物理竞赛辅导力学讲座1

物理竞赛辅导讲座——力学部分1一、理论的补充内容

2知识点一：

与质点系的质心相关的内容质心运动定理质心坐标系柯尼希定理刚体平面运动的基本方程3一.质点系的质心质点系（含刚体）的质心C，是一个假想的质点。它的质量等于质点系的总质量，它的坐标定义为：即(1)(1')对于给定的质点系，质心坐标取决于坐标系的选择。但它的相对位置不因此而变。4CCCC对于质量对称分布的质点系，其质心就在它的对称中心。举例如下：5二.质心运动定理(1)对时间求导，即得质心速度：(2)（2）式对时间求导，即得质心加速度：（4）(3)质心的动量即质心动量就是系统动量。又（5）6（6）式可写成：(6）或（7）是质心运动满足的微分方程，称为质心运动定理。它在形式上与一个单质点的牛顿方程相同。注意内力对质心运动不起作用。合外力为零时，质心加速度为零，质心动量守恒（即系统动量守恒）。（7）因系统内力满足牛顿第三定律，内力之和应为零，故有（6）7在一般情况下，物体受力后，质心按（7）产生质心加速度。若合力作用线不通过质心，物体将同时受一对质心的力矩的作用，得到绕质心旋转的角加速度：（8）8三.质心坐标系

以质心为原点的平动坐标系称为质心坐标系（C系）。质心坐标系在质点系力学中具有极其重要的作用。与观测仪器相连的坐标系称为实验室坐标系（L系）。一般地说，L系适用于测定数据，C系适用于理论分析。CL系C系om1m2m39四.质点系动能的分解

此中ui是第i个质点在C系中的速率。（8）称为柯尼希定理。证明从略。在许多情况下，用（8）式计算系统动能极其方便。（8）在任何坐标系L中，系统的动能恒可分解为质心在L系中的动能与系统在C系中的动能之和：系统在L系中的动能系统质心C在L系中的动能系统在C系中的动能10例.计算沿平面直线滚动的均质实心轮子的动能Ek。已知轮子半径为R，质量为M,滚动角速度为.解：在地面坐标系（L系）中，轮子质心速度为质心在L系中的动能为RvCML系轮子在C系中作定轴转动，转动惯量为转动动能为轮子在L系中的动能为11五.刚体的平面平行运动CC过质心C的转轴垂直图面上图显示刚体运动时其上一个截面的运动。该截面过质心C，并保持在屏幕平面内。同时，刚体绕过质心C且垂直于图面的轴转动。刚体的这种运动方式称为平面平行运动。C质心C的轨迹12CCC刚体的这种运动可分解为随质心的平动加绕质心定轴转动。（7）（8）质心C的轨迹随质心的平动规律与质心的运动规律相同：即13可见，刚体的平面运动满足3个独立投影方程。（9）是刚体对过质心转轴的转动惯量。定轴转动的规律为合外力矩以沿平面直线滚动的轮子为例：平动方程转动方程vCCxdRf滚动摩擦F拉力14

知识点二：

刚体定轴转动的基本方程——角动量定理15转轴刚体角位移的大小刚体初始位置刚体末位置刚体角位移矢量刚体角速度矢量转轴外力在转轴的垂直平面内外力对O点的矩外力的作用点oo16刚体的角加速度矢量由于转轴方向不变，上述关系可简写成投影关系：刚体的角速度矢量角坐标:角速度:角加速度:刚体的角位移刚体角速度的增量逆关系为:17角动量在转轴上的投影是：

L=mvr=mr2moz•对于定轴转动刚体上的质点，恒有，因而质点对转轴的角动量：18刚体作定轴转动时，其上所有质点绕转轴的角速度为一共同量。

按照质点动量定义p=mv，质点对转轴的角动量L=mr2也可视为惯量与角速度的乘积，mr2就是质点对转轴的转动惯量，以字符J记之：J=mr2，它体现了质点作定轴转动时惯性的大小。刚体作定轴转动时，其上所有质点对转轴的转动惯量之和，称为刚体对转轴的转动惯量：LArdm19（5）称为刚体定轴转动的角动量定理，又称刚体的转动定律。当（5）中外力矩M=0时，刚体角动量L=J=常值。此即刚体定轴转动下的角动量守恒定律。它类似于平动问题中的动量守恒定律。刚体定轴转动微分方程：（4）因只有一个分量，可写成投影式：（5）20外力矩M=0时，定轴转动刚体的角动量L=J=常值，是一条应用极广的定律。离心节速器21平行轴定理dLCL若刚体对过其质心C的轴LC的转动惯量为已知，则该刚体对另一平行轴L的转动惯量为：此处d为两平行轴间的垂距。证明从略。质心C平行轴22已知均质圆盘绕过中心C的垂直轴LC的转动惯量为:则该圆盘对过边缘的垂直轴L的转动惯量为：RCLLC平行轴定理应用举例：23当系统质点排成一直线时，质心坐标公式成为24解：1）过O点的转动惯量：挖去部分的质量OR/2252）过新质心点的转动惯量：C首先找出新质心位置作如图坐标系令挖后质心坐标为

