第四章电磁波的传播

麦克斯韦方程组第四章电磁波的传播电荷片传播的场场移动的边界设：电荷片是有由两片符号相反电荷密度相同无限大平面构成的，其中一片向上以u的速度运动，另一片静止（抵消静电场的作用）.相当于一个面电流α.电荷片测视图安培定律法拉第电磁感应定律①电荷片俯视图真空中：积分形式①②得到得到一个可以脱离源在空中传播的电磁波.传播速度取决于与参照系无关的空间性质.如果在T时间之后电荷片停止运动脉冲如果电流源正弦振荡§1平面电磁波1.电磁波动方程在自由空间中，（=0,J=0情形）真空情形:D=0E,B=0H得到同样，可得磁场B的偏微分方程令波动方程，c是电磁波在真空中的传播速度．介质中，一般情况下和是的函数（色散），D(t)=E(t)不成立．因此在介质内，不能推出E和B的波动方程.2．时谐电磁波在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅里叶分析的方法分解为不同频率的正弦波的叠加．时谐电磁波（单色波）：以一定频率作正弦振荡的波.设角频率为的电磁波，用复数形式表为E(x)表示抽出时间因子e-it以后的电场强度．在一定频率下，有D=0E,B=0H，得注意：这组方程不是独立的．①④:②③：取①式旋度并用②式得因为——亥姆霍兹方程解出E后，磁场B可由第一式求出，亥姆霍兹方程的解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模概括起来类似地3．平面电磁波按照激发和传播条件的不同，电磁波有各种不同形式．例如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或波导走向传播的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解．最基本的形式：存在于全空间中的平面波.E和B仅与x，t有关，与y，z无关.亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程：解为：场强的全表示式：因此，只要E0与x轴垂直，代表一种可能的模式．以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强应理解为只取实数部分，即由条件E=0得，即要求——电场的振幅——波动的相位因子相位因子cos(kx-t)的意义t=0时，相位因子是coskx，x＝0的平面处于波峰．在另一时刻t，相因子变为cos(kx-t)波峰移至kx-t处，即移至x=t/k的平面上.——沿x轴方向传播的平面波相速度：k为波矢量，其量值k（）称为园波数.在一般坐标系下，电磁波场强：——矢量k方向传播的平面波——2弧度相位差的波长数必须加上条件E=0才得到电磁波解．沿电磁波传播方向相位差2的距离为x=2/k，因此x是电磁波的波长——横波时间周期T频率f=1/T园频率完成一次振动需要的时间一个单位时间内完成振动数量一个单位时间内完成振动相位（弧度）空间波长λ波数园波数完成一次波动需要的长度一个单位长度内完成振动数量一个单位长度内完成波动相位（弧度）波动几个物理量名词比较波动在时间、空间上都体现为周期变化.平面电磁波的特性：电磁波为横波,E和B都与传播方向垂直；

E和B互相垂直，EB沿波矢k方向；

E和B同相，振幅比为v．4．电磁波的能量和能流能量密度：平面电磁波因此能流密度v为相速注意：由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入.例如：E的物理有意义部分为a：若直接代入：减少了b2计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入设f(t)和g(t)有复数表示和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它们的时间平均值．是f(t)和g(t)的相位差二次式求平均值的一般公式f*表示f的复共轭，Re表示实数部分．由此，能量密度和能流密度的平均值为§4.2单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射ReflectionandRefractionofMonochromaticPlaneElectromagneticWaveatInterfaceofMedium内容：用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。包含六要素：和偏振平面电磁波：运动学规律:

