：1、求约束力2、列剪力方程和弯矩方程x图示简支梁受集度为q的均布荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。BlAqFBFAxAqFAFS(x)M(x)A截面：x=0+，B截面：x=l-材料力学中南大学土木工程学院203、作剪力图和弯矩图ql2FS图ql28l/2M图

BlAq材料力学中南大学土木工程学院21解：1、求约束力2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出图示简支梁受集中荷载F作用，试作梁的剪力图和弯矩图。xBlAF

abCFBFAAC段FAxAM(x)FS(x)材料力学中南大学土木工程学院22xBlAF

abCFBFACB段FBBFS(x)M(x)l-x材料力学中南大学土木工程学院233、作剪力图和弯矩图FS

图FblFalM图FablBlAF

abC材料力学中南大学土木工程学院242、列剪力方程和弯矩方程解:1、求约束力剪力方程无需分段：图示简支梁受矩为M

的集中力偶作用，作梁的剪力图和弯矩图。MBlACabFA

FB材料力学中南大学土木工程学院25弯矩方程——分AC和CB两段MBlACabFA

FBAC段FAxAM(x)FS(x)CB段FBBFS(x)M(x)l-x材料力学中南大学土木工程学院263、作剪力图和弯矩图FS图lMlM图MalMbMBlACab分析外力偶分别移到左右两端时的内力图！并作总结！材料力学中南大学土木工程学院27

由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。结构对称、外力对称时，剪力图为反对称，弯矩图为正对称。结构对称、外力反对称时，剪力图为正对称，弯矩图为反对称。由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小。FabClABMFSFSMabClABM材料力学中南大学土木工程学院28剪力图形状：位于轴线上最左端的小球在外力作用下升降或无外力作用下平行于轴线移动到轴线上最右端所形成的轨迹。简支梁受简单荷载作用下的弯矩图形状：柔性体在荷载作用下变形所形成的形状。悬臂受简单荷载作用下的弯矩图形状FlqlABFlABMlABM特别要指出的是：左右端面的内力等于相应的外力！即端面弯矩等于外力偶，若无外力偶作用，则端面弯矩为零！材料力学中南大学土木工程学院29三、剪力、弯矩与分布荷载间的关系对dx微段分析，由F=0dxxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA剪力图上某点切线的斜率等于该点处荷载集度的大小q(x)向上为正x坐标向右为正材料力学中南大学土木工程学院30弯矩图上某点处切线的斜率等于该点剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系是：q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA材料力学中南大学土木工程学院31

剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系由微分关系积分得条件：x1>x2

，且x1到x2间无集中力作用。条件：x1>x2

，且x1到x2间无集中力偶作用。即用此式配合剪力图面积可以跳跃式计算某截面的弯矩！x1到x2间剪力图面积材料力学中南大学土木工程学院32二、剪力、弯矩与外力间的关系外力FS图特征M图特征无外力段q=0水平直线xFSFS>0FSFS<0x斜直线xM增函数xM减函数

集中力CFxFSCFS1FS2FS1–FS2=F自左向右突变自左向右折角xM折向与F反向集中力偶CMxFSC无变化自左向右突变MxM1M2曲线xM上凸均布荷载段斜直线增函数xFSxFS减函数xM下凸q>0q<0材料力学中南大学土木工程学院33剪力图和弯矩图的定性分析FSFFF1F3F4FFF1M1F3F4M2qqF5F5MM1M2材料力学中南大学土木工程学院34解:特殊点①端点；②分区点（外力变化点），即集中力（力偶）作用点，分布力开始和结束点等；③驻点(剪力为零，弯矩取极值)。四、作内力图的简捷方法利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。用简捷作图法画图示梁的内力图。aaqaqA材料力学中南大学土木工程学院35；线形：根据及集中荷载点的规律确定。FSqa2Mqa2qaaaqaqA材料力学中南大学土木工程学院36解：求约束力M的驻点：3qa2/8用简捷法画简支梁的内力图。Dqqaqa2ABCaaaFAFDMqa2/2－+qa2/2qa2/2FSqa/2－+－qa/2qa/2材料力学中南大学土木工程学院37解：求约束力FS3(kN)4.2M(kN·m)3.81.413－+－3.82.22.1mE－++外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁内力图。DABC1m1m4m3kN2kN/m6kN·mFAFB材料力学中南大学土木工程学院38画出图示有中间铰的静定梁的剪力图和弯矩图1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/mM=5kN·mF=50kNMA

