【优化方案】高三数学一轮复习 第3章3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数课件 文 北师大

§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．角的概念(1)角的分类角按旋转方向不同可分为_______、______、______．(2)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__________________________．正角负角零角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．象限角及终边落在坐标轴上的角终边位置集合表示第一象限第二象限______________________________________________第三象限第四象限_______________________________________________终边位置集合表示x轴正半轴{α|α＝2kπ，k∈Z}负半轴_________________y轴正半轴负半轴________________________________________坐标轴{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}思考感悟1．如何表示终边在x轴上、y轴上的角的集合？3．角度制与弧度制的互化360°＝____，180°＝___，1°＝_____rad，1rad＝()°≈57.3°＝57°18′.4．弧长及扇形面积公式弧长公式：l＝|α|·r，扇形面积公式：S＝_____________，其中l为扇形弧长，α为圆心角的弧度数，r为扇形半径．2ππ5．任意角的三角函数三角函数正弦函数余弦函数正切函数定义在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(x，y)____叫作α的正弦函数，记作sinα_____叫作α的余弦函数，记作cosα______叫作α的正切函数，记作tanα(α≠＋kπ，k∈Z)三角函数正弦函数余弦函数正切函数各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦都为正值终边相同角的三角函数值(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝_____cos(α＋k·2π)＝cosαtan(α＋2kπ)＝_____sinαtanα思考感悟2．根据三角函数的定义，三角函数在各象限的符号与此象限点的坐标的符号有怎样的关系？提示：根据三角函数的定义，y＝sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同，y＝cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同，y＝tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同．6．三角函数数线图中有向线线段MP、OM、AT分别表示_______、________、_______．正弦线余弦线正切线1．(2011年蚌埠质检检)若α＝k·180°°＋45°(k∈Z)，则α是()A．第一或第第三象限角角B．第一或第第二象限角角C．第二或第第四象限角角D．第三或第第四象限角角答案：A课前热身答案：D3．若sinα<0且tanα>0，则α是()A．第一象限限角B．第二象限限角C．第三象限限角D．第四象限限角答案：C答案：第二二象限考点探究•挑战高考考点突破考点一角的集合表示1．相等的角角终边一定定相同，但但终边相同同的角却不不一定相等等，终边相相同的角有有无数个，，它们之间间相差360°的整数倍．．α第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角第一或第三象限角第一或第三象限角第二或第四象限角第二或第四象限角(2011年亳州质检检)如图所示，，点A在半径为1且圆心在原原点的圆上上，且∠AOx＝45°.点P从点A出发，依逆逆时针方向向等速地沿沿单位圆周周旋转．已已知P在1秒钟内转过过的角度为为θ(0°<θ<180°°)，经过2秒钟到达第第三象限，，经过14秒钟后又回回到出发点点A，求θ.例1【思路点拨】先把实际语语言转化为为数学语言言，即14秒钟后P在角14θ＋45°的终边上，，由此可得得到等量关关系，再注注意到θ角的范围便便可确定θ的值．