一元函数微分

原式是否可按下述方法作:例.证明函数在x=0不可导.证:不存在,例.

设存在,求极限解:

原式机动目录上页下页返回结束解:

因为1.设存在,且求所以机动目录上页下页返回结束2012真题设函数A

BCD练习函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x

连续.注意:

函数在点x连续未必可导.反例:在

x=0处连续,

但不可导.即机动目录上页下页返回结束在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.设故机动目录上页下页返回结束,问a

取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.机动目录上页下页返回结束一、四则运算求导法则

定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且机动目录上页下页返回结束二、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数机动目录上页下页返回结束三、反函数的求导法则

定理.y的某邻域内单调可导,证:在

x

处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此机动目录上页下页返回结束在点x

可导,四、复合函数求导法则定理.在点可导复合函数且在点x

可导,证:在点

u可导,故（当时)故有机动目录上页下页返回结束例如,关键:

搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动目录上页下页返回结束例1.解:机动目录上页下页返回结束例2.

求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则机动目录上页下页返回结束2)设则特别当时,小结:机动目录上页下页返回结束例3.

求下列导数:解:(1)(2)(3)说明:

类似可得机动目录上页下页返回结束例4.设求解:思考:

若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同练习:

设机动目录上页下页返回结束例5.设解:记则(反双曲正弦)的反函数机动目录上页下页返回结束例6.求解:例8.设解:求机动目录上页下页返回结束例8.求解:关键:

搞清复合函数结构由外向内逐层求导机动目录上页下页返回结束例9.设求解:机动目录上页下页返回结束五、隐函数的导数若由方程可确定y是

x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数

.则称此隐函数求导方法:

两边对

x

求导(含导数的方程)机动目录上页下页返回结束例1.

求由方程在x=0

处的导数解:

方程两边对

x

求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数机动目录上页下页返回结束例2.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x

求导机动目录上页下页返回结束

1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:机动目录上页下页返回结束2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对

x求导机动目录上页下页返回结束又如,

对x

求导两边取对数机动目录上页下页返回结束六、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个

y

与

x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x

是

y的函数)关系,机动目录上页下页返回结束例.

设由方程确定函数求解:

方程组两边对t

求导,得故机动目录上页下页返回结束高阶导数的运算法则都有n

阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束例.求解:

设则代入莱布尼兹公式,得机动目录上页下页返回结束设求解:依次类推,例1.思考:

设问可得机动目录上页下页返回结束例2.

设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求机动目录上页下页返回结束例4.

设求解:一般地,类似可证:机动目录上页下页返回结束例5.

设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数机动目录上页下页返回结束内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,机动目录上页下页返回结束思考与练习1.

如何求下列函数的

n

阶导数?解:解:机动目录上页下页返回结束(3)提示:

令原式原式机动目录上页下页返回结束解:机动目录上页下页返回结束微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数机动目录上页下页返回结束例1.求解:机动目录上页下页返回结束方程两边求微分,得已知求解：2.习题课目录上页下页返回结束3.已知求解：因为所以机动目录上页下页返回结束应用切线，法线；单调性；凸凹性，拐点；极值，最值；渐近线；曲率一、函数单调性的判定法若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,机动目录上页下页返回结束证毕例1.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线机动目录上页下页返回结束例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束定义.

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点机动目录上页下页返回结束例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸机动目录上页下页返回结束例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸机动目录上页下页返回结束三、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小点

,称为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点

.机动目录上页下页返回结束注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或

不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,机动目录上页下页返回结束定理1

(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)机动目录上页下页返回结束点击图中任意处动画播放\暂停例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动目录上页下页返回结束例2.求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束四、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值机动目录上页下页返回结束特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)机动目录上页下页返回结束例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束3.

设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A机动目录上页下页返回结束试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:

由题意应有又取得极大值为备用题1.求出该极值,并指出它是极大机动目录上页下页返回结束试求解:2.

机动目录上页下页返回结束故所求最大值为1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动目录上页下页返回结束2.斜渐近线斜渐近线若机动目录上页下页返回结束例2.

求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.机动目录上页下页返回结束五、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周机动目录上页下页返回结束例.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义机动目录上页下页返回结束又因即5)求特殊点为斜渐近线机动目录上页下页返回结束6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点机动目录上页下页返回结束无定义思考与练习

1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:机动目录上页下页返回结束公式①称为的n

阶泰勒公式

.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当泰勒目录上页下页返回结束公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项

.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立机动目录上页下页返回结束称为麦克劳林（Maclaurin

）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林目录上页下页返回结束由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中机动目录上页下页返回结束其中机动目录上页下页返回结束类似可得其中机动目录上页下页返回结束其中机动目录上页下页返回结束已知其中类似可得机动目录上页下页返回结束2.利用泰勒公式求极限例3.

求解:由于用洛必塔法则不方便

!用泰勒公式将分子展到项,机动目录上页下页返回结束思考与练习

计算解:原式第四节目录上页下页返回结束3.利用泰勒公式证明不等式例4.

证明证:机动目录上页下页返回结束由题设对证:备用题

1.有且机动目录上页下页返回结束下式减上式,得令机动目录上页下页返回结束罗尔（Rolle

）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束若M>

m,则M和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得机动目录上页下页返回结束使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:

设证

F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.

机动目录上页下页返回结束例1.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏目录上页下页返回结束证毕例2.

证明等式证:

设由推论可知

(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

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