【高考风向标】年高考数学一轮复习 第十三章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 课件

考纲要求考纲研读1.以空间直线、平面的位置关系及四个公理为出发点认识和理解空间中的垂直关系．2．理解直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理．3．理解并能证明直线和平面垂直、平面和平面垂直的性质定理．4．能用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.1.从立体几何的有关定义、定理和公理出发，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定．2．正确使用线面垂直判定的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直；要证面面垂直可转化为线面垂直．明确线线、线面及面面垂直的判定方法及相互转化是正确解答有关垂直问题的关键.第5讲直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直任意垂直

(1)直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_____一条直线都______，那么这条直线和这个平面垂直． (2)直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_____直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

(3)直线与平面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____．平行相交

2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平面． (2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_____，那么这两个平面互相垂直．垂线

(3)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_____的直线垂直于另一个平面． 3．直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于0°.交线

(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于90°. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°)．斜线与平面所成的_______是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最___的角．4．二面角线面角小

从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做___________．直二面角1．垂直于同一条直线的两条直线一定()DA．平行C．异面B．相交D．以上都有可能2．A，B为空间两点，l为一条直线，则过A，B且垂直于l的平面()BA．不存在C．有且只有1个B．至多1个D．有无数个4．如图13－5－1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论D图13－5－1中正确的个数是()①BD1⊥AC；②BD1⊥A1C1；③BD1⊥B1C.A．0个B．1个C．2个D．3个3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直B

5．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()DA．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点1直线与平面垂直的判定与性质

例1：如图

3－5－2，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于E点，过E作EF⊥SC交SC于F点． (1)求证：AF⊥SC

(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.

