人教版八年级数学下册第17章勾股定理

第十七章

勾股定理17.1勾股定理第1课时

勾股定理1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业勾股定理勾股定理与图形的面积相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？A、B、C的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？ABC让我们一起探索这个古老的定理吧！1知识点勾股定理知1－导我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.

弦股勾图1知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2(1)观察图2-1

正方形A中含有

个

小方格，即A的面积

是

个单位面积.正方形B的面积是

个单位面积.正方形C的面积是

个单位面积.99918知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2分“割”成若干个直角边为整数的三角形=18(单位面积)S正方形c知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2(2)在图2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少个小方格？

它们的面积各是多少？(3)你能发现图2-1中三个正方

形A，B，C的面积之间有

什么关系吗？SA+SB=SC

即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.知1－导ABCacbSa+Sb=Sc观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2知1－讲┏a2+b2=c2acb

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股弦

勾股定理(毕达哥拉斯定理)知1－讲定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.数学表达式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

对边分别是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.知1－讲导引：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝知1－讲解：总

结知1－讲

利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；三化简．1

设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边

长为c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.知1－练（来自《教材》）(1)(2)(3)解：知1－练下列说法中正确的是(

)A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的

平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2C2知1－练3

若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，

斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(

)A．b2＝c2－a2B．a2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C知1－练【中考·东营】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(

)A．10B．8C．6或10D．8或10C4知1－练【中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(

)A．3B．6C．3D.A5知1－练【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(

)A．5个B．4个C．3个D．2个C6知1－练如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A72知识点勾股定理与面积的关系知2－导

在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角形斜边c为边长的小正方形．归纳知2－导

观察图形，容易得到大正方形的边长为

a+b，所以大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的面积又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方．知2－讲例2观察如图所示的图形，回答问题：(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积

为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积

为________；(2)如图②，分别以直角

三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，

则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；(用图中字母表示)(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你

利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．知2－讲(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角

形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形

的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝

直角三角形的面积．导引：知2－讲(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆

形的面积为S3，三角形的面积为S△，

则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝×3×4＝6.解：总

结知2－讲

与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．1

如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边

形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分

别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.知2－练（来自《教材》）SE＝(122＋162)＋(92＋122)

＝400＋225

＝625.解：2(中考·株洲)如图，以直角三角形的三边a，b，c为

边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直

角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数是(

)A．1B．2C．3D．4知2－练D知2－练3如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面

积分别为3和4，则b的面积为(

)A．3B．4C．5D．7D知2－练如图，已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC，BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．不能确定4C知2－练【中考·温州】四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为(

)A．12S

B．10SC．9S

D．8S5C1.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角

三角形三边关系．2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些

变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．1知识小结

在△ABC中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是(

)A．42B．32C．42或32D．不能确定C2易错小结本题应分△ABC为锐角三角形和△ABC为钝角三角形两种情况讨论．解本题时常常容易忽略其中一种情况而出错．易错点：考虑问题不全面而漏解.第十七章

勾股定理17.1勾股定理第2课时

勾股定理的实际应用1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业求实际中长（高）度的应用求实际中的最短距离的应用

如图所示，一棱长为3cm的正方体．把所有的面都分成3×3个小正方形，假若一只蚂蚁每秒爬2cm，则它从下底面A点，沿表面爬行至右侧的B点，最少要花几秒?1知识点求实际中长（高）度的应用问题

如图所示，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索?知1－导归纳知1－导

应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角三角形，把问题转化为已知两边求直角三角形中第三边的问题.然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理a2＋b2=c2求出待求的线段长度，即三角形的边长.勾股定理在生活中有广泛应用，例如长度，高度，距离，面积，体积等问题都可以利用勾股定理来解答.可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，

宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通

过？为什么？知1－讲（来自《教材》）分析：解：总

结知1－讲

实际问题经常转化为数学问题，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理来解答.解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根据勾股定理，

OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB==1.

在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4

-0.5)2=3.15.OD

=≈1.77,

BD=OD-OB≈l.77-1=0.77.

