【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.1数学归纳法及其应用（第1课时）课件 理

第十二章极限与导数数学归纳法及其应用第讲1（第一课时）1考点搜索●归纳法和数学归纳法的含义与作用●数学归纳法的证题步骤，及各步骤的作用高高考猜想1.利用数学归纳法证明数列背景下的有关问题.2.利用“归纳——猜想——证明”探索有关结论.21.从一系列有限的①

得出②—————————的推理方法，叫做归纳法.2.对一个与正整数n有关的命题：第一步：验证当n取③

时命题成立；第二步：假设当④

时命题成立，证明当⑤

时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从⑥

开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.特殊事例一般结论第一个值n0

n=k(k∈N*，k≥n0)n=k+1n0

33.数学归纳法需要完成两个步骤的证明，缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦————————的基础；第二步反映了无限递推关系，即命题的正确性具有⑧

.若只有第一步，而无第二步，则只是证明了命题在特殊情况下的正确性；若只有第二步，而无第一步，那么假设n=k时命题成立就没有根据，递推无法进行.递推归纳传递性41.设那么f(n+1)-f(n)等于()D5解：62.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)为(

)A.f(n)+n+1

B.f(n)+nC.f(n)+n-1

D.f(n)+n-2解：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原(n-2)个顶点连成的(n-2)条对角线，及原先的一条边成了对角线.故选C.C

7题型1

用数学归纳法证明恒等式、不等式1.设n∈N*，求证：证明：(1)当n=1时，左边=右边所以等式成立.(2)假设n=k(k∈N*)时等式成立，即8则当n=k+1时，所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知，对一切正整数n等式都成立.9点评：运用数学归纳法证明恒等式(不等式)的要点是“两步一结论”，即第一步先验证初始结论；第二步是先假设n=k时命题成立，再由n=k时的命题作条件，推导n=k+1时结论也成立；一结论是指最后归纳前面两个步骤，得出原结论是成立的.10所以当n=k+1时，，不等式式也成立立.综合(1)(2)知，，对于一一切大于于1的自自然数,不等式都都成立.111213题型2用数学归归纳法证证明整除除性问题题2.设设a为实实常数，，n∈N*，，证明:an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除除.证明：(1)当当n=1时，，a3+(a+1)3=(2a+1)［［a2-a(a+1)+(a+1)2］=(2a+1)(a2+a+1).它能被a2+a+1整除除，所以以n=1时命命题成立立.(2)假假设当n=k时，ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整整除，，则当n=k+1时时，ak+3+(a+1)2k+314=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因为ak+2+(a+1)2k+1与a2+a+1都都能被被a2+a+1整整除，，所以上上面的的和也也能被被a2+a+1整整除.即当n=k+1时，，ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整整除.综合(1)(2)知知，命命题对对任何何n∈N*都成成立.15点评：：用数学学归纳纳法证证明整整除问问题的的关键键是第第二步步的配配凑变变形，，即把把n=k+1的的命题题形式式通过过添项项配凑凑成n=k时的结结论加加除式式的倍倍式的的形式式.16已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否否存在在自然然数m，使对对任意意n∈N*，都有有m整除f(n)？如果果存在在，求求出最最大的的m值，并并证明明你的的结论论；如如果不不存在在，说说明理理由.解：由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，f(4)=1224，猜想想f(n)被36整除.证明：：(1)当n=1时，猜猜想显显然成成立.(2)假设当当n=k时，f(k)能被36整除，，即(2k+7)·3k+9能被36整除.则当n=k+1时，17f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1).由假设设知3［(2k+7)·3k+9］能被被36整除，，而3k-1-1是偶数数，所所以18(3k-1-1)能被36整除，，从而f(k+1)能被36整除.综合(1)(2)知，对任意意n∈N*，f(n)能被36整除.由于f(1)=36，故36是整除除f(n)的自然然数m的最大大值.18平面内内有n个圆，，其中中每两两个圆圆都相相交，，任何何三个个圆都都无公公共点点，证证明：：这n个圆把把平面面分成成n2-n+2个区域域.证明：：(1)当n=1时，一一个圆圆把平平面分分成两两个区区域，，而12-1+2=2，所以以命题题成立立.(2)假设当当n=k时命题题成立立，即即k个圆把把平面面分成成k2-k+2个区域域.题型用用数学学归纳纳法证证明几几何命命题

参考题19则当n=k+1时，第第k+1个圆与与原有有的k个圆共共有2k个交点点，这这些交交点把把第k+1个圆分分成了了2k段弧，，其中中每段段弧都都把它它所在在的区区域分分成了了两部部分，，因此此共增增加了了2k个区域域.所以这这k+1个圆把把平面面分成成k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域域，即当n=k+1时命题题也成成立.综合(1)(2)知，对对任意意n∈N*，命题题都成成立.201.数学归归纳法法的第第一步步有时时要验验证从从n0开始的的多个个正整整数命命题成成立，，这主主要取取决于于从k到k+1的的奠基基是什什么数数.如如果假假设当当n=k时命题题成立立，并并要求求当k≥m时才能能得出出n=k+1时时命题题也成成立，，则第第一步步必须须验证证从n0到m的各个个正整整数命命题都都成立立.2.第二步步的证证明必必须运运用““归纳纳假设设”作作为证证明n=k+1时时命题题成立立的条条件，，否则则就不不是数数学归归纳法法了.213.“归纳假假设””可以以是一一个式式子(等式或或不等等式)，也可可以是是一段段具有有数学学意义义的数数学语语言，，有时时需要要对它它作适适当变变通，，而不不是机机械地地套用用.4.如果命命题是是对正正奇数数(或正偶偶数)成立，，则假假设n=k时命题题成立立后，，要证证明n=k+2时也命命题成成立.若第(1)步证明明n=1和n=2时命题题成立立，22第(2)步假设设n=k时命题题成立立，证证明n=k+2时命题题也成成立，，则对