应用举例（第3课时）方位角问题【知识精讲+高效备课】 九年级数学下册 课件（人教版）

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数28.2.2应用举例第3课时方位角问题学习目标1.正确理解方位角的概念，能运用解直角三角形知识解决方位角的问题.2.能够运用解直角三角形等相关数学知识进一步分析解决综合性较强的问题.(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：(1)三边之间的关系：a2+b2=c2

上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.直角三角形五个元素之间的关系：复习回顾30°45°BOA东西北南方位角是以南北为起始线，一般表述为南（北）偏东（西）多少度.方位角：指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角，叫做方位角.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）一、方位角新知探究1.

正东，正南，正西，正北射线有

.2.西北方向:_________；

西南方向:__________；

东南方向:__________；

东北方向:__________；OA、OB、OC、OD射线OE射线OF射线OG射线OH识别方位角新知探究3.

OA的方向是

；

OB的方向是

；

OC的方向是

；4.在图中画出东北方向.南偏西25°北偏西70°南偏东60°45°东北方向例：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.

这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数)？cos25°≈0.9063，sin34°≈0.5577.65°34°PBCA二、方位角问题的实际应用典例分析cos25°≈0.9063，sin34°≈0.5577解：如图，在Rt△APC中，PC=PA•cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130nmile.65°34°PBCA1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里C针对训练2.

如图，在距离铁轨200米的B处，观察由上海开往北京的“和谐号”列车，当火车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，火车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段火车的平均速度是（）米/秒A．20(＋1)B．20(－1)C．200D．300A3.小明在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为

米.4.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于

．90°5.

海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠ABD=30°∠ADB=90°+30°=120°∴∠BAD=∠ABD=30°∴AD=BD=12在Rt△ADF中，∠ADF=60°∴∵10.4>8，∴没有触礁危险.∴∴AF≈10.4(nmile)6.如图所示，A，B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)．200km200km解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，

AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．C17利用解直角三角形解决方位角的问题时，“同方向的方向线互相平行”是其中的一个隐含条件．归纳小结1.

如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（）A．15海里B．30海里C．45海里D．30海里B当堂巩固2.

如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________．D3.如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是

.

15分钟4.如图，海上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A，B两岛之间的距离为

．

(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93)33.5海里1.如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？能力提升解：过点A作AE垂直于BD，垂足为E.∵点A处在B点的北偏东60°方向上，∴∠ABE=30°.又∵A在D点的北偏东30°方向上，∴∠ADE=60°.∴∠BAD=∠ADE-∠ABE=30°=∠ABE.∴BD=AD=1200米，∴DE=ADcos60°=600（米），AE=600≈1039.2＞800（米）.∴不会遭到破坏.2.如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.∵BD∥CE∥AF，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.北东ACB60°30°DEF又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12海里，∴AF=AC·cos30°=6(海里)，6≈10.392＞8，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．北东ACB60°30°DEF1.（8分）（2021•呼和浩特20/24）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD=60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度.（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）感受中考【解答】解：如图，过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．由题意知，△ACP为等腰直角三角形，∴AP=CP=x（米），BP=x-20（米），在Rt△BDQ中，∠BDQ=55°，∴

，∴tan55°·x=x+40，∴(tan55°-1)·x=40，∴

，所以河宽为

米．答：河宽为

米．2.（10分）（2021•天津22/25）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，

取1.73．【考点】解直角三角形的应用—方向角问题【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．感受中考【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC=60°，∠BCA=40°，AC=257，在Rt△ABH中，∵

，

，∴

，

，在Rt△BCH中，∵

，∴

，又∵CA=CH+AH，∴

，所以

，∴

（海里），答：AB的长约为168海里．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三