FAyFByMA=96.5kN，FAy=81kN，FBy=29kN813129FS图(kN)1.45m96.515.53155345M图(kN·m)材料力学中南大学土木工程学院39适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必须与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。五、按叠加原理作弯矩图1、叠加原理：

多个荷载同时作用于结构而引起的内力等于每个荷载单独作用于结构而引起内力的代数和。材料力学中南大学土木工程学院402、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理

——叠加方法步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。3、对称性与反对称性的应用

对称结构在对称荷载作用下，FS图反对称，M图对称；对称结构在反对称荷载作用下，FS图对称，M图反对称。材料力学中南大学土木工程学院41

=+FABqABM1=+M2+++M按叠加原理作图示简支梁的弯矩图。qFABaa材料力学中南大学土木工程学院42+FlMFFlllFllFlll0.5FlM20.5Fl–+M10.5Fl+材料力学中南大学土木工程学院43M（1）选定外力的不连续点(如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等)为控制截面，求出控制截面的弯矩值。（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：2FCl/2ABFl/2l/2材料力学中南大学土木工程学院44区段叠加法作弯矩图

设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力偶MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力偶作用下的直线弯矩图与跨间荷载q单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即BMBAqMAl注意：中间数值不一定是该段抛物线的极值！+MBMA+MBMAql2/8中间值+ql2/8材料力学中南大学土木工程学院45FS图5qa/3qa/38a/34qa2/3M图qa2/185qa2/3作图示梁的剪力图和弯矩图。B3aACMe=3qa2aq解：支座约束力为：FAFB材料力学中南大学土木工程学院4649qa2/325qa2/4改内力图之错。7qa/4FSM––++qa/4qa/43qa/4qa2/4qBAa2aaqa23qa2/2材料力学中南大学土木工程学院475kN1kNq=2kN/mM(kN·m)+111.25–已知FS图，作外荷载图及弯矩图（梁上无集中力偶）。FS(kN)1m1m2m231++－材料力学中南大学土木工程学院48qlqqlq作图示斜梁的弯矩图弯矩方程为xx弯矩方程为0qlsinq均布荷载按水平尺寸计算材料力学中南大学土木工程学院49qlqqlqx弯矩方程为x弯矩方程为0qltanq均布荷载按杆轴线尺寸计算材料力学中南大学土木工程学院50条件：完全等价必须满足q1lqx均布荷载按水平尺寸计算q2lqx均布荷载按杆轴线尺寸计算即材料力学中南大学土木工程学院511、平面刚架：同一平面内不同取向的杆件，通过杆端相互

刚性连接(变形后夹角不变)而组成的结构。特点：刚架各杆的内力通常有：FN、

FS

、M

。2、内力图规定弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧(通常正值画在刚架的外侧)，但须注明正、负号。§4.3平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架3、内力图画法可将刚节点视为固定端，刚架由不同取向的悬臂梁组成。材料力学中南大学土木工程学院52F2+FS图F1+–FN

图F1F1aM图F1aF1a+F2ll试作图示刚架的内力图。F1F2aABC材料力学中南大学土木工程学院532qaFN图2qa2qaFS图2qa26qa2M图试作图示刚架的内力图。F=2qaBCA2aa2aDq材料力学中南大学土木工程学院54二、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件。