XC’，有：挖前质心坐标：Ox+=26平行轴定理：本题结束COx+=R/627垂直轴定理

如右图所示,对于匀质薄刚体，x、y轴在刚体内且相互垂直,z轴垂直于刚体.则刚体对z轴的转动惯量等于其对x、y轴的转动惯量之和。28垂直轴定理应用举例xyzab已知矩形均质薄刚体，边长各为a,b,对x轴与y轴的转动惯量各为：由垂直轴定理知，刚体对z轴的转动惯量为：29已知圆盘初始角速度,圆盘与水平板之间的摩擦系数为.求：（1）圆盘所受摩擦力矩；（2）圆盘放在平板上经多长时间后停止转动？例题Rm圆盘侧视图30rr+drR解（1）:将圆盘分解成许多宽为dr的同心圆环。圆环面积为dS=2rdr,

圆盘单位面积质量为=m/R2,园环质量为dm=dS,园环受的摩擦力为df=gdm,摩擦力矩为负号表示力矩的方向与初始角速度方向相反。dS圆盘俯视图31答(1):

对r积分，得总摩擦力矩：解(2):

将总摩擦力矩的值代入转动定律（角动量定理）中：

分离变量：32设t=t1时刻圆盘停止，便有：答（2）：t=t1=3R/4g

时圆盘停止。33将转动定律代入上式右方，得元功定轴转动的动能定理定义力矩M的元功：此处为定轴转动刚体的动能。(6)式表明：力矩的元功转化为刚体定轴转动动能的元增量——此称定轴转动刚体的动能定理的微分形式。(6)34动能定理的积分形式是：即，外力矩作的总功等于定轴转动刚体动能的增量。(7)（7）式仅适用于J不变的场合。当J改变时，（7）应改为：(8)35冲击力问题冲击力的特点是力F很大而作用时间极短。因而积分值（冲量）既不是无限大，也不是无限小，而是有限非零值。当已知时，按动量定理（1）（2）（2）是动量定理的积分形式，适用于冲击力造成刚体平动的场合。冲击力的冲量动量增量36（3）（3）是角动量定理的积分形式，适用于冲击力造成刚体旋转的场合。冲量矩角动量增量将（2）改写成：冲击力矩问题冲击力问题的一个共同特点是，在力作用时间内，刚体的动量或角动量有明显改变，但刚体的位移则可以忽略不计。原因是，前者是时间的同级小量，而后者是时间的二级小量。37冲击力矩例题·OmlA一质量为m，长为l的均匀细棒AO，支点在棒端O点。开始时，棒自由悬挂。以不变的冲力打击它的下端点A，力作用的时间为。若棒原先静止，求打击后瞬间棒的角动量L以及棒的最大偏角。解.打击前，棒的角动量为零。冲击力对棒上O点的矩为：冲击力作用点按角动量定理，有C悬挂点打击后瞬间棒的角速度38·OmlF·Om打击后瞬间棒的角速度为：打击后棒的初动能：由机械能守恒求出棒的最大偏角：打击后棒得到的角动量为重心C提升高度CCC重心棒受打击后瞬间的动能39刚体定轴旋转中的机械能守恒例题t=0时刻t时刻CCL水平轴均匀细棒AB质量为m，长为L,可绕过A端的水平轴旋转。将棒置于水平位置，然后将B端放开任其自由落下。求细棒的角速度和角加速度与角位移的关系。

AABBB质心C下降了(L/2)sin40CCL势能改变量：动能改变量：机械能守恒定律：水平轴t=0时刻t时刻质心C下降了(L/2)sin41将（2）对t求导：注意，有：（4）解出：（3）（2）即：（1）也可用转动定律得到42典型难题：弹簧与非弹性碰撞mL0m´Ov0v初态LkmL0m´Ov0初态弹簧开始转动后的瞬态m+m´OvLkL0m+m´O碰撞后瞬间u光滑水平面上有一轻质弹簧，劲度系数为k。它一端固定，另端系一质量为m的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度L0,今有一质量为m的子弹以速度v0

沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块并留在其中，使滑块在水平面内滑动。当弹簧长度被拉伸至L时，求滑块速度的大小v和方向角。43L0m+m´O碰撞后瞬间u(1)解得：子弹射入滑块可视为冲击过程。它是完全非弹性碰撞过程，历时很短，可认为子弹停留在滑块中后，滑块才携子弹开始运动