所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外

移0.5m，而是外移约0.77m.例2如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的

墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿

墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？知1－讲（来自《教材》）总

结知1－讲

生活中的一些实际问题常常通过构建数学模型(直角三角形)来求解，勾股定理在生活中应用面广，建立的模型有时并不是已知两边求第三边，而只是告诉了其中的一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题．1

如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成

直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).知1－练（来自《教材》）在Rt△BAC中，BC＝60m，AC＝20m，由勾股定理，得AB＝

＝≈57(m)．答：A，B两点间的距离约为57m.解：2

如图，在平面直角坐标系中有两点

A(5，0)和B(0，4).求这两点之间的距离.知1－练（来自《教材》）由点A(5，0)，B(0，4)可知OA＝5，OB＝4，又因为∠BOA＝90°，所以根据勾股定理，得AB＝

＝解：3(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一

棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树

顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(

)A．8米

B．10米

C．12米

D．14米知1－练B【中考·绍兴】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(

)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米知1－练4C【中考·黄冈】在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)，已知标语牌的高AB＝5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角(即∠AEB)为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角(即∠AFB)为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73)知1－练5知1－练如图，作FH⊥AE于H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF，设AH＝HF＝xm，则EF＝2xm，EH＝

xm，在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5m，∴AE＝2AB＝10m，∴x＋

x＝10，∴x＝5－5，∴EF＝10－10≈7.3(m)，答：点E与点F之间的距离约为7.3m.解：2知识点求实际中的最短距离的应用知2－导如图1所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？问题图1知2－导(2)如图2所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(4)若蚂蚁先从点A直接爬到点C，然后再从点C沿地面直径爬到点B，这样爬的总路程与沿圆柱侧面爬行的最短路程比较，哪一条更短些？图2归纳知2－导

最短路径问题要转化到平面图形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答.知2－讲例3如图所示的长方体的高为4cm，底面是长为5cm，宽

为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出

发沿长方体的表面爬到顶点B.求：(1)蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一

条棱)的最长路程．(1)蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两点之间，

线段最短”去探求，而与顶点A，B相关的两个面展开共

有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁

爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程．(2)最长路线应该是依次经过长为5cm，4cm，5cm，4cm，3cm，4cm，5cm的棱．导引：知2－讲(1)将长方体与顶点A，B相关的两个面展开，共有三

种方式，如图所示．若蚂蚁沿侧面爬行，如图①，

则爬行的最短路程为

若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图②③，

解：

知2－讲

则爬行的最短路程分别为

因为

＜4＜3，

所以蚂蚁经过的最短路程是cm.(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以蚂蚁沿着棱

爬行的最长路程是30cm.总

结知2－讲

几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题，然后利用“两点之间，线段最短”去确定路线，最后利用勾股定理计算．知2－练如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，P是母线BC上一点，且PC＝

BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点P的最短距离是(

)A.cm

B．5cm

C．3cm

D．7cm1B知2－练【中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为(

)A．4B．5C．6D．72B知2－练【中考·安徽】如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝

S长方形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为(

)A.B.C．

D.3D1.勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的重要特征，

应用勾股定理可以求出直角三角形中的直角边或者

斜边的长度，在实际应用中要注意：(1)勾股定理的应用是以直角三角形存在(或容易构造

直角三角形)为基础；(2)表示直角三角形边长的a,b,c不是固定不变的，c不一定是斜边的长.1知识小结2.在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离之

和最短的方法：先找到其中一个点关于这条直线的

对称点，连接对称点与另一个点的线段与该直线的

交点即为所找的点，对称点与另一个点的线段长就

是最短距离之和．以连接对称点与另一个点的线段

为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，

然后利用勾股定理即可求出最短距离之和．

如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C

的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A

爬到点B，需要爬行的最短距离是(

)A．5

B．25

C．10＋5

D．35B2易错小结易错点：求最短路径时对立体图形展开情况考虑不全面

导致错解.第十七章

勾股定理17.1勾股定理第3课时

勾股定理的几何应用1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业用勾股定理在数轴上表示实数勾股定在几何问题中的应用

某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：

如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的准确面积．则池塘不计入土地价钱白白奉送．英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗?1知识点用勾股定理在数轴上表示数

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

如果能画出长为

的线段，就能在数轴上画出表示

的点.容易知道，长为

的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.长为

的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？知1－讲知1－讲

利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2,3的直角三角形的斜边长为

.由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示

的点.

如图,在数轴上找出表示3的点A，则OA=3,过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

的点.总

结知1－讲

类似地，利用勾股定理，可以作出长为

…的线段(图1).按照同样方法，可以在数轴上画出表示

…的点(图2).

