吴持恭水力学第二章液体运动流束理论

2-4恒定总流的能量方程

连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运动学方程；水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动要素之间的关系，是能量守恒在水流运动中的具体表现。2.4.1理想液体恒定流微小流束的能量方程式今在理想液体恒定流中取一微小流束，并截取1-1和2-2断面间的ds微分流段来研究。1

根据牛顿第二定律：作用在ds流段上的外力沿s方向的合力，应等于该流段质量ρdAds与其加速度的乘积。1-1断面动水压力pdA2-2断面动水压力(p+dp)dA

2则对微小流束上任意两个过水断面不可压缩理想液体沿s方向应用牛顿第二定律，则有：重力沿s方向分力3

对一元恒定流有：代入可得：将上式沿流程s积分得：4ｚ：液体中某一点处的几何高度，单位重量液体的位能；：代表单位重量液体的压能；

：该质点所具有的动能。对微小流束上任意两个过水断面有：5该式表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同的过水断面上，单位重量液体所具有机械能保持相等（守恒）。该式是由瑞士科学家伯诺里（Bernoulli）于1738年首先推导出来的。6

2.4.2实际液体恒定流微小流束的能量方程式

理想液体没有粘滞性无须克服内摩擦力而消耗能量，其机械能保持不变。对实际液体，令单位重量液体从断面1-1流至断面2-2损失的能量为h'w。则1-1断面和2-2断面能量方程为：上式为不可压缩实际液体恒定流微小流束的能量方程式。应用中需将其对总流过水断面积分推广为总流的能量方程。

72.4.3.1均匀流均匀流：当水流的流线为相互平行的直线时，该水流称为均匀流。2-4-3均匀流与非均匀流8

1．均匀流的过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变。2．均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过水断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。3．均匀流过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点测压管水头为一常数。均匀流具有以下特性：9在管道均匀流中任意选择1-1与2-2两过水断面，分别在两过水断面上装上测压管，则同一断面上各测压管水面必上升至同一高度。即，但不同断面上测压管水面所上升的高程是不同的。10为证明该特性，今在均匀流过水断面上取一微分柱体，其轴线n-n与流线正交，并与铅垂线呈夹角α。

作用于微分柱体下端动水压力为：pdA上端动水压力为:

(p+dp)dA

内摩擦力及侧面动水压力投影为零。柱体自重沿n方向的投影为11N方向无加速度故有：上式表明：均匀流过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同。因此，静水压强及静水总压力的公式仍然适用。12

2.4.3.2非均匀流

若水流的流线不是相互平行的直线该水流称为非均匀流按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、急变流两种类型：

1．渐变流

当水流的流线虽然不是相互平行直线，但几乎近于平行直线时称为渐变流（缓变流）。渐变流的极限情况就是均匀流。

132．急变流

若水流的流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，这种水流称为急变流。注意：渐变流动水压强服从静水压强分布；而急变流动水压强分布特性复杂。14

渐变流和急变流判断

通常边界近于平行直线时水流往往是渐变流。管道转弯、断面突然扩大或收缩，水工建筑物引起水面突变的水流为急变流。15急变流情况下，过水断面上动水压强分布特性（a)流线上凸的急变流（b)流线下凹的急变流（a)图中因n-n线上离心惯性力与重力相反，故动水压强比静水压强小；（b）图中n-n线上离心惯性力与重力方向相同，故动水压强比静水压强大。16判断：

均匀流过水断面是一平面，渐变流过水断面近似平面。()判断:

均匀流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流。()思考：何谓渐变流，渐变流有哪些重要性质？

思考：何谓均匀流及非均匀流？以上分类与过流断面上流速分布是否均匀有无关系？172-4-4实际液体恒定总流的能量方程式2.4.4.1实际液体恒定总流能量方程的推导不可压缩实际液体恒定流微小流束的能量方程为：各项乘以ρgdQ，并分别在总流的两个过水断面A1及A2上积分得：18若过水断面为渐变流，则在断面上有积分可得：共含有三种类型积分：1．第一类积分19

2．第二类积分因所以：式中为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近于1；不均匀分布时，α>1；在渐变流时，一般α=1.05～1.1。为计算简便起见，通常取α≈1。

20

动能修正系数是能量方程中一个重要的参数，计算河道水面线时经常遇到。举例来说，下图丁坝（一种航道整治建筑物）水槽实验中，下游水流流速分布复杂，某些断面出现倒流，此时动能修正系数取值需按实验结果取值。21