内力情况及绘制方法与平面刚架相同。如图所示，已知F及R

，试绘制M

、FS

、FN图。OFRqmmx解：建立极坐标，O为极点，OB

极轴，q表示截面m–m的位置。AB材料力学中南大学土木工程学院55OFRqmmxABABOM图OO+FS图FN

图2FRFF–+材料力学中南大学土木工程学院56qABFFlxxC起吊一根自重为q(N/m)的等截面梁。起吊点位置x应为多少才最合理？提示：使梁的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等。解：x为负值无意义取材料力学中南大学土木工程学院571、弯曲构件横截面上的应力MFSFSt切应力t内力剪力FS弯矩M正应力sMs§4.4平面弯曲时梁横截面上的正应力剪力是位于横截面内的内力系的合力，而剪力只与切应力t有关。弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；弯矩M只与横截面上的正应力s有关。材料力学中南大学土木工程学院58纯某段梁的内力只有弯矩没弯

有剪力时，该段梁的变形曲

称为纯弯曲，如AB段。MM横力弯曲

某段梁的内力既有弯矩，又有剪力时，该段梁的变形称为横力弯曲，如AB以外段。

FFaaABFSMFFFa材料力学中南大学土木工程学院592、研究方法平面弯曲取纵向对称面研究FAAFFB对称轴纵对称面FB

F纵向对称面F材料力学中南大学土木工程学院601、梁的纯弯曲实验（一）变形几何规律一、纯弯曲时梁横截面

上的正应力中性层纵向对称面中性轴ababMeMe

横向线(ab、ab）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上面压缩，下面伸长；各纵向线间距不变。横向线与纵向线变形后仍正交。bbaa材料力学中南大学土木工程学院612、两个概念中性层：梁内一层纵向线段既不伸长也不缩短，因而纵向线段不受正应力作用，此层纵向线段构成中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层纵向对称面中性轴意中性层将梁分成两个上下区域：凹侧纵向线段受压缩短，凸侧纵向线段受拉伸长。而中性轴上的正应义力为零。义弯曲变形可看作是横截面绕自己的中性轴转动。材料力学中南大学土木工程学院623、推论平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，与中性层平行平面的各纵向线段变形相等。横截面上只有正应力。

y

轴——纵对称轴

z

轴——中性轴

yy坐标相同的点所在纵向线段变形相同，因而应力相同，所以

s

x=s(y)横截面

yz材料力学中南大学土木工程学院634、几何方程b1MMmmnnaabbr——中性层的曲率半径CbbryO1O2dqdxmmnn放大中性层纵向线段变性前后长度不变变性后长度mabmanbndx材料力学中南大学土木工程学院64（二）物理关系假设：各纵向线段之间的距离不变，因而纵向线段互不挤压，即没有垂直于轴线的正应力。于是，任意一点均处于单向应力状态。sxsx即横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。stmax

Mscmax材料力学中南大学土木工程学院65（三）静力学关系对称弯曲时y轴为对称轴，此条件自动满足。有以上分析可知，y、z轴为形心主惯性轴！得Sz=0，即中性轴z必过截面形心，所以中性轴一定是形心轴。zOyzdAsdAyx材料力学中南大学土木工程学院66得这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。其中EIz称为梁的抗弯刚度。代入上式zOyzdAsdAyx材料力学中南大学土木工程学院67

弯曲正应力计算公式

弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴上为零，距中性轴越远，数值越大。横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。smax

M材料力学中南大学土木工程学院68当中性轴

z不是横截面的对称轴时Ozyyt,maxyc,max材料力学中南大学土木工程学院69

当中性轴

z为横截面的对称轴时称为抗弯截面系数(模量)，单位：m3或mm3。中性轴为对称轴时才有，中性轴不是对称轴时不存在。根据变形来判断最大拉压应力，其数值相等。smax

