讲义参考文稿

滤波原|X(ej)

(b)|H(ej)

|Y(ej)频率成分,而使||c的成分"不失真的通过 分类:低通(LP),高通(HP),带通(BP),带阻(BS)对数字滤波器,从实现方法上,有IIR滤波FIR滤波器之分,转移函数分别为FIRIIR

NH(z) h(n)znbbrNH(z) Nk1azkkkp:通带截止频率(又称通带上限频率s阻带下限截止频p ：通带允许的最大衰 ：阻带内应达到的最小20p

|H(ej0)|20lg|H|H(ejp)|H(ej0)

jp)20lg 20lg|H

s) |H(ejs)高通 pp,s,p,）转换成模拟滤波器的技术指标p,s,p 转换成模拟低通滤波器的技术指标p,s,p,sH给定模拟低通滤波器的技术指标pp,s设计低通滤波器G(sdds

sN1dG(s) N ccs

sN1c N 使其对数幅频响应10lg|Gj|2在 处分别达到p,s的要求()10lg|X(j)|210 Y( |G(j)|G(j)|210()p (p)10lg|G(jp)|22 (s)10lg|G(js)2又有G(s)G*(s)G(s)G(s)|sj|G(j由|Gj|2就很容易得到所需要的G(s)将 按不同的原则简化，可得到不形式的滤波器，即不同的|G(j)|2表达式 |G(j)|2

1C2(2C为待定常数,N为待定的滤波器阶次定 C2()cos2(ncos1n|G(j)|2

n1n

2 |G(j)|2 C2( 12 C2(/|G(j)|2

11

22Un ：Jacobian2本书只讨论Butterworth和Chebyshev-滤波器的将实际频率归一化，得归一化幅平方|G(j)|2C

1C22

(10

|G(j)

10lg[1C22N有 C22 10()/101C22pC22s

10p/1010s/10

C210p/1010s/1010p10s/1010p/10对Butterworth滤波器，通常 3dB，所C210p/101100.31N

10s

1lg|G(j)|2 12 1(/p)2N系统的转移函数Gp)Gsjp/

pjj/ps/|G(j)|2 12N

p/G(p)G(p) 1(p/j)2 1(1)Np21(1)Np2N exp[j2kN1 k1,2, 即2N个极点均匀分布在s(p)平面半径为1的圆上，应取左半平面的N 个予G(p)，右半平面

G( exp[j2kN1 k1,2,, G(p) (pp1)(pp2)(ppN)若N为偶数,pk及pN1k这对共轭极点Gk(p)

(ppk)(ppN1kG(G(p)Gk(kN/p22pcos(2kN1)

N为偶若N为奇数Gp)(N12个二阶系统相级联G(p)G(p)1p(NGk(k得到Gp)后pjj/ps/用s/p代替p,即得实际需要的G(s).G(G(s)G(ps/p了实际 (1). 0,0,|Gj|21,(00,即在0处无衰减;(2).当p,即 1时,|G(jp)|2|G(jp)|0.707,p3 由零增加到1,|Gj|2单调减小()单调增加N越大,|Gj|2减小的越慢,即在通带内|G(j)|2越平； (4).当,即 时,|G(j)|2也是随着 的增加而单调减少,但因1,所以这时比通带内 度加快,N越大 度越(5|Gj|2在0处对2的一阶,二阶,N1阶导数皆为零例：给，设计Butterworthfp5000Hz,fs10000Hz, 3dB, 30 1,s2,p 3dB, 30

C1;N

1030

1lg2

pkexp[j(k2) k1,2,3,4,5G(p)1(pp1)(pp2)(pp3)(pp4)(pG(s)G(

1020(s104)(s")(s"|G(j)|2

n1n

2 多项式的特点C2()cos2(ncos1ncos1 cos Cn()cos(n)Cn1()cos(ncos(n)cos()sin(n)Cn1()cos(ncos(n)cos()sin(n)Cn1()2Cn Cn

2Cn1()Cn2C0()cos(0)C1()cos()C()2C()C()22 C()2C()C() C()2C()C()

的确的确的多821首项首项将频率归一化,得归一化的幅平方特性,|G(j)|2求 和

n1n

2n()10lg[12C2nn2C2(1)10p/10n

n

210p/101利用另外的条s利用另外的条件：sCn()cos(ncos1

Note:s必须不大于因此：1 2C2()10s/101 2cosh2[narcosh(scoshx[exex]/sinhx[exex]/scosh2[nars

)]