图13－5－2解析：(1)证明：因为BC⊥面SAB，且AE在面SAB内，所以AE⊥BC.又因为AE⊥SB，SB∩BC＝B，所以AE⊥面SBC.而SC在面SBC内，所以AE⊥SC.又因为EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥面AEF.而AF在面AEF内，所以AF⊥SC.直线线与与直直线线垂垂直直⇒直线线与与平平面面垂垂直直⇒⇒平平面面与与平平面垂垂直直⇒直线线与与平平面垂垂直直⇒⇒直直线线与与直直线线垂垂直直，，通通过过直直线线与与平平面面位位置关关系系的的不不断断转转化化来来处处理理有有关关垂垂直直的的问问题题．．出出现现中中点点时时，，平平行行要要联想想到到三三角角形形中中位位线线，，垂垂直直要要联联想想到到三三角角形形的的高高；；出出现现圆圆周周上上的的点时时，，联联想想直直径径所所对对圆圆周周角角为为直直角角．．【互互动动探探究究】】1．．如如图图13－－5－－3，，PA⊥⊙⊙O所在在的的平平面面，，AB是⊙⊙O的直直径径，，C是⊙⊙O上的的一一点点，，E，F分别别是是A在PB，PC上的的射射影影，，给给出出下下面结结论论，，其其中中正正确确命命题题的的个个数数是是()B图13－5－－3①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.A．2个个C．4个个B．3个个D．5个个解析：①②③正正确，又又AF⊥平面PBC，④错误误．考点2平面与平平面垂直直的判定定与性质质例2：(2011年江苏)如图13－5－4，在四棱棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°°，E，F分别是AP，AD的中点．．求证：(1)直直线EF∥平面PCD；(2)平平面BEF⊥平面PAD图13－5－－4BF⊥AD⇒BF⊥面PAD(因为平面面PAD⊥平面ABCD)⇒平面BEF⊥平面PAD(因为BF⊂平面BEF)．前者者利用面面面垂直的的性质定定理，后后者利用用面面垂垂直的判判定定理理．证明：(1)∵E，F分别是AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵PD⊆面PCD，EF⊆面PCD，∴直线EF∥平面PCD.(2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点，∴BF⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴BF⊥面PAD.∴平面BEF⊥平面PAD.【互动探探究】2．(2011年浙江)下列命题题中错误误的是()DA．如果果平面α⊥平面β，那么平平面α内一定存存在直线线平行于于平面βB．如果果平面α不垂直于于平面β，那么平平面α内一定不不存在直直线垂直于平平面βC．如果果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果果平面α⊥平面β，那么平平面α内所有直直线都垂垂直于平平面β解析：因为若这这条线是是平面α和平面β的交线l，则交线线l在平面α内，明显显可得交交线l在平面β内，所以以交线l不可能垂垂直于平平面β，平面α内所有直直线都垂垂直于平平面β是错误的的．考点3线面所成成的角例3：如图13－5－5，，在正方方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角角．图13－5－－5求直线和和平面所所成的角角时，应应注意的的问题是是：(1)先判断直直线和平平面的位位置关系系．(2)当当直线和和平面斜斜交时，，常有以下步骤骤：①作—作出或找找到斜线线与射影影所成的的角；②②证—论论证所作或找到到的角为为所求的的角；③③算—常用解解三角形形的方法法求角；；④结论——点明斜线和和平面所所成的角角值．【互动探探究】3．如图图13－5－－6，在在长方体体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则则AC1与平面A1B1C1D1所成角的的正弦值值为()图13－5－－6答案：D图D27考点4立体几何何中的探探索性问问题例4：(2011年广东茂茂名一模模)如图13－5－7，在四棱棱锥P－ABCD中，底面面ABCD为菱形，，∠BAD＝60°°，Q为AD的中点．．(1)若若PA＝PD，求证：：平面PQB⊥平面PAD；(2)点点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定定t的值，使使PA∥平面MQB.图13－5－－7解析：(1)如图13－5－8，连接BD，∵四边边形ABCD菱形，∠BAD＝60°，，∴△ABD为正三角角形．又又∵Q为AD中点，∴∴AD⊥BQ.∵PA＝PD，Q为AD的中点，，∴AD⊥PQ.又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB.又AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.图13－5－8探索性问问题是一一种具有有开放性性和发散散性的问问题，此类题目目的条件件或结论论不完备备．要求求解答者者自己去去探索，，结合已已有条件，进行行观察、分析析、比较和概概括．它对学学生的数学思思想、数学意识及综综合运用数学学方法的能力力提出了较高高的要求．它它有利于培养学生探探索、分析、、归纳、判断断、讨论与证证明等方面的的能力，使学生经历一一个发现问题题、研究问题题、解决问题题的全过程．．【互动探究】】4．(2011年广东深圳一一模)如图13－5－9，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB//线段AD上一点，AM＝AB，DM＝DC，SM⊥AD. (1)证明：BM⊥平面SMC；图13－5－9(1)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SM⊂平面SAD，SM⊥AD，∴SM⊥平面ABCD.∵BM⊂平面ABCD,∴SM⊥BM.∵四边形ABCD是直角梯形，，AB//CD，AM＝AB，DM＝DC，∴△MAB，△MDC都是等腰直角角三角形，∴∠AMB＝∠CMD＝45°，∴∠BMC＝90°.∴BM⊥CM.∵SM⊂平面SMC，CM⊂平面SMC，SM∩CM＝M，∴BM⊥平面SMC.(2)解：三棱锥C－SBM与三棱锥S－CBM的体积相等等，由(1)知SM⊥平面ABCD，1．证明线线面垂直的的方法(1)用线线面垂直的的定义：若若一直线垂垂直于平面面内任一直直线，这条直线垂直直于该平面面．(2)用线线面垂直的的判定定理理：若一直直线垂直于于平面内两两条相交直线，这条条直线垂直直于该平面面．(3)用线线面垂直的的性质定理理：若两平平行直线之之一垂直于于平面，则另一条直直线也垂直直于该平面面．(4)用面面面垂直的的性质定理理：若两个个平面垂直直，在一个个平面内垂直于交线线的直线必必垂直于另另一个平面面．(5)如果果一条直线线垂直于两两个平行平平面中的一一个，那么么也垂直于另一个平平面．(6)如果果两个相交交平面都和和第三个平平面垂直，，那么相交交平面的交线也垂直直于第三个个平面．2．判定面面面垂直的的方法(1)定义义法：首先先找二面角角的平面角角，然后证证明其为直直角．(2)用用面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理：：一一个个平平面面经经过过另另一一个个平平面面的的一一条条垂线线．．3．．垂垂直直于于同同一一个个平平面面的的两两条条直直线线平平行行，，是是判判定定两两条条直直线线平平行行的又又一一重重要要方方法法，，是是实实现现空空间间中中平平行行关关系系和和垂垂直直关关系系在在一一定定条条件件下相相互互转转化化的的一一种种手手段段．．4．．本本节节教教材材中中线线面面垂垂直直的的性性质质定定理理的的证证明明用用到到反反证证法法，，反反证证法属属逻逻辑辑方方法法范范畴畴，，它它的的严严谨谨体体现现在在它它的的原原理理上上，，即即““否否定定之之否否定等等于于肯肯定定””，，其其中中第第一一个个否否定定是是指指否否定定结结论论，，第第二二个个否否定