入射角、反射角和折射角的关系；动力学规律:（菲涅尔公式）能量和能流的重新分配：振幅比；相位及偏振的变化：相对相位的变化.电磁波与分界面的分子发生相互作用后，作用的后果按性质可分成两个方面：1、反射和折射定律（即相位关系）介质的分界面上研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。④①②③①→④：根据②→③：根据因此，介质界面的边值关系只取下列两式：——切向连续性即反射和折射定律①②由可得磁场矢量为：入射波反射波折射波入射波反射波折射波在z=0的平面，所有的点必须满足边界条件波矢量方向之间的关系边界条件要使该式成立，只有①②由①式，因为x、y、t都是独立变量，必然有因此讨论：由于，说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。可以得到4个结果根据，假若，则必有因此：，即反射角=入射角。（反射定律）根据结论：反射波和折射波与入射波在同一平面内，这个面就称为入射面（入射波矢k与分界面的法线n所组成的平面）根据则一般介质（除铁磁质外），故相对折射率即——折射定律2、菲涅耳公式（即振幅关系）菲涅耳公式：在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系。分成两种情况讨论.入射面①即考虑到故有②联立①、②两式得对于一般介质，因此入射面由边界条件，即在z=0的界面上有：即同理由的关系,把上式中的磁场换为电场。从而得到：解得对于一般介质，振幅关系就是光学中的菲涅耳公式，当时，菲涅耳是利用光的“以太”理论推导出来的。洛伦茨（22岁）在博士论文中用麦克斯韦推导出菲涅耳公式。因此，这也有力地证示了光是电磁波的理论学说.菲涅耳公式利用菲涅耳公式讨论偏振半波损失反射系数、透射系数菲涅耳公式讨论：垂直偏振：当时，，即反射波中没有电场平行入射面的部分，这时的反射波是完全的线偏振波.根据令此时的——Brewster’sangle一个任意偏振的波，可以分为平行和垂直入射面的两个入射波。平面波以布儒斯特角入射时，反射波只有垂直入射面偏振的波，反射波和折射波传播方向互相垂直。半波损失：当平面波从光疏介质入射到光密介质时（即n21>1）。根据折射定律可知：与入射波的相应分量反向反射波与入射波位相相差π，——半波损失。当平面波从光密介质入射到光疏介质时反射波与入射波同位相，即没有半波损失.电磁波的反射系数和透射系数。

反射系数（R）：反射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比

透射系数（T）：折射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比。入射波的能流平均值：入射面反射波的能流平均值：折射波的能流平均值：从而得到：同理符合能量守恒定律3、全反射若，则，因此即电磁波从介质1入射时，折射角θ〃>入射角θ。当时，则。——全反射临界角如果再增大入射角，使得，这时不能定义实数的折射角，因而将出现不同于一般反射折射的物理现象.假设在这种情形下两介质中的电场形式仍然为边值关系（z=0）依旧成立，仍可得到在，情形下有.令因此y轴垂直与入射面时，=0——虚数故折射波的传播因子为：其中即折射波的电场为：上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介质2中传播的一种可能波模．因为当z-时E''

，上式所表示的波不能在全空间中存在。但是这里所研究的折射波只存在于z＞0的半空间中，因此，上式是一种可能的解．折射波将沿z方向衰减，沿x方向传播。因此，全反射时，介质2中的电磁波并不为零，如果介质2的电磁波完全为零的话，那么就不满足边值关系。可见电场不仅沿着界面方向传播，而且被限制在表面附近的一个区域内，所以称全反射时的折射波为表面波。xz沿x轴方向传播的电磁波，沿z轴方向指数衰减。因此，这种电磁波只存在于界面附近一薄层内，厚度～．透入第二介质中的薄层厚度与波长同数量级。折射波磁场强度折射波电场强度考虑入射面：——与同相——与有900的相位差折射波平均能流密度由此，折射波平均能流密度只有x分量，沿z轴方向透入第二介质的平均能流密度为零．虚数以上推出的有关反射和折射的公式在sin＞n21情形下形式上仍然成立。只要作对应当入射面时：比较上式，可得欧拉公式表示在全反射时，入射波和反射波振幅相同，两者存在相位差，因此反射波与入射波的瞬时能流值是不同的。只是Sz''的平均值为零，其瞬时值不为零。可见，在全反射中第二介质是起作用的。在半周内，电磁能量透入第二介质，在界面附近薄层内储存起来，在另一半周内，该能量释放出来变为反射波能量。当入射面时：其中比较，可见，并与入射角有关，如果入射波是线编振波，但其振动方向与入射面成一定夹角，则反射波的两个分量将有一个位相差，因而是一个椭园偏振波，即一个线偏振波入射在介质界面上经过反射成了一个椭园偏振波。§4.3有导体存在时电磁波的传播ElectromagneticWavePropagationinConductionMedium内容：导电介质中电磁波的传播。