3．第三类积分

假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量h'w都用一个平均值hw来代替，则第三类积分变为：

22上式反映了总流中不同过水断面上()值和断面平均流速v的变化规律及其相互关系，是水动力学中第二个最重要的基本方程。

将三类积分代入能量方程整理得不可压缩实际液体恒定总流的能量方程：23称为测压管水头。Z代表总流过水断面上单位重量液体所具有的平均位能，一般称为位置水头。2.4.4.2实际液体恒定总流能量方程的图示实际液体恒定总流能量方程中共包含了四个物理量。其中：p/ρg

代表过水断面上单位重量液体所具有的平均压能，反映了过水断面上各点平均动水压强所对应的压强高度（压强水头）。24水力学中，习惯把单位重量液体所具有总机械能称为总水头，用表示。代表过水断面上单位重量液体所具有的平均动能，一般称为流速水头。hw

为单位重量液体从一个过水断面流至另一个过水断面克服水流阻力作功所损失的平均能量，一般称为水头损失。25

实际液体总流的总水头线和测压管水头线

因为能量方程中各项都具有长度量纲，因此可用水头把各项绘制在图上得到测压管水头线和总水头线如图。实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线（直线或曲线）：而测压管水头线则可能是下降的线（直线或曲线）也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。26对于河渠中的渐变流，其测压管水头线就是水面线，如左图所示。

总水头线坡度：总水头线沿流程的降低值与流程长度之比。也称水力坡度，常用J来表示。27条件：

1．水流必须是恒定流。2．作用于液体上的质量力只有重力。3．在所选的两个过水断面上，水流应符合渐变流条件，但在所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。2.4.4.3应用恒定总流能量方程式的条件及注意之点

4.在所取的两过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。28有分支和汇合情况下的能量方程

因总流能量方程中各项都是指单位重量液体的能量，所以在有分支或汇合时，仍可以对每一支水流建立能量方程。29如图所示两支会合的水流，从1-1断面及2-2断面在单位时间内输入的液体总能量，应当等于3-3断面输出的总能量加上两支水流能量损失，即：30

因Q3=Q1+Q2有：31上式若要左端两项之和等于零，必须是要求各自分别为零，因为根据其物理意义，它每一项是表示其一支水流的输入总能量与输出总能量之差，因此它不可能是一项为正，另一项为负。即对每一支有：32

注意4点：1．基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基准面。2．能量方程中p/ρg

项，可以用相对压强，也可以用绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。3．在计算过水断面的测压管水头值z+p/ρg时，可以选取过水断面上任意点来计算，以计算方便为宜。对于管道一般可选管轴中心点来计算较为方便，对于明渠一般在自由表面上选一点来计算比较方便。334．不同过水断面上地动能修正系数α1与α2严格讲来是不相等的，且不等于1。实用上对渐变流多数情况可令α1=α2=1，但在某些特殊情况下，α值需根据具体情况酌定。342.4.5流程中途有能量输入或输出时的能量方程

图21为抽水管路，由抽水机向管路加入能量；图22为电站有压管路，通过水轮发动机将管路水流能量转化成电能输出。如图所选1-1和2-2断面间能量方程可表达为：35

上式中Ht为1-1至2-2断面间，通过外加设备使单位重量液体所获得或减少的机械能。当为输入能量时，式中Ht

前符号取“+”号，输出能量时取“-”号。

1.马达和抽水机:

Pp=马达功率(瓦)

ηP=总机械效率

2.水轮机与发电机:

Pg=发电机出力(瓦)

ηg=总效率36

2.4.6.1毕托管测流速

原理：

弯管前端封闭，侧面孔置于测点A，水面上升高度h1，则A点处水流总能量；同一弯管侧面不开孔，前端开孔，置于A点，受弯管水流阻挡，流速变零，动能全部转化为压能，故H=h2，则可得:2-4-6能量方程式应用举例37修正原因：