10s/10 10p/102则2确定

nararcosh(sG(p)G(p) n12C2(p/n12Cn2(p/j)cos[narcosh(jp)]j sin[(2k

]sinh(最后导出：

kjcos[(2k1)]cosh( 此式求出的2n个极点pk,一半属于Gp),一半G(p把左半平面的极点赋于Gp),即k1,2,G(G(p)1n(ppkk实际转移函GG(s)G(p)nppnkn(spkp)p反映了实际模拟高通模拟高通,带通,给定高通滤波器的技ps,p先作频率归一化：p 1,s想办法实现高通到低通的转换低通幅 高通幅'0p's'

p0或由 qjj1 得 H(q)G(p) G(1qpqq率,则H(q)G1/ qjj

H(s)G(p) pp/归一对带通滤波器，如何实现频率的归归一定义

3有 的转换。关键问题是

2 3 由于31 1,可222pj

22

j(q/j)22(q/22q22

(13 (s/BWpps2s(31) H(s)G(p)

s2s(31N阶低通滤波器转换到带通后,阶次变为带阻滤波器频率归一化方法同带通滤波定义

3有

2

∵311, 3

222得到Gp)中的p和H(s)中s之间的ps(31)s2 H(s)G(p)

s(31s2给定数字滤波器的技术指标p,s,p,s（

p,s,psH(z)给定数字滤波器的技p,s,p,利用Ts,可将p,s转换为p,ss,p不变利用上一节的方法，可设计出模拟G( G(s)

H(z)z

s1ln H(z)

s1ln但这样做H(z)将不再是z的有理多项 令 h(nTs)g(t)|tnTg(t) (tnTH(z)h(nTsH

j)1

sG(jjksTsk基本转换单G(s)

H(z) sg(t)

1eTss h(nT)sG(s) (s)2

g(t)etsin(t)u(t)

sin(TH(z) sz2 cos(T)]s1s

1eTsG(s)总可由一阶和二阶系统并联或级联而成,故由上面两式可实现由G(s)到H(z的转换,该zesTs(1) 利用Ts,将p,s转换为p,s线性转换s,线性转换设计低通模拟滤波器G(s).将G(s)转换为H(z).|H(ej)|相对于|G(j)|有较大失真, 排除上一节的线性转换关系，找一种新的和z 和的转换关系s

2z则Tsz

z1(Ts/2)s1(Ts/j

2ej/2(ej/2ej/2sTej/2(ej/2ej/2sj2sin(/2tan(/T2arctan(T/ss一对一上述 和

的非线性关系又称为的预变形（Freq. )。例如DF fp100p0.2

fs300 Fs1000 0.6pAF 2tan(/2)685.82ppss2tan(/2)2452.762sss设计AF并不是按给定的技术指标，但再sz后，保证DF的技术要求。 Step1.给定F技术指标p s,p,Step2.频率转p 2tan(/ 2tan(/pTT TT

tan(/2)/

/ 设计出AFGp),Gp)G(s)

H(z)G(s)

2zTs zTs因 p

Ts 2z1

z 2tan(p/2)Tsz

tan(p/2)z所以,系数2Ts)可被约掉,所以双线性Z变换sz z1ztan(2

12DFH(z而言，AF例：计IIRLP p

20DF fp100

fs300

Fs1000AF p2 s2NG(p)

p z12p2 p2

tan(p/2)zH(z)

0.067450.1349z111.143z1幅频响应曲线见书数字高通Hdhpp,s,p,

Hahpp,s,p,s

Gp,s,p函数Hdhp

szz

Hahp

ps

G(

数字高通滤波器设计

ps通带频率范300Hz~400Hz;18dBs阻带频率范围：200Hz、

Fs2000

N

G(p) 2p2 p2 (z1)22(z p

(z20.0201(12z2z4Hdbp(z)11.637z12.237z21.307z3 （1）[NWnbuttord(WpWsRp,Rs)；对应Wp,Ws分别是通带和阻带的截止频率，其值在0～1之间，1对应抽样频率的一半(归一化频率)。对低通和高通，Wp,Ws都是标量，对带通和带阻，Wp,是1×2的向量。Rp,Rs分别是通带和阻带的衰减(dB)。N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求（2）[NWnbuttord(WpWsRpRs,‘s’)：对应式中各个变量的含意和格式（1）相同，但Wp,及Wn的单位为弧度/秒，因此，它们实际上是频率。[z,p,k]=buttap(N):N是欲设计的低通原型滤波器的阶次，z,pk是设计出的极点、零点及增益。lp2lp.m、lp2hp.m、lp2bp.m,lp2bs.m。将模拟低通原[BA]=lp2lp(ba, [BA]=lp2hp(ba,[B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw),[B,A]=lp2bs(b,a,Wo,b,a是AFLP的分子、分母的系数向量，B,A是转换后的的分子