图1图2利用

a＝

可以作出．如图2，先作出与已知线段AB垂直，且与已知线段的端点A相交的直线l，在直线l上以A为端点截取长为2a的线段AC，连接BC，则线段BC即为所求．如图2，BC就是所求作的线段．例1如图1，已知线段AB的长为a，请作出长为

a的

段．(保留作图痕迹，不写作法)知1－讲图1图2导引：解：总

结知1－讲

这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的长是解题的关键．1在数轴上做出表示的点.知1－练（来自《教材》）如图所示．作法：(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；(2)过A作直线l垂直于OA；(3)在直线l上取点B，使AB＝1；(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与

数轴的交点C即为表示

的点．解：2如图，点C表示的数是(

)A．1B.C．1.5D.知1－练D如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(

)A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间知1－练3A2知识点勾股定在几何问题中的应用知2－讲例2如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的长．导引：题中没有直角三角形，可以通

过作高构建直角三角形；过点A作AD⊥BC于D，图中会出现

两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两

个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，

可建立起直角三角形之间的联系．知2－讲解：如图，过点A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，AD

在Rt△ABD中，BD∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.总

结知2－讲

利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题．1

如图，等边三角形的边长是6.求：(1)高AD的长；(2)这个三角形的面积.知2－练（来自《教材》）(1)由题意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为

的线段________条．知2－练28知2－练3如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中，

长为无理数的边有(

)A．0条

B．1条

C．2条

D．3条C知2－练4如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB【2017·宜宾】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是(

)A．3B.C．5D.知2－练5C如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则△ABC的周长等于________cm.知1－练61．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，

再求这个直角三角形的角度和面积：综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形

平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于

最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.1知识小结2．应用勾股定理解题的方法：(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构

造直角三角形，应用勾股定理求解；(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的

长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建

方程，解答计算问题；(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾

股定理解决实际问题．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．115.22易错小结在Rt△PFH中，FH＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.设△PFH的边FH上的高为h，则h＝

＝4.8，∴S长方形ABCD＝24×4.8＝115.2.易错点：忽视题目中条件而求不出答案.解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出BC的长，然后再运用面积法求出△PFH中FH边上的高，本题容易因忽视条件而求不出答案．易错总结：第十七章

勾股定理17.2勾股定理的逆定理第1课时

勾股定理的逆定理1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业逆命题、逆定理勾股定理的逆定理勾股数勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c21知识点逆命题、逆定理如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这

两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做

原命题，那么另一个叫做它的逆命题．知1－导2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那

么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，

这两个定理称为互逆定理．知1－讲导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题

的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判

断逆命题的真假．例1判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题

的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.知1－讲解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有

一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a

＞b.逆命题是假命题．(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为

零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命题是真命题．知1－讲总

结知1－讲

写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了．1

说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角

的平分线上.知1－练（来自《教材》）知1－练（来自《教材》）(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行．逆命题

成立．(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这

两个实数相等．逆命题不成立．(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等．

逆命题不成立．(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相

等．逆命题成立．解：已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若a＝1，则

＝a；③内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(

)A．0B．1C．2D．3知1－练2A下列定理中，没有逆定理的是(

)A．直角三角形的两锐角互余B．若三角形三边长a，b，c(其中a＜c，b＜c)

满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形C．全等三角形的对应角相等D．互为相反数的两数之和为0知1－练3C2知识点勾股定理的逆定理知2－导勾股定理的逆定理

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2互逆定理知2－讲例2判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直

角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最

大边长的平方.解：(1)因为152+82=225+64=289,172=289，所以152+82=172

，

根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.(2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠

152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.（来自《教材》）总

结知2－讲

判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角

形的内角和定理判断；(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，

一般通过计算得出三边的数量关系(即a2＋b2＝c2)来判

断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．知2－讲例3如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”

号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固

定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，

“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个

半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如

果知道“远航”号沿东北方

向航行，能知道“海天”号

沿哪个方向航行吗？知2－讲分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，

如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道

“海天”号的航向了.解：根据题意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，

QR=30.

因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，

所以∠QPR=90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.

因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.（来自《教材》）总

结知2－讲

用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．1

如果三条线段长a，b，c满足a2=c2–b2，这三

条线段组成的三角形是不是直角三角形？为

什么？知2－练（来自《教材》）这三条线段组成的三角形是直角三角形，因为三条线段长a，b，c满足a2＝c2－b2，即a2＋b2＝c2，根据勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形．