1．两个小孔的位置不同。2．毕托管放入水流中所产生的扰动影响。

μ称为毕托管的校正系数，一般μ

约为0.98~1.0。真正毕托管:将两根管子纳入一根弯管，即将两个小孔由不同的通道接到两支测压管上。38

文丘里是测量管道中流量大小的一种装置，由两段锥形管和一段较细的管子相联结而成。前面部分为收缩段，中间叫喉管，后面部分叫扩散段。对1-1和2-2断面写总流的能量方程。不计水头损失有而2.4.6.2文丘里流量计39所以有因此通过文丘里流量计的流量为：式中:水头损失会促使流量减少，对于这个误差一般也是用文丘里管修正系数来改正，实际流量流量系数μ一般约为0.95～0.9840如果文丘里管流量计上直接安装水银差压计，由差压计原理有：流量计的流量为：

pApBs41

2.4.6.3孔口恒定出流的计算

在容器侧壁上开孔，液体将从孔中流出，这种水流现象称为孔口出流。

1．恒定流

当容器中水面保持恒定不变，通过孔口的水流则为恒定流。过水断面的收缩：流线只能逐渐弯曲不能拐直角，孔口平面上流线不相互平行，其后流束横断面积比孔口面积小。而c-c断面(距孔口d/2,d-孔径），该断面流线彼此平行，称收缩断面。42

对断面1-1：对c-c断面列能量方程得令，，H：孔口水头。H0孔口全水头。行进流速水头。则有：式中φ为流速系数。43流量为：式中ε为孔口的收缩系数。μ=εφ为孔口出流的流量系数。根据实验，小孔口的ε=0.63~0.64，φ=0.97~0.98，

μ=0.60～0.62。不同边界形式的孔口的流速系数φ、收缩系数ε或流量系数μ可参考有关手册。44

2．非恒定流

当容器上游水位改变时为孔口非恒定流，如水池放空、船闸充水和泄水等。均需计算充水和放水时间。不计行近水头有，在dt时段内从孔口流过的体积为。

同一时段内容器内水体积的变化量为，两体积相等，故有：

(a)45（1）若孔口水头从H1变化到H2，对上式进行积分，得所需时间：46（2）当H2=0，即放空容器，或使容器充水涨至与上游水位齐平时所需时间：

由此可见变水头时放空或充满容器所需的时间是水头不变的恒定流时放水或充水(同体积)所需时间的2倍。(b)47

2.4.6.4管嘴恒定出流的计算

管嘴出流：若在孔口上连接一段长为（3～4）d的短管（d为孔径）液体经短管而流出的现象。1-1断面与收缩断面c-c断面能量方程为：同样令则有：48

其中则通过管嘴的流量：在孔口面积相同的情况下，通过管嘴的流量比孔口要大。管嘴的有效水头多了一项，此项恰为收缩断面上的真空值。

49

例2-1有一直径缓慢变化的锥形水管（如图），1-1断面处直径d1为0.15m，中心点A的相对压强为7.2kPa，2-2断面处直径d2为0.3m，中心点B的相对压强为6.1kPa,断面平均流速v2为1.5m/s，A、B两点高差为1米，试判别管中水流方向，并求1、2两断面的水头损失。50

解：首先利用连续原理求断面1-1的平均流速。因，故

因水管直径变化缓慢，1-1及2-2断面水流可近似看作渐变流，以过A点水平面为基准面分别计算两断面的总能量。51

因，管中水流应从A流向B。水头损失52例2.2如图在水塔引出的水管末端连接一个消防喷水枪，将水枪置于和水塔液面高差为10米的地方，如水管及喷水枪系统的水头损失为3米，试问喷水枪所喷出的液体最高能达到的高度h为多少？（不计在空气中的能量损失）153解：以喷水枪出口水平面为基准面，水塔液面为1-1断面，喷水枪喷出水柱末端为2-2断面，写能量方程：1542-5恒定总流的动量方程式

2.5.1恒定总流动量方程的推导

质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变化，等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向上投影的代数和。55今在恒定总流中，取出某一流段来研究。该流段两端过水断面为1-1及2-2。经微小时段dt后，设原流段1-2移至新的位置1`-2`。流段内动量的变化应等于1`-2`与1-2流段内液体的动量P1`-2`和P1-2之差。5657其中动量修正系数是表示单位时间内通过断面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。常采用β=1.0，因为Q1=Q2=Q，故有：58设ΣFdt为所有外力冲量的代数和，于是得恒定总流的动量方程为：在直角坐标系中的投影为：59上述动量方程可推广应用于流场中任意选取的封闭体。如图所示分叉管路，当对分叉段水流应用动量方程时，可以把沿管壁以及上下游过水断面所组成的封闭体作为控制体，此时该封闭体的动量方程为：60