Mzybhyzd材料力学中南大学土木工程学院70简单截面的抗弯截面系数⑴矩形截面zybh⑵圆形截面yzd材料力学中南大学土木工程学院71(4)型钢截面：参见型钢表式中⑶空心圆截面DOdyz材料力学中南大学土木工程学院72横力弯曲时：①由于切应力的存在使梁的横截面发生翘曲；②横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。二、横力弯曲时梁横截面上的正应力1、横力弯曲变形特点2、横力弯曲时的正应力Fq

采用纯弯曲正应力公式，当梁的跨高比l/h≥5时，误差d<1%，因此，对细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横截面上的正应力都可用下式计算：材料力学中南大学土木工程学院73

解：1、作弯矩图如上M图375KN·m2、查型钢表得56号工字钢图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax

和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa

。B5m10mAFC12.521166560za材料力学中南大学土木工程学院743、求正应力为12.521166560za材料力学中南大学土木工程学院75解：1、确定截面形心位置选参考坐标系yoz'如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为:如图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F=15kN作用。试计算截面B—B的最大拉应力与最大压应力。400BBF2012020120IIIz'CzyyCO材料力学中南大学土木工程学院762、计算截面惯性矩3、计算最大弯曲正应力截面B—B的弯矩为MB=6kNm

在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：2012020120IIIz'CzyyCO材料力学中南大学土木工程学院771、两点假设

①切应力与剪力平行；

②与中性轴等距离处，

切应力相等。2、研究方法：分离体平衡。

①在梁上取微段如图1；dxxFS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dx图1图2xyzFN2t1tbFN1②在微段上取一块如图2，平衡§4.5梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力材料力学中南大学土木工程学院78由切应力互等定理其中Sz*

为y点以下的面积对中性轴之静矩；M(x)+dM(x)dxxFS(x)+dFS(x)M(x)FS(x)dx图1图2xyzFN2t1tbFN1材料力学中南大学土木工程学院79

FS

——整个横截面的剪力

Sz﹡——计算点外侧面积A﹡对中性轴的静矩Iz——整个截面对中性轴的形心主惯性矩

b——计算点处截面有效宽度

yFSyzhbtA﹡箱形截面有效宽度b=2dddB材料力学中南大学土木工程学院80（上、下边缘）t

=0y=0（中性轴）∴3、矩形截面切应力的分布hzyybtt

沿截面高度按抛物线规律分布tmaxzyOtmax材料力学中南大学土木工程学院811、腹板上的切应力二、工字形截面梁ydhzOdbtys

dAzyOA*dxtt'x材料力学中南大学土木工程学院82腹板与翼缘交界处Sz*最小，切应力取最小值中性轴处Sz*最大，切应力取最大值tmaxtmintmaxzyO材料力学中南大学土木工程学院832、翼缘上的切应力①因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行于y轴的切应力为零。(1)平行于y轴的切应力可见翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一般不考虑。②计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力ydhzOdbty材料力学中南大学土木工程学院84dht1t1'dxA*(2)垂直于y轴的切应力ydhzOdbt1y材料力学中南大学土木工程学院85即翼缘上垂直于y轴的切应力随按线性规律变化。

且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。tmaxzyOtmaxtmint1max材料力学中南大学土木工程学院86三、圆截面梁关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力沿y方向的分量ty沿宽度相等。切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与y轴对称；与y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。zyOtmaxkk'O'd材料力学中南大学土木工程学院87最大切应力tmax

在中性轴z处yzOC2d/3pzyOtmaxkk'O'd材料力学中南大学土木工程学院88四、薄壁圆环形截面中性轴上各点：t∥FS，均匀分布t

maxyzO总结以上截面，其最大切应力为矩形截面实心圆截面空心圆环截面材料力学中南大学土木工程学院891、危险面与危险点分析①一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。sst一、梁的正应力和切应力强度条件§4.4～§4.5梁的抗弯强度条件sMFSt材料力学中南大学土木工程学院902、正应力和切应力强度条件②带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在FS

