函数模型的应用同步练习（含答案）

函数模型的应用1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)实际问题中两变量之间一定有确定的函数关系．(×)(2)实际问题中，函数的定义域只需使函数有意义．(×)(3)用拟合函数预测的结果和实际的结果可能有偏差．(√)(4)对于一个实际问题，数据收集的越多，建立的函数模型的模拟效果越好．(√)题型1指数函数模型的应用2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝…为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是(D)A．22小时 B．23小时C．33小时 D．24小时解析：由题意可得x＝0时，y＝192，x＝22时，y＝48，代入y＝ekx＋b可得eb＝192，e22k＋b＝48，即有e11k＝eq\f(1,2)，则当x＝33时，y＝e33k＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24.故选D.3．某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg≈，lg2≈(C)A．2022年 B．2023年C．2024年 D．2025年解析：设从2016年后，第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得，100×(1＋10%)n>200，即>2，两边取对数可得，n>eq\f(lg2,lg≈eq\f,≈，则n≥8，即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年．4．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(A)A．略有亏损B．略有盈利C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：由题意可得，(1＋10%)3(1－10%)3＝≈<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．题型2对数函数模型的应用5．据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)近似满足y＝alog3(x＋2)，观测发现第1年有越冬白鹤3000只，估计第7年有越冬白鹤(C)A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只解析：当x＝1时，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以当x＝7时，y＝3000×log3(7＋2)＝6000(只)．6．已知函数t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,100)))的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是(A)A．144h B．90hC．60h D．40h解析：由N＝90可知，t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(90,100)))＝144(h)．7．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w，厚度为x的矩形纸张，在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤eq\f(2,3)log2eq\f(w,x)(注：lg2≈，根据以上信息，一张长为21cm，厚度为mm的纸最多能对折__8__次．解析：由题意n≤eq\f(2,3)log2eq\f(w,x)＝eq\f(2,3)log2eq\f(210,＝eq\f(2,3)log24200＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log24＋log21000＋log2\f(21,20)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋3log210＋log2\f(21,20))).因为log210＝eq\f(1,lg2)＝eq\f(1,，0<log2eq\f(21,20)<1，所以n≤8＋eq\f(2,3)log2eq\f(21,20)，所以n的最大值为8.题型3建立拟合型函数解决实际问题8．“菊花”型烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如表：时间t1eq\f(3,2)3高度h1919(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt，确定此函数解析式并简单说明理由；(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求此时烟花距地面的高度．解：(1)由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2满足，故选取该函数．设h(t)＝at2＋bt＋c，由表中数据得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(19＝a＋b＋c，,\f(47,2)＝\f(9,4)a＋\f(3,2)b＋c，,19＝9a＋3b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝24，,c＝1，))所以h(t)＝－6t2＋24t＋1(t≥0)．(2)由(1)得h(t)＝－6(t－2)2＋25，故烟花冲出后2s是爆裂的最佳时刻，此时距地面高度为25米．易错点忽略限制条件9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b<a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，则当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出最大面积．解：设四边形EFGH的面积为S.因为S△AEH＝S△CFG＝eq\f(1,2)x2，S△BEF＝S△DGH＝eq\f(1,2)(a－x)·(b－x)，所以S＝ab－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)a－xb－x))，即S＝－2x2＋(a＋b)·x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4)))2＋eq\f(a＋b2,8).由图形知此函数的定义域为{x|0<x≤b}．因为0<b<a，所以0<b<eq\f(a＋b,2).若eq\f(a＋b,4)≤b，即a≤3b，则当x＝eq\f(a＋b,4)时，S取得最大值，且Smax＝eq\f(a＋b2,8).