2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1.2空间中直线与直线之间的位置关系2作业含解析新人教版必修22022022617

PAGEPAGE7空间中直线与直线之间的位置关系基础巩固一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案]D[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1A．3条 B．4条C．6条 D．8条[答案]C[解析]画一个正方体，不难得出有6条．3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交 D．a、c平行或相交或异面[答案]D[解析]a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D．4．空间两个角α、β的两边对应平行，若α＝60°，则β为()A．60° B．120°C．30° D．60°或120°[答案]D[解析]由等角定理知α、β相等或互补．所以β＝60°或120°.5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]A[解析]取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A．6．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]B[解析]②④是正确的．二、填空题7．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案]3[解析]AP与BC异面、BP与AC异面、PC与AB异面．8．如图所示，六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F(1)A1F1与BD(2)C1F1与BE[答案]30°60°三、解答题9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1求证：∠BGC＝∠FD1E.[分析]利用平行公理证明两角对应的边平行，再利用等角定理证明两角相等．[解析]因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1.所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.因为∠BGC与∠FD1E的方向相同，所以∠BGC＝∠FD10．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[分析]根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．[解析]取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰△EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).能力提升一、选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交[答案]D[解析]如图所示，a、b是异面直线，AB、AC都与a、b相交，AB、AC相交；AB、DE都与a、b相交，AB、DE异面．2．已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是()A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．若a与b异面，b与c异面，则a与c也是异面直线[答案]C[解析]由平行公理可知C正确，而其他可举反例说明错误．3．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A．梯形 B．矩形C．平行四边形 D．正方形[答案]D[解析]∵E、F、G、H分别为中点，如图．∴FG綊EH綊eq\f(1,2)BD，HG綊EF綊eq\f(1,2)AC，又∵BD⊥AC且BD＝AC，∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形．4．点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为()A．60° B．45°C．30° D．90°[答案]D[解析]如图，取PB的中点G，连结EG、FG，则EG綊eq\f(1,2)AB，GF綊eq\f(1,2)PC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝eq\f(1,2)AB＝3，FG＝eq\f(1,2)PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.二、填空题5．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1[答案]1[解析]与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和6．如图所示，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________.[答案]6[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EH綊\f(1,2)BD,FG綊\f(1,2)BD))⇒EH＝FG＝eq\f(1,2)BD＝1，同理EF＝GH＝eq\f(1,2)AC＝2，∴四边形EFGH的周长为6.三、解答题7．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝eq\r(3)，求异面直线AD、BC所成角的大小．[解析]如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊eq\f(1,2)AD，FM綊eq\f(1,2)BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，则sin∠EMH＝eq\f(\r(3),2)，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠FMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.8．如图，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．[分析]用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证明两个三角形相似．[解析](1)证明：因为AA′与BB′交于点O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(2,3)，所以AB∥A′B′.同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解：因为A′B′∥AB，AC∥A′C′，且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反．所以∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，所以△ABC∽△A′B′C′，且eq\f(AB,A′