由于导体内有自由电荷存在，在电磁波的电场作用下，自由电荷运动形成传导电流，而传导电流要产生焦耳热，使电磁波能量有损耗。因此，在导体内部的电磁场（波）是一种衰减波，在传播过程中，电磁能量转化为热量。1、导体内的自由电荷的分布焦耳定律电荷守恒定律Gauss定理衰减的特征时间为如果散度，有电流流出来，电荷减少电荷密度ρ随时间指数衰减因此，只要电磁波的频率满足或——良导体条件探讨：良导体条件的物理意义良导体：传导电流位移电流2、导体内的单色平面电磁波导电介质与绝缘体的根本区别在于导电介质中有自由电荷存在。因而，只要有电磁波存在，总要引起传导电流j。因此，导体内部：令从形式上看，与均匀介质中的情况相同则有从①式：令同理：运动方程：位移电流的贡献传导电流的贡献——是复数如果令——复波数导体当电磁波从真空中入射到导体表面时，以k(0)矢量表示真空中的波矢，k表示导体内的波矢.根据边值关系：真空中为实数，其值为不论正入射还是斜入射，衰减方向垂直于金属表面因为良导体条件下在导体内部，k也在入射面内k2的实部可忽略结论：对于良导体，α、β几乎平行，总垂直导体表面3、趋肤效应和穿透深度根据良导体：假设电磁场形式为：讨论：从电磁场可看到，复数波矢量，包含了两个部分：实部：——通常意义上的波矢量虚部：——电磁波在导体中的衰减程度波振幅沿传播方向按指数衰减，为衰减常数。——穿透深度因此，对于高频电磁波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应.（S·m-1）f（Hz）

（cm）铜5107500.9铜100M0.710-3海水4.4503.0103不良导体传导电流位移电流（取1级近似）（取0级近似）衰减很小，穿透深度很大.得到：(S·m-1

)f（Hz）

（m）海水4.410100.091.210-3海水1007.910824良导体不良导体可以发现：频率越小，衰减越小。有人提出用10Hz来作为载频实现海洋通信，但这就要求天线很长，f=10Hz时，λ=30000km。因此现在海洋主要用超声波（声纳）进行通信磁场相位比电场相位滞后45，在真空和绝缘介质中H和E同相能流O一周期内电磁能不是一直往前流，有T/4时间倒流相速度，可见，在导体中传播速度由β决定，β称为相位常数。一般情况下，所以在导体中波长变短了。波长铜：能量密度磁场远比电场重要，金属内电磁波的能量主要是磁场能量．能量密度磁场：在良导体中4、电磁波在导体表面上的反射和折射只讨论垂直入射情形．②①边值关系：入射方为真空，故①②反射系数理想导体反射系数接近于1.有①、②得导体内的电流密度其中略去了因子5、导体内功率损耗问题导体内的电场为：导体内单位体积内的平均功耗为：导体表面单位面积的功耗为：定义表面电流密度：因为故得由此可见：所以与平均功率比较，可见——导体表面电阻在高频情况下：δ0xyzds=dxdy相当于厚度为的薄层的直流电阻单位面积下的导体在高频电磁波的电阻§4-4谐振腔1、LC振荡电路提高频率的途径：减小L和C.减小C的途径：增加极板距离d、减少极板面积S.困难：高频时，具有很小的C的电容不能再使电场和磁场集中分布于内部，向外辐射的损耗增大。减小电感L值的途径①减小L的匝数减小匝数成为一条直线多个L并联谐振腔②多个L并联2．理想导体边界条件电磁波在两不同介质（包括导体）界面上的边值关系这两关系满足后，另外两个关于法向分量的关系自然能够满足。——n由介质1指向介质2的法线导体表面边界条件理想导体：边界条件因为谐振腔不存在自由电荷：·E=0，故在界面有：电场线与界面正交，磁感应线与界面相切例题：证明两平行无穷大导体平面之间只能传播一种偏振的横电磁波（TEM）。解：边界条件：

