高中数学归纳法大全数列不等式精华版

1．数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：(1)验证：＝n时，命题成立；(2)在假设当

＝(≥n)时命题成立

的前提下，推出当

＝＋1

时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数都成立．2．归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数

有关

的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数，注意

不一定是

1.2．当证明从

到

＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对

＝＋1成立时，必须运用命题对＝成立的归纳假设．步骤二中，在由

到

＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确

＝＋1时证明的目标，充分考虑由＝到

＝＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当＝＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．1

/

115．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，要求这个命题对所有的正整数

都成立；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：＋＋＋…＋＋＝－其中

∈．

用数学归纳法证明：

－＋－＋…＋－－2

/

11

＝＋＋＋＋…＋

.

证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于

的自然数

，不等式＋＋＋…＋

＋

－

＞

成立．

*

·

恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式

p;

p

p

.

大庆实验中学高二期中

用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋<2－ ≥2)．

<2

<<2<2

证明整除问题用数学归纳法证明下列问题：求证：×＋是

的倍数；证明：＋－能被

整除． ·7

k·7.

mm

mmmm

*

南京一模已知数列{}满足

＝，＝，当

∈时，＝＋.求证：数列{}的第

m＋

项m∈能被整除．

m

m

m

m

m

m

.

m

{}

m

几何问题平面内有

个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：这个圆把平面分成

－＋个部分．

*

*

平面内有(∈，≥条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数

()＝

－

.

l

l

l

.

归纳—猜想—证明

湖南常德

月，设

>0，＝＋，令

＝，＝，∈.写出

，，的值，并猜想数列{}的通项公式；用数学归纳法证明你的结论．

.

·

·

.

已知数列{}满足

已知数列{}满足

＝，

＝

，∈

.＋证明：

－≤

.

:

猜想数列{}的单调性，并证明你的结论；

>>{}

>

>.

>0

>0

>

.

<2

>

<2

>

.

.

判断

＋＋…＋＝＋＋

对大于

的自然数

是否都成立？若成立请给出证明

×

×

×

＋＋ ×

×

×

＋＋用数学归纳法证明 ＋ ＋ ＋…＋ ＝∈

．

.

＋用数学归纳法证明

＋＋＋…＋>

∈．

>

>

.