学案推理与证明

学案推理与证明第一页，共四十页，2022年，8月28日推理与证明1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法;了解综合法和分析法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.第二页，共四十页，2022年，8月28日1.推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处不在.从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明题是高考中常考的题型之一.2.综合法、分析法是证明不等式常用的方法,不等式的证明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现，常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理能力，是高考考查的一项重要内容.3.反证法在高考中虽很少单独命题，但是有时运用反证法的证题思路判断、分析命题有独到之处.4.数学归纳法作为一种重要的数学思想方法，在高考中有可能单独命题，更可能的是通过不同的形式来考查“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法.第三页，共四十页，2022年，8月28日1.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是

、

.由部分到整体由个别到一般的推理第四页，共四十页，2022年，8月28日2.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是

.3.

和

都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.4.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是

.5.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：由特殊到特殊的推理归纳推理类比推理由一般到特殊的推理第五页，共四十页，2022年，8月28日（1）

——已知的一般原理；（2）

——所研究的特殊情况；（3）

——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.6.一般地,利用已知条件和某些数学

、

、

等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.7.一般地,从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为

为止,这种证明方法叫做分析法.大前提小前提结论定义公理定理判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）第六页，共四十页，2022年，8月28日8.反证法是间接证明的一种基本方法.一般地，假设

不成立(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

原命题矛盾第七页，共四十页，2022年，8月28日【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项考点1归纳推理在数列{an}中，a1=1,an+1=(n∈N+),猜想这个数列的通项公式.第八页，共四十页，2022年，8月28日【解析】{an}中，a1=1,a2=a3=a4=,…,所以猜想{an}的通项公式an=.证明如下：因为a1=1,an+1=,所以即所以数列是以=1为首项,公差为的等差数列.所以.所以通项公式an=.第九页，共四十页，2022年，8月28日【评析】通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.第十页，共四十页，2022年，8月28日第十一页，共四十页，2022年，8月28日第十二页，共四十页，2022年，8月28日在△ABC中，AB⊥AC于A,AD⊥BC于D，求证:，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明.考点2类比推理

第十三页，共四十页，2022年，8月28日【证明】如图所示，由射影定理得AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC.∴又BC2=AB2+AC2,∴∴猜想：类比AB⊥AC,AD⊥BC猜想四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直,第十四页，共四十页，2022年，8月28日AE⊥平面BCD.则如图，连结BE交CD于F，连结AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD，而AF面ACD,∴AB⊥AF.而Rt△ABF中，AE⊥BF,∴在Rt△ACD中，AF⊥CD,∴∴故猜想正确.第十五页，共四十页，2022年，8月28日【评析】根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象.类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.第十六页，共四十页，2022年，8月28日第十七页，共四十页，2022年，8月28日第十八页，共四十页，2022年，8月28日第十九页，共四十页，2022年，8月28日在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.考点3演绎推理【分析】解答本题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.第二十页，共四十页，2022年，8月28日【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形——大前提在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°——小前提所以△ABD是直角三角形——结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半——大前提而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线——小前提所以DM=AB.同理EM=AB.所以DM=EM.第二十一页，共四十页，2022年，8月28日【评析】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.第二十二页，共四十页，2022年，8月28日证明:根据题意,0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,又tanα=,tanβ=,∴tan(α+β)=∵0<α+β<π,∴α+β=.如图是三个拼在一起的正方形，求证：α+β=.第二十三页，共四十页，2022年，8月28日【证明】要证只要证∵a>0,故只要证考点4分析﹑综合法证明已知a>0,求证:【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.第二十四页，共四十页，2022年，8月28日从而只要证只要证即,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.即第二十五页，共四十页，2022年，8月28日【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.第二十六页，共四十页，2022年，8月28日已知a,b,c＞0.求证：a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c).第二十七页，共四十页，2022年，8月28日【证明】∵a2+b2≥2ab,a＞0,b＞0,∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b).∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2.∴a3+b3≥a2b+ab2.同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2.将三式相加得:2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2,∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).∴a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c).第二十八页，共四十页，2022年，8月28日【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.考点5反证法若x,y都是正实数，且x+y＞2,求证：或中至少有一个成立.第二十九页，共四十页，2022年，8月28日【证明】假设,都不成立,则有和同时成立.因为x＞0且y＞0，所以1+x≥2y,且1+y≥2x.两式相加，得2+x+y≥2x+2y.所以x+y≤2.这与已知条件x+y＞2矛盾.因此,中至少有一个成立.第三十页，共四十页，2022年，8月28日

【评析】

（1）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循环论证的错误.第三十一页，共四十页，2022年，8月28日第三十二页，共四十页，2022年，8月28日第三十三页，共四十页，2022年，8月28日第三十四页，共四十页，2022年，8月28日第三十五页，共四十页，2022年，8月28日1.(1)合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.

(2)合情推理的过程概括为:

从具体问题出发→观察、分析、比较、联想

→归纳、类比→提出猜想

(3)演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.

(4)合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).第三十六页，共四十页，2022年，8月28日(5)在数学中,证明命题的正确性都是使用演绎推理,而合情推理不能用作证明