Ex=Ez=0,Hy=0x轴方向偏振：平面电磁波(Ex≠0，与导体面相切)不满足边界条件，因而不能在导体面间存在。y轴方向偏振：此平面波满足边界条件，因此可以在导体板之间传播。只能传播一种偏振的TEM平面波设u(x,y,z)为E或H

的任一直角分量，有3、矩形谐振腔内的电磁振荡亥姆霍兹方程分离变量法,令:解得u(x,y,z)的驻波解例如考虑Ex边界条件再考虑x=L1，y=L2，z=L3面上的边界条件m，n，p分别代表沿矩形三边所含的半波数目。对Ey和Ez亦可作类似考虑由方程·E=0，应满足关系因此A1,A2和A3中只有两个是独立的。代表腔内的一种谐振波模，或称为腔内电磁场的一种本征振荡。对每一组（m,n,p）值，有两个独立偏振波模。谐振频率若m，n，p中有两个为零，则场强E=0若L1＞L2＞L3，最低频率的谐振波模为（1,1,0），其谐振频率为波长为此波长与谐振腔的线度同一数量级。在微波技术中通常用谐振腔的最低波模来产生特定频率的电磁振荡。问题提法1：如何连接两个电磁元器件？低频时，由导线完成；高频时，辐射增加。问题提法2：当波被限制在一维或二维空间时，会发生什么现象？§4.5电磁波在波导中的传播1、矩形波导中的电磁波abxyz讨论矩形波导，波导中没有自由电荷和传导电流，即哪种波才能存在？猜测：波只能沿z轴传播；界面上，E不能有切线分量，并且不存在自由电荷.边界条件设：电场E的任意分量为考虑Ex分量，考虑Ey分量，考虑Ez分量，由另外边条件：Ey的示意图（y方向简略为均匀）

两种不同介质界面上的边值关系：设导体是理想导体，电磁波穿透深度为0，导体内电磁场自然满足严格数学求解对于电场E：abxyz因此边界条件为波导中电磁波满足的微分方程和边界条件：因为波导中电磁波是沿管的轴向，即沿z轴方向传播，因而电场强度为：代入亥姆霍兹方程，得到：设u(x,y)为电磁场的任一直角分量，它满足上式用分离变量法解这个微分方程：要使上式成立，必须要求左边每一项等于常数，而且要求：从而有：振动方程A、B、C、D、kx、ky为待定常数。因此电场E的任意分量为与上面讨论一致，可以得到E的解得出后，磁场H为：m，n的物理意义：m代表沿波导管x边所对应的半波数目，

同理，n代表沿波导管y边对应的半波数目.设波矢与a边的夹角为在波导中，因为无自由电荷，即即A1,A2,A3只有两个是独立的对一定的(m,n),如果选一种波模（波的模式）具有Ez＝0，则该波模的A1/A2=ky/kx就完全确定.因而，另一种波模必须有Ez0。结论：对Ez=0的波模，Hz

0设：对Ez＝0的波模根据波导中电磁波的特点：电场和磁场不能同时为横波.波模为Ez=0()的波称为横电波（TEW）波模为Hz=0()的波称为横磁波（TMW）3、讨论波导中E和H沿传播方向的分量不能同时为零，这是否与电磁波的横波性相矛盾？原因：因为波导的轴线方向并不是波的真正传播方向，波导中的电磁波是在管壁上多次反射中曲折的前进.z波模：在波导管的横截面上，场的分布取决于m和n。不同的m和n的组合对应不同的场结构，一组（m,n）组成一个模式，TM波记为TMmn，TE波记为TEmn。截止频率：对于一定尺寸的矩形波导，如果选定某一模式TEmn或TMmn（m,n也确定），则从kz为：存在一个ω的临界值，使得kz为实数.根据传播因子因子，kz为虚数时，电场沿z轴衰减，因而不能在波导中传播.截止频率：能够在波导中传播的波的最低频率.对于（m,n）型波的截止角频率为截止波长(cut-offwavelength)为：——最大波长在波导内能够通过的最大波长为2a。由于波导的几何尺寸不能做得过大，用波导来传输较长的无线电波是不实际的。在厘米波段，波导的应用最广。相速度与群速度群速度（ug

）：波的包络上具有某种特