【创新方案】高考数学 第七章第五节 直线、平面垂直的判定与性质 A

解析：由直线与平面垂直的判定定理和性质定理可知②和③正确，①中m还可能在α内，或者是平面α的一条斜线．答案：

B2．下面命题中：①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；②一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直；③一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；④两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面．其中正确的命题有(

)A．2个

B．3个C．4个

D．0个解析：①两平面垂直的定义，正确．②可转化为判定定理证明，正确．③借助于实物或画图都可得出结论，正确．④应为在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于第二个平面，错误．答案：B3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是(

)A．15°B．30°C．45°D．60°答案：B4．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB

＝AC＝a，则AD＝________.答案：a5．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法：①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．其中错误的是________．解析：因为直线m是平面α的斜线，在平面α内，只要和直线m的射影垂直的直线都和m垂直，所以①错误；②正确；③错误，设b⊂α，b⊥m，c∥b，c⊄α，则c∥α，c⊥m；④错误，如正方体AC1，m是直线BC1，平面ABCD是α，则平面ADD1A1既与α垂直，又与m平行．答案：①③④1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的每一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作

.(2)判定定理：一条直线与一个平面内的

直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示为：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，

⇒l⊥α.l⊥α两条相交a∩b＝P(3)性质：①若l⊥α，a⊂α⇒

，这是我们在空间证明线线垂直的一种重要方法．②性质定理：垂直于同一平面的两条直线

．用符号表示：a⊥α，b⊥α⇒

.l⊥a平行a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和

所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．规定：当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，则直线和平面所成的角分别为.(2)线面角的范围为．它在平面上的射影3．二面角(1)二面角：从一条直线

所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做

．两个半平面叫做二面角的面．如图，记作：α­l­β或α­AB­β或P­AB­Q.出发的两个半平面二面角的棱(2)二面角的平面角如图，二面角α­l­β，若有①O∈l，②OA⊂α，OB⊂β，③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．4．平面与平面垂直如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE.

考点一直线和平面垂直的判定和性质

[自主解答]

(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥面PAC.AE⊂面PAC，故CD⊥AE.(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，∴PA＝AC，又E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，AE∩BA＝A，故PD⊥面ABE.若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，当矩形ABCD满足什么条件时，有PC⊥BD？解：若PC⊥BD，又PA⊥BD，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，即矩形ABCD的对角线互相垂直．∴矩形ABCD为正方形，即当矩形ABCD为正方形时，PC⊥BD.如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.∴△PAD为等腰直角三角形，∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD.如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面PAC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．考点二平面和平面垂直的判定[自主解答]

(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴DM∥AP，又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴DM⊥PB.又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB.又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC.∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面PAC.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1.所以A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.考点三直线、平面垂直的综合应用如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图②.(1)求证：平面PBC⊥平面PDC；(2)在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值．解：(1)证明：折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，所以△ABD为等腰直角三角形．又因为∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°.折叠后，因为面PBD⊥面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥面PBD.又因为PB

⊂面PBD，所以CD⊥PB.又因为PB⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥面PDC.又PB⊂面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.考点四直线和平面所成的角、二面角(2011·北京模拟)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、F分别是AB、PD的中点．(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角P－EC－D的正切值．∴四边形AEOF是平行四边形，∴AF∥OE.又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC.解：(1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD.线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质、以及线面角、二面角的求法是高考考查的热点，客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，主观题考查较全面，在考查垂直关系的判定及性质的同时，还考查空间三种角计算，重点考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．1．线面垂直的判断方法(1)利用线面垂直的判定定理．此种方法要注意平面内的两条直线必须相交．(2)利用线面平行的性质．两平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面．(3)利用面面垂直的性质①两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，此种方法要注意“平面内的直线”．

②两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面．此性质是在课本习题中出现的，在问题不很复杂的题目中，要对此进行证明，以免无谓扣分．(4)利用面面平行的性质．一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个平面．(5)两个平面垂直的性质定理，可以作为直线和平面垂直的判定定理．当条件中有两个平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线．2．线线垂直的判断方法当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直．3．面面垂直的判定方法(1)判定定理若a⊂α，a⊥β，则α⊥β.(2)其他方法①若a∥α，a⊥β，则α⊥β；②若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ.4．线面角和二面角(理)线面角、二面角通常是由面的垂线去找．求直线与平面所成角的步骤：(1)作出斜线与其投影所成的角；(2)证明所作的角就是所求的角；(3)常在直角三角形(垂线、斜线投影所组成的直角三角形)中解出所求角的大小．1．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面α、β垂直时，α内的直线m只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面β，∴为必要不充分条件．故选B.答案：

B2．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A

作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则

下列命题中错误的是(

)A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确．答案：

D3．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是(

)①面PAB⊥面PBC；②面PAB⊥面PAD；③面PAB⊥面PCD；④面PAB⊥面PAC.A．①②

B．①③C．②③

D．②④解析：∵BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，∴①正确．同理AD⊥面PAB，∴面PAD⊥面PAB，∴②正确．答案：A4．(2011·汕头模拟)已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：