《幂函数》同步作业

《幂函数》同步作业[合格基础练]一、选择题1.下面给出的几个函数中,是幂函数的为 ()= =10x=2x-3 =D解析：幂函数的解析式是:y=xα(α为常数).2．已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是()A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数A解析：设幂函数为f(x)＝xα，又因为图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))α＝eq\r(3)，解得α＝－1，故f(x)＝x－1，又f(－x)＝(－x)－1＝－f(x)且f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数，因此A正确，B、C、D错误．]3．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()A．y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3)) B．y＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))C．y＝xeq\s\up15(eq\f(5,3)) D．y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))D解析:A中，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))＝eq\r(3,x)，定义域、值域都为R；B中，y＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,\r(x))的定义域与值域都为(0，＋∞)；C中，y＝xeq\s\up15(eq\f(5,3))的定义域、值域也都为R；D中，y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))＝eq\r(3,x2)的定义域为R，而值域为[0，＋∞)．故选D.4．如图所示，给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是()B解析：因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．5．设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(3,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>bB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>aA解析：∵y＝xeq\s\up15(eq\f(2,5))(x>0)为增函数，又eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，∴a>c.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))x(x∈R)为减函数，又eq\f(2,5)<eq\f(3,5)，∴c>b.∴a>c>b.填空题6.已知幂函数y=f(x)的图像过点(3,),则log3f(9)的值为________.

1解析：设幂函数f(x)=xα(α为常数),由题意得=3α,解得α=,所以f(x)=,所以f(9)==3,所以log3f(9)=log33=1.7．已知α>α，则α的取值范围是________．α<0解析：∵0<<，而α>α，∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.8．若幂函数f(x)＝(m∈Z)的图像与坐标轴无公共点，且关于原点对称，则实数m的取值集合为________．{0,2}[幂函数f(x)＝(m∈Z)的图像与坐标轴无公共点，且关于原点对称，可得m2－2m－3＜0(m∈Z)，并且m2－2m－3为奇数，解得m＝0，或m＝2.则实数m的取值集合为{0,2}．]三、解答题9．比较下列各题中两个值的大小；(1)，；(2)(eq\r(2))，(eq\r(3))；(3)(－，.「解」(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且<，∴<.(2)∵y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且eq\r(2)<eq\r(3)，∴(eq\r(2))>(eq\r(3)).(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－＝.又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且<，∴<，即(－<.10.已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)的图像关于原点对称,且在R上单调递增.(1)求f(x)解析式.(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.[解](1)幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)的图像关于原点对称,且在R上单调递增,可得9-3m>0,解得m<3,m∈N*,可得m=1,2,若m=1,则f(x)=x6的图像不关于原点对称,舍去;若m=2,则f(x)=x3的图像关于原点对称,且在R上单调递增,成立.则f(x)=x3.(2)由(1)可得f(x)是奇函数,且在R上单调递增,由f(a+1)+f(3a-4)<0,可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a),即为a+1<4-3a,解得a<.[等级过关练]1．若(a＋1)eq\s\up18(-\f(1,2))<(3－2a)eq\s\up18(-\f(1,2))，则a的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))B解析：令f(x)＝xeq\s\up18(-\f(1,2))＝eq\f(1,\r(x))，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a，))解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).]2．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的图像可能是()ABCDC解析：当a＜0时，函数y＝ax－eq\f(1,a)是减函数，且在y轴上的截距－eq\f(1,a)＞0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∴A，D项均不正确．当a＞0时，函数y＝ax－eq\f(1,a)为增函数，且在y轴上的截距－eq\f(1,a)＜0，排除B项，只有C项正确．3.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是________.9解析：由题目可知加密密钥y=xα(α为常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.4．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．(3,5)[∵f(x)＝x＝eq\f(1,\r(x))(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，,10－2a＞0，,a＋1＞10－2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－1，,a＜5，,a＞3.))∴3＜a＜5.5．已知幂函数y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．[解]因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1