若eq\f(a＋b,4)>b，即a>3b，则S在区间(0，b]上是增函数，因此当x＝b时，S取得最大值，且Smax＝ab－b2.综上所述，当b<a≤3b，x＝eq\f(a＋b,4)时，四边形EFGH的面积最大，且最大面积为eq\f(a＋b2,8)；当a>3b，x＝b时，四边形EFGH的面积最大，且最大面积为ab－b2.[误区警示]本题易出现没有考虑二次函数的定义域，直接套用求二次函数最值的公式的错误．本题需对eq\f(a＋b,4)与函数的定义域的关系进行分类讨论．(限时30分钟)一、选择题1．如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(C)A．lgeq\f, B．lgeq\f,C．eq\f(lg,lg D．eq\f(lg,lg解析：由题意得a(1－8%)t＝eq\f(a,2)，两边取对数，得lg＝lg，即tlg＝lg，所以t＝eq\f(lg,lg.2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数解析式为y＝×2x－2＋10(0<x<10，x∈N*)，若每台产品的售价为6万元，则当产量为8台时，生产者可获得的利润为(A)A．万元 B．万元C．万元 D．万元解析：因为总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数解析式为y＝×2x－2＋10(0<x<10，x∈N*)，且产量为8台，所以总成本为y＝×28－2＋10＝(万元)．因为每台产品的售价为6万元，所以当产量为8台时，生产者可获得的利润为6×8－＝48－＝(万元)．3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p0×2－eq\f(t,30)，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln2，则p(60)＝(C)A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升解析：因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln2.因为p(t)＝p0×2－eq\f(t,30)，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．4．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(记作[H＋]，单位mol/L)和氢氧根离子的物质的量的浓度(记作[OH－]，单位mol/L)的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在～之间，那么健康人体血液中的eq\f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg2≈，lg3≈(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,10)解析：因为[H＋]·[OH－]＝10－14，所以eq\f([H＋],[OH－])＝[H＋]2×1014.因为<－lg[H＋]<，所以10－<[H＋]<10－，所以10－<eq\f([H＋],[OH－])＝1014·[H＋]2<10－.所以－<lgeq\f([H＋],[OH－])<－.又lgeq\f(1,2)≈－，lgeq\f(1,3)≈－，lgeq\f(1,6)＝－lg6＝－(lg2＋lg3)≈－，lgeq\f(1,10)＝－1，所以只有lgeq\f(1,6)在范围之中，故选C.二、填空题5．某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a>0且a≠1)，x∈N*.当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为元．解析：由题意可得方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k×a1＝96，,k×a3＝54，))结合a>0且a≠1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,k＝128，))即y＝128×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x，则该商品上架第4天的价格为128×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(81,2)＝(元)．6．设在海拔x(单位：m)处的大气压强为y(单位：kPa)，y与x的函数关系可近似地表示为y＝100eax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数解析式，在海拔2000m处的大气压强为__81__kPa.解析：将(1000,90)代入y＝100eax，可得a＝eq\f(ln,1000)，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eeq\f(ln,1000)x，当x＝2000时，y＝100e2ln＝81.三、解答题7．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；(2)如果业务员小江获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：(1)由题意知，当0≤x<8时，y＝；当x>8时，y＝8×＋log5(2x－15)＝＋log5(2x－15)，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1，0≤x<8，,＋log52x－15，x>8.))(2)由题意知＋log5(2x－15)＝，解得x＝20.所以小江的销售利润是20万元．8．家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝Q0e－eq\f(t,400)，其中Q0是臭氧的初始量．(1)随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？(提示：ln2≈，ln3≈解：(1)因为Q0>0，－eq\f(1,400)<0，e>1,所以Q＝Q0e－eq\f(t,400)为减函数．所以随着时间的增加，臭氧的含量是减少．(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q＝Q0e－eq\f(x,400)＝eq\f(1,2)Q0,即e－eq\f(x,400)＝eq\f(1,2)，两边取自然对数，得－eq\f(x,400)＝lneq\f(1,2)，解得x＝400ln2≈.所以278年后将会有一半的臭氧消失．9．有时可用函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＋15ln\f(a,a－x)，x≤6，,\f(x－,