【学海导航】高三数学第一轮总复习 6.2 均值不等式课件

第六章不等式16.2

均值不等式

考点搜索●利用基本不等式证明不等式●运用重要不等式求最值●重要不等式在实际问题中的应用高考猜想在求函数的最值和实际问题中运用重要不等式，选择题、填空题或解答题中均可能作为工具出现.2

一、算术平均数与几何平均数定理1.若a＞0，b＞0，则称①_______为两个正数的算术平均数，称②_______为两个正数的几何平均数.2.如果a、b为实数，那么a2+b2≥2abab≤③_______，当且仅当a=b时取“=”号.3.如果a、b为正实数，那么≤④_______，当且仅当a=b时取等号.3如果a+b为定值P,那么ab有最⑤____值，为⑥____;如果ab为定值S,那么a+b有最⑦___值,为⑧____.这一结论称为均值定理.其应用的三个条件依次为⑨_____、⑩_____、11_______.

二、不等式恒成立问题不等式a≥f(x)恒成立，［f(x)］max存在12_______________，不等式a≤f(x)恒成立，［f(x)］min存在13_______________.大小一正二定三相等a≥［f(x)］maxa≤［f(x)］mix4

盘点指南：①;②;③;④;⑤大；⑥;⑦小；⑧;⑨一正；⑩二定；三相等；11

a≥［f(x)］max;12

a≤［f(x)］min5若x,y∈

,且x+y=s,xy=p,则下列命题中正确的是()A.当且仅当x=y时，s有最小值B.当且仅当x=y时，p有最大值C.当且仅当p为定值时，s有最小值D.若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值

解：由均值不等式易得答案为D.D6若x,y∈

,x+y≤4,则下列不等式中成立的是()

解：故选B.B7设a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()

解法1：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式,易判断不成立.

解法2：可逐项使用均值不等式判断不等式成立;8B.因为相乘得成立;C.因为又由得所以成立;D.因为，所以所以即不成立,故选D.91.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的理由.

解：不对.设左、右臂长分别是l1,l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a,b，真实重量为G.题型1利用均值不等式比较代数式的大小10则由杠杆平衡衡原理有：l1·G=l2·b，①l2·G=l1·a.②①×②得G2=ab,所以.由于l1≠l2，故a≠b,由均值不等式式知知说法不对,真实重量是两两次称量结果果的几何平均均值.点评：本题考查均值值不等式,杠杆平衡原理理知识及分析析问题、解决决问题的能力力，属跨学科科(数学、物理)的创新问题.均值不等式应应用的条件是是“一正二定定三相等”，，即两个数都都为正数，两两个数的和或或积是定值，，有相等的可可取值.11已知a、b、c都是正正数，，且a+b+c=1.求证：：证明：：因为所以同理，，有所以但由于于3a+2≠≠1，所以以上式式不能能取等等号.所以122.(1)已知x>0,y>0,且求求x+y的最小小值;(2)已知x<,求函数数的的最最大值值;(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小小值.解：(1)因为x>0,y>0,所以题型2求函数数或代代数式式的最最值13当且仅仅当即即y=3x时,上式等等号成成立.又所所以x=4,y=12时，(x+y)min=16.(2)因为x<,所以5-4x>0,所以以当且且仅仅当当即即x=1时,上式式等等号号成成立立,故当当x=1时，，ymax=1.14(3)由2x+8y-xy=0，得得2x+8y=xy，所所以以所以以x+y=(x+y)()=10+=10+2()≥≥10+2××2=18,当且且仅仅当当，，即即x=2y时取取等等号号.又2x+8y-xy=0，所所以以x=12,y=6,所以以当当x=12,y=6时，，x+y取最最小小值值18.15点评评：：第(2)小题题是是一一类类应应用用均均值值不不等等式式求求分分式式型型函函数数的的最最值值的的题题型型，，此此类类问问题题求求解解中中注注意意变变形形配配凑凑成成两两个个正正数数的的和和式式(或积式)，且它们们的积(或和)式为定值值的形式式，然后后看能否否有相等等条件，，若有再再利用均均值不等等式得出出函数的的最值；；若没有有，则利利用函数数的单调调性求解解.第(1)(3)小题可利利用已知知条件转转化为(2)的形式.1617183.若对任意意正实数数x、y,不等式恒恒成立立，则a的最小值值是.解：若不等式式恒成立立,则恒恒成立立.所以因为所以当当且且仅当x=y时取等号号.所以a≥，故amin=.题型3用均值不不等式求求解不等等式中的恒成立问问题19点评：求恒成立中中的问题的的方法比较较多，本题题利用的是是分离变量量法：即一一边为所求求参数a；另一边是是其他参数数的式子，，然后求其其式子的最最值.从填空题的的角度来思思考，本题题也可以利利用对称式式的特点取取x=y=1，由此猜想想a的值.2021已知a、b、c∈R,求证：证明：因为所以同理,三式相加得得221.均值不等式式具有将““和式”转转化为“