广东省广州市番禺中学2023-2023学年高二上学期期中数学试题-Word版含答案

番禺中学2023-2023学年高二上学期期中数学理试题试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.试卷满分150分.注意事项：1．考生应在答题之前将班级、姓名、学号、试室号、座位号填写在答题卡、答题卷指定的位置上．2．选择题每小题选出答案后，应将对应题目的答案标号填写在答题卡指定的位置上．3．非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．本次考试过程中不得使用计算器．5．考生必须保持答题卡、答题卷的整洁，考试结束后，将答题卡、答题卷一起交回．第Ⅰ卷选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．函数的定义域是（）....2．函数的零点所在的区间是（）....3．若直线过圆的圆心,则的值为()....4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）．....5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于()....6．已知函数的部分图象如题图所示，则（）....丙的成绩环数78910频数46647．如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于（）....8．已知向量（1，0），（0，1），（R），向量如图所示.则（）A．存在，使得向量与向量垂直B．存在，使得向量与向量夹角为C．存在，使得向量与向量夹角为D．存在，使得向量与向量共线第二部分非选择题（共110分）填空题：本大题共6小题．每小题5分，满分30分9．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有、、、名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为.10．在中，，且,则边AB的长为．11．如图，点在四边形内部和边界上运动，那么的最小值为________.12．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的离心率为．13．在平面直角坐标系中,有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线的焦点,则该抛物线的准线方程是．14．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.15.(本小题满分12分)已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)当时,求函数的值域.16.(本题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为．现从一批该日用品中随机抽取件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，等级系数为的恰有件，求的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为的件日用品记为，等级系数为的件日用品记为，现从这件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．17.(本题满分14分)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，为的中点，，，为的中点．（1）证明：；（2）证明：；（3）求三棱锥的体积.18.(本题满分14分)已知二次函数满足条件：且方程有等根.（1）求的解析式；（2）问是否存在实数使的定义域和值域分别为和，如存在，求出的值；如不存在，说明理由．19.(本题满分14分)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为，设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.20.(本题满分14分)设各项均为正数的等比数列中，，.设.(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：(3)是否存在正整数，使得对任意正整数均成立？若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由．广东番禺中学2023-2023学年度上学期高二年级期中考试数学参考答案与评分标准二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共6小题，．（9）16；（10）1；（11）1；（12）2；（13）；（14）②③.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.15.(本小题满分12分)16.(本题满分13分)解：（1）由频率分布表得，即．…………2分因为所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，所以，………3分又因为所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，所以，………4分于是．所以，，．…6分（2）从件日用品中任取两件，所有可能的结果为：．所以所有可能的结果共个。…9分设事件表示“从这件日用品中任取两件，等级系数恰好相等”则包含的事件为，共个，…11分所以所求的概率为．…12分18.(本题满分14分)解：（Ⅰ）方程，即，亦即，由方程有等根，得，∴①…………1分由，得②…………2分由①、②得，，，…………3分故.…………4分（Ⅱ）假设存在实数、满足条件，由（1）知，，…………5分则，即.…………7的对称轴为，∴当时，在上为增函数.…………9分于是有，即，…………11分∴，又，∴.故存在实数，，使的定义域为，值域为.…………14分19.(本题满分14分)解(1)由已知得椭圆的半长轴,半焦距,则半短轴.…………3分又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为…………4分(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),…………5分由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由点P在椭圆上,得,…………7分∴线段PA中点M的轨迹方程是.…8分(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.…………9分当直线BC不垂直于x轴时,该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),…………10分则,又点A到直线BC的距离d=,…………11分∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC=…………12分由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.…………13分∴S△ABC的最大值是.…14分20.(本题满分14分)解：(1)设数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10,a1q2＋a1q4＝40))，…………2分∴a1＝q＝2，∴an＝2n，∴bn＝n.…………4分(2)∵c1＝1＜3，cn＋1－cn＝eq\f(n,2n)，…………5分当n≥2时，cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋…＋eq\f(n－1,2n－1)，…………6分∴eq\f(1,2)cn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n).…………7分相减整理得：cn＝1＋1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n－2)－eq\f(n－1,2n－1)＝3－eq\f(n＋1,2n－1)，…………8分因为eq\f(n＋1,2n－1)大于零，故cn＜3.…………9分(3)令f(n)＝eq\f(1,bn＋1)＋eq\f(1,bn＋2)＋…＋eq\f(1,bn＋n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)…………10分∵f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2