高中数学 第七章 第五节-空间中的垂直关系课件 新人教版

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

1.直线与平面垂直(1)定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的

都垂直，则这条直线和这个平面互相垂直．(2)判定定理①如果一条直线与平面内的

直线都垂直，则这条直线与这平面垂直．

任何直线两条相交②判定定理的符号表示

aαbαa∩b=Al⊥al⊥b(3)性质定理①如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线

．②性质定理的符号表示⇒a∥b.

平行a⊥αb⊥α⇒l⊥

a2．平面与平面垂直(1)两个平面相交，如果它们所成的二面角是

，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理①如果一个平面过另一个平面的

，那么两个平面互相垂直．②符号表示⇒α⊥β.

l⊥βlα直二面角垂线(3)性质定理①两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们

的直线垂直于另一个平面．②符号表示

⇒a⊥β.

交线α⊥βα∩β=laαa⊥l[思考探究]垂直于同一平面的两平面是否平行？

提示：垂直于同一平面的两平面可能平行，也可能相交.1.直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是(

)A.b⊥β

B.b∥βC.b⊂βD.b⊂β或b∥β解析：由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β.答案：D2．设平面α⊥β，且α∩β＝l，直线a⊂α，直线

b⊂β，且a不与l垂直，b不与l垂直，则a与b(

)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行

解析：当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如图：过a上一点，作c⊥l，则c⊥β.∴b⊥c.∴b⊥α.∴b⊥l，与已知矛盾．答案：B3.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是(

)A.①与②

B.③与④

C.②与④

D.①与③解析：对①，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，∴①正确；对②，α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，∴l不一定与m平行，∴②错误；对③，∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β，∴③正确；④错误.答案：D4.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥

平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值

为

.解析：∵PC⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PC⊥CM，∴PM＝＝要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB，∴CM＝＝2，∴PM的最小值为2.答案：25.如图，平面ABC⊥平面BDC，

∠BAC＝∠BDC＝90°，且

AB＝AC＝a，则AD＝

.解析：取BC中点E，连结ED、AE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.∵平面ABC⊥平面BDC，∴AE⊥平面BCD.∴AE⊥ED.在Rt△ABC和Rt△BCD中，AE＝ED＝BC＝a，∴AD＝＝a.答案：a1.证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理.(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α).(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).(4)利用面面垂直的性质.当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，

常用来证明线线垂直.2.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的

判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直

的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线

面平行.

(2009·福建高考改编)如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.[思路点拨][课堂笔记]在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝＝2.∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.本例中，ED与平面ABD垂直吗？证明：由例1知，AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，ED⊂平面EBD，∴ED⊥平面ABD.1.证明平面与平面垂直的方法主要有：(1)利用定义证明.只需判定两平面所成的二面角为直二面角

即可.(2)利用判定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能

是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，

勾股定理等结论.2.关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆.

(2009·江苏高考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.[思路点拨](1)利用线面平行判定定理，由中点证EF∥BC.(2)转化为证线面垂直，由条件证A1D⊥平面BB1C1C.

[课堂笔记]

(1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1.所以A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化，元素间大小与位置关系，哪些变化，哪些不变化，这是至关重要的．一般说来，在翻折过程中，处在同一个半平面内的元素是不变的，弄清楚这一点是解决这类问题的关键．

如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图②.(1)求证：平面PBC⊥平面PDC；(2)在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值.[思路点拨](1)根据翻折前后元素的关系变化；(2)结合面面垂直的判定定理求解．

[课堂笔记]

(1)折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，所以△ABD为等腰直角三角形.又因为∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°.折叠后，因为面PBD⊥面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥面PBD.又因为PB⊂面PBD，所以CD⊥PB.又因为PB⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥面PDC.又PB⊂面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.(2)AE⊥BD，EF⊥BC，折叠后的位置关系不变，所以PE⊥BD.又面PBD⊥面BCD，所以PE⊥面BCD，所以PE⊥EF.设AB＝AD＝a，则BD＝a，所以PE＝a＝BE.在Rt△BEF中，EF＝BE·sin45°＝a×＝a.在Rt△PFE中，tan∠PFE＝＝＝.近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究(2009年浙江高考体现了这一考查方向).

[考题印证](2009·浙江高考)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；

(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA、OB的距离.【证明】

(1)如图，取PE的中点为H，连结HG、HF.因为点E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，所以HG∥OE，HF∥EB.┄┄┄┄4分因此平面FGH∥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分因为FG在平面FGH内，所以FG∥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分(2)在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交OA于点N，交OE于点Q.连结BN，过点F作FM∥PN，交BN于点M.┄┄┄9分下证FM⊥平面BOE.由题意，得OB⊥平面PAC，所以OB⊥PN，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分又因为PN⊥OE，所以PN⊥平面BOE.因此FM⊥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分在Rt△OAP中，OE＝PA＝5，PQ＝，cos∠NPO＝＝，ON＝OP·tan∠NPO＝＜OA，所以点N在线段OA上.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分因为F是PB的中点，所以M是BN的中点.┄┄13分因此点M在△AOB内，点M到OA，OB的距离分别为OB＝4，ON＝.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分

[自主体验]如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点.(1)求证：EF∥平面ABCD；

(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF⊥平面D1MB，并说明理由解：(1)证明：∵E、F分别是AD1和BD1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)设＝λ(λ＞0)，AD＝a，则DD1＝λa，连结MF.若DF⊥平面D1MB，则有DF⊥D1B，DF⊥FM.在Rt△BDD1中，DF＝＝＝.又F、M分别是BD1，CC1的中点，易证FM＝a，又DM＝＝a，∴在Rt△DFM中，DF2＋FM2＝DM2，即，解得λ2＝2，∴λ＝，即当＝时，DF⊥平面D1MB.1.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(

)A.有且只有一个B.至多有一个

C.有无数多个

D.一定不存在解析：当a⊥b时，存在一个过a且与b垂直的平面；若a与b不垂直，则不存在这样的平面.答案：B2.下列三个命题，其中正确命题的个数为(

)①平面α∥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ；②平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则α∥γ；③平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ.A.1B.2C.3D.0解析：①正确；②正确；③错误.答案：B3.已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么

α⊥β是a⊥b的(

)A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件解析：若α⊥β，由a⊥α则容易推出a⊂β或a∥β，而b⊥β，于是a⊥b；若a⊥b，则容易推出α⊥β，故α⊥β是a⊥b的充分必要条件.答案：C4.正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中

点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则