和M均很大的截面的腹板和翼缘相交处。（以后讲）正应力强度条件sMFSttsts中性轴为横截面对称轴的等直梁材料力学中南大学土木工程学院91为充分发挥材料的强度，最合理的设计为拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyyt,maxyc,max材料力学中南大学土木工程学院92切应力强度条件一般讲，梁的强度主要考虑正应力，但在下列情况下，也校核切应力强度。①

梁跨度较小，或支座附近有较大荷载；②

T形、工字形等薄壁截面梁；③

焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、胶合面等进行剪切强度计算。材料力学中南大学土木工程学院93①校核强度②设计截面尺寸③确定许可荷载3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：确定截面尺寸设计截面时验证材料力学中南大学土木工程学院94解：画内力图求危险面内力如图矩形截面(bh=0.12m0.18m)

木梁，[]=7MPa，[]=0.9MPa，求最大正应

力和最大切应力之比，并校核梁的强度。Bq=3.6kN/mAl=3m求最大应力并校核强度应力之比MFS－++材料力学中南大学土木工程学院952.54M(kNm)+－T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的许用应力分别为[st

]=30MPa，[sc

]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？BA1m1m1mF1=9kNF2=4kNDEy1Cy2A1A2A3A4解：画弯矩图并求危险面内力下拉，上压下压，上拉画危险面应力分布图，找危险点材料力学中南大学土木工程学院962.54M(kNm)+－y1Cy2A1A2A3A4校核强度T字头在上面合理。

若改成右图放置，不合理。y2Cy1A3A4材料力学中南大学土木工程学院97解：约束力为1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_内力图及截面内力图示T形梁，已知[sc]

=100MPa，[st]

=50MPa，[t]=40MPa，yC=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1、D左侧截面E点的正应力和切应力；2、校核梁的正应力、切应力强度条件。AB1kN1kN/mD1m1m1mC40401010yCEz材料力学中南大学土木工程学院98该梁满足强度要求C40401010yCEz1FS(kN)0.250.75_+M(kN.m)0.25+_0.5BD材料力学中南大学土木工程学院99解：根据截面最为合理的要求因为跨长l=2m的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的尺寸d，并校核梁的强度。1m1mBAF=80kNDy2z60220y280Cy1d材料力学中南大学土木工程学院100求得整个T型截面对中性轴的惯性矩为梁上的最大弯矩于是最大压应力为即梁满足强度要求。Csc,maxst,maxz为何不进行拉应力强度校核？y2z60220y280Cy1d=24材料力学中南大学土木工程学院101

解：1、梁的约束力为Fb/2Fb/4发生在截面B发生在截面D图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，

求梁的许可荷载[F]。BF

Ebq=F/bDbbAzyC86134401801202020FBFA

材料力学中南大学土木工程学院1022、计算最大拉、压正应力可见压应力强度条件由D截面控制，拉应力强度条件则B、D截面都要考虑。B截面压应力拉应力拉应力D截面压应力考虑截面BFb/2Fb/4BDzyC86134401801202020材料力学中南大学土木工程学院103考虑截面D因此梁的强度由截面D上的最大拉应力控制Fb/2Fb/4BDzyC86134401801202020材料力学中南大学土木工程学院104ql2FS

ql28l/2M

解：

1、内力图及最大弯矩、最大剪力跨度l=4m的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷载q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已知材料为红松，许用正应力[s]=10MPa，许用切应力[t]=1MPa，胶合缝的许用切应力[t']=0.5MPa。试求该梁的容许荷载集度q的值。ABlqyz2010010018024020C4545材料力学中南大学土木工程学院1052、由正应力确定许可荷载3、校核切应力强度条件yz2010010018024020C4545材料力学中南大学土木工程学院106切应力强度条件满足，所以容许荷载集度[q]=6kN/m。yz2010010018024020C4545材料力学中南大学土木工程学院107用两根钢轨铆接成组合梁,其连接情况如图所示。每根钢轨的横截面面积A=8000mm2，形心距底边高度c=80mm，每一钢轨横截面对其自身