【名师点评】解答这类问问题，关键键在于抓住住终边相同同的角的一一般表示，，即与角α终边相同的的角的一般般形式为β＝α＋k·360°°(k∈Z)．另外，对对于角的概概念，还要要注意区分分几个易混混淆的概念念：(1)正角、负角角是以射线线绕端点的的旋转方向向定义的，，零角是射射线没有做做任何旋转转；其顶点点都在原点点，始边为为x轴的正半轴轴，所不同同的是终边边的旋转方方向不同．．一个角是是第几象限限角，关键键是看这个个角的终边边落在第几几象限；(2)“小于90°的角”“锐角”“第一象限角角”的根本区别别在于其范范围的不同同，它们的的范围分别别是：“α<90°””“0°<α<90°””“k·360°°<α<k·360°°＋90°(k∈Z)”．任意角三角角函数的定定义是锐角角三角函数数定义的推推广，利用用任意角三三角函数的的定义可以以解决与30°，45°，60°等特殊角相相关的三角角函数求值值问题，如如计算sin150°，cos135°，tan120°等．已知角角α终边上一点点的坐标，，也可计算算角α的三角函数数值等．考点二三角函数的定义【思路点拨】先根据三角角函数的定定义求出x的值，再求求sinα，tanα的值．例2【名师点评】(1)在利用三角角函数的定定义求角α的三角函数数值时，若若角α的终边上点点的坐标是是以参数的的形式给出出的，则要要根据问题题的实际及及解题的需需要对参数数进行分类类讨论．(2)任意角的三三角函数值值仅与角α的终边位置置有关，而而与角α终边上点P的位置无关关．若角α已经给出，，则无论点点P选择择在在α终边边上上的的什什么么位位置置(原点点除除外外)，角角α的三三角角函函数数值值都都是是确确定定的的．．1．熟熟记记各各个个三三角角函函数数在在每每个个象象限限内内的的符符号号是是关关键键．．2．判判断断三三角角函函数数值值的的符符号号就就是是要要判判断断角角所所在在的的象象限限．．3．对对于于已已知知三三角角函函数数式式的的符符号号判判断断角角所所在在象象限限，，可可先先根根据据三三角角函函数数式式的的符符号号确确定定三三角角函函数数值值的的符符号号，，再再判判断断角角所所在在象象限限．．考点三三角函数值符号的判定例3这类类问问题题主主要要是是利利用用周周长长和和面面积积公公式式，，找找出出扇扇形形半半径径、、圆圆心心角角、、周周长长和和面面积积的的联联系系，，建建立立函函数数关关系系式式．．已知知一一扇扇形形的的圆圆心心角角是是α，半半径径为为R，弧弧长长为为l.(1)若α＝60°°，R＝10cm，求求扇扇形形的的弧弧长长l；(2)若扇扇形形周周长长为为20cm，当圆心心角α为多少弧弧度时，，这个扇扇形的面面积最大大？考点四弧度制的应用例4【思路点拨拨】利用弧度度制下扇扇形弧长长及面积积公式．．【名师点评评】解决此类类问题时时，用弧弧度制下下的扇形形弧长、、面积公公式比较较简单，，但一定定要注意意将角度度化为弧弧度．第第(2)问中的最最值问题题一般是是转化为为函数最最值问题题或是利利用均值值不等式式求解．．变式训练练2已知一扇扇形的圆圆心角是是α，所在圆圆的半径径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形形的弧长长及该弧弧所在的的弓形面面积；(2)若扇形的的周长是是一定值值c(c>0)，当α为多少弧弧度时，，该扇形形有最大大面积？？方法技巧巧1．在利用用三角函函数定义义时，点点P可取终边边上任一一点，如如有可能能则取终终边与单单位圆的的交点．．|OP|＝r一定是正正值．(如例2)2．要熟悉悉角的弧弧度制与与角度制制间的换换算关系系．给定定一个角角，要准准确判断断它所在在的象限限或区域域．熟记记一些常常见角的的集合．．(如课前热热身5)方法感悟悟1．注意易易混概念念的区别别：第一一象限角角、锐角角、小于于90°的角是概概念不同同的三类类角．第第一类是是象限角角，第二二、第三三类是区区间角．．2．角度制制与弧度度制可利利用180°°＝πrad进行互化化，在同同一个式式子中，，采用的的度量制制度必须须一致，，不可混混用．3．注意熟熟记0°～360°°间特殊角角的弧度度表示．．失误防范范考情分析考向瞭望•把脉高考从近几年年高考来来看，三三角函数数定义在在高考中中经常出出现，既既有小题题也有大大题，主主要是与与其他知知识相结结合考查查，一般般不单独独命题．．预测2012年高考仍仍将与其其他知识识结合考考查，重重点考查查基础知知识与运运算能力力．(本题满分分10分)已知角θ的终边上上一点P(3a,4a)(a≠0)，求角θ的正弦、、余弦和和正切值值．规范解答答例解析：选A.sin(2191°)＝sin(6×360°°＋31°)＝sin31°.故选A.名师预测测3．若角α与角β的终边在在同一条条直线上