应用动量方程式时要注意以下各点：1．动量方程式是向量式，因此，必须首先选定投影轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。2．控制体一般取整个总流的边界作为控制体边界，横向边界一般都是取过水断面。3．动量方程式的左端，必须是输出的动量减去输入的动量，不可颠倒。

614．对欲求的未知力，可以暂时假定一个方向，若所求得该力的计算值为正，表明原假定方向正确，若所求得的值为负，表明与原假定方向相反。5．动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求解。622-5-2恒定总流动量方程式应用举例2.5.2.1弯管内水流对管壁的作用力

弯管中水流为急变流，动水压强分布规律和静水压强不同，因此不能用静水压力的计算方法来计算弯管中液体对管壁的作用力。取如图所示控制体，作用于控制体上的力包括两端断面上的动水压力，还有管壁对水流的反作用力。63

沿x轴方向动量方程为

因，代入上式可解出64沿z轴动量方程由上式可解出液体对弯管离心力的作用使弯头有发生位移的趋势，同时由于动水压力的脉动影响可以使管道产生振动，为此在工程大型管道转弯的地方，都设置有体积较大的镇墩将弯道加以固定。

65

2.5.2.2水流对溢流坝面的水平总作用力

流经图示溢流坝坝体附近时，流线弯曲较剧烈，故坝面上动水压强分布也不符合静水压强分布规律，不能按静水压力计算方法来确定坝面上的动水总压力。66

取如图所示控制体，并把1-1和2-2断面取在符合渐变流条件位置。作用在控制体积上的外力在X轴方向上的投影，包括1-1断面上的动水压力Fp1；2-2断面上的动水压力Fp2；坝体对水流的反作用力FRx，液体的重力在x方向投影为零。67

因，

沿x轴方向动量方程式为：因令，可解出：

68

2.5.2.3射流对垂直固定平面壁的冲击力

设从喷嘴中喷出的水流，以速度v0射向一与水流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面壁阻挡以后，对称地分开。沿壁面的流速为v，若考虑的流动在一个平面上，则重力不起作用，求此时射流对壁面的冲击力。写x方向的动量方程，有：故射流的冲击力为：69例2-3有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯头转角为900，起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差ΔZ为2m，已知1-1断面中心处动水压强p1为117.6kN/m2，两断面之间水头损失hw为0.1m，已知管径d为0.2m，试求当管中通过流量Q为0.06m3/s时，水流对弯头的作用力。70

解：（1）求管中流速

（2）求2-2断面中心处动水压强p2

以2-2断面为基准面，对1-1与2-2断面写能量方程为

于是

oo71（3）求弯头内水重

（4）计算作用于1-1断面与2-2断面上动水总压力

将hw=0.1m，=117.6kN/m2代入上式可求出：72

（5）对弯头内水流沿x、y方向分别写动量方程式

令管壁对水体的反作用力在水平和铅垂方向的分力为FRx及FRy。1）沿X方向动量方程：

73

2）沿y方向动量方程：74管壁对水流的总作用力:

令反作用力FR与水平轴x的夹角为θ，则

水流对管壁的作用力与FR大小相等，方向相反。752-6量纲分析与π定理

解决水力学问题时仅靠三大基本方程是远远不够的，还需要借助其它科学试验的手段。在研究某些水流运动规律过程中量纲分析常常可给予很大的帮助。2.6.1量纲分析的基本概念

物理量的量纲又可分为基本量纲和导出量纲两类。长度[L]、时间[T]、质量[M]这三个量纲属于基本量纲，流速的量纲[L/T]属于导出量纲。

761．物理方程中各项的量纲应当相同。称为量纲和谐性（或齐次性）。

如能量方程各项都具长度量纲2．任一有量纲的物理方程可以改写为量纲一的项组成的方程而不会改变物理过程的规律性。

比如能量方程除以某一水头H，就变成各项量纲一组成的方程。物理方程中各项物理量的量纲之间存在着下列规律性：772.6.2量纲分析的基本定理——π定理

任何一个物理过程，包含有k＋1个有量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物理过程可以由[（k+1）－m]个无量纲数所组成的关系式来描述。因为这些无量纲数是用π来表示，故称为π定理。π定理又称布金汉(Buckingham)定理。78设某物理过程含有k+1个物理量（一个因变量，k个自变量），由于不知道其具体表达式，可以写成如下的一般形式：N=f(N1,N2,N3,…,Nk)(2.80)则各物理量之间