统计学原理辅导(4章-5章)

统计学原理第四章综合指标教学目的综合指标法是统计研究的基本方法之一。从广义上说，所有的统计指标都可以称为综合指标。但这里讲的综合指标是将所有的统计指标按其指标数值的表现形式不同归纳起来的三大类基本指标，它们是：总量指标、相对指标和平均指标。通过本章的学习要求了解三类基本指标的概念、特点，掌握各类指标的计算方法，并能结合实际资料进行计算分析。第四章综合指标在学习过程中主要解决以下几个问题总量指标的含义、作用和种类相对指标的含义、种类和计算平均指标的含义、种类和计算变异指标的含义、作用和计算第一节总量指标一、总量指标的概念和作用第四章综合指标是编制计划、实行经营管理的重要依据。1、概念：总量指标是反映社会经济现象发展的总规模或工作总量的综合指标。2、作用是对社会经济现象认识的起点。是计算相对指标和平均指标的基础。第一节总量指标二、总量指标的种类1、按反映现象总体内容的不同

总体单位总量总体标志总量2、按反映时间状况的不同时期指标时点指标第四章综合指标可以连续统计指标数值大小受时期长短制约不可以连续统计指标数值大小与时间间隔长短无关第四章综合指标单位名称企业数（个）职工人数（人）固定资产增加额（万元）工业增加值（万元）纺织局化工局机械局

300250450

800050007000

100020002000

200500300合计

1000

20000

5000

1000通过下表：1、区分总体单位总量与总体标志总量；

2、区分时期指标与时点指标。总体标志总量时点指标时期指标总体单位总量第四章综合指标三、总量指标的计量单位计量单位自然单位：头、辆、人

双重单位：台/千瓦、人/平方公里复合单位：吨公里、千瓦小时四、总量指标统计的要求1、计算总量指标必须对指标的含义、范围做严格的确定。2、计算实物总量指标时，要注意现象的同类性。3、计算总量指标要有统一的计量单位实物单位货币单位劳动量单位度量衡单位：米、公斤、吨第二节相对指标一、相对指标的概念、作用及表现形式表现形式无名数：百分数、千分数、成数、系数、倍数有名数：由分子、分母指标的计量单位构成第四章综合指标概念：相对指标是两个相互联系的现象数量的比率，用以反映现象的发展程度、结构、强度、普遍程度。作用：为人们深入认识事物发展的质量与状况提供客观依据可以使不能直接对比的现象找到可以对比的基础第二节相对指标二、相对指标的种类及计算方法（一）结构相对指标（二）比例相对指标（三）比较相对指标（四）强度相对指标（五）动态相对指标（六）计划完成程度相对指标第四章综合指标（一）结构相对指标第四章综合指标以总体总量作为比较标准，求出各组总量占总体总量的比重。所以，又称比重指标。计算方法指标特点结构相对指标是反映总体内部构成特征或类型的统计指标。各组或各部分占总体的比重之和，必须为1或100%例如：对市场上销售的冷饮产品的质量进行抽查，抽查结果为，合格品的数量占全部抽查产品数量的85%。第四章综合指标（二）比例相对指标概念：

比例相对指标是反映总体内各个局部、各个分组之间，数量的比例关系的统计指标。计算方法：指标特点：是同一总体内不同部分数量对比的结果。一般用百分比表示，也可用几比几的形式表示。例如：将全部工业按其生产产品的用途不同，分为轻工业和重工业，某地区轻、重工业的产值之比为：1.2:1。（三）比较相对指标概念：

说明某一同类现象在同一时间内各单位发展的不平衡程度，以表明同类事物在不同条件下的数量对比关系。计算方法第四章综合指标指标特点同类指标在不同空间下进行对比。一般用百分数或倍数表示。例如：甲城市居民的平均收入是已城市居民收入的1.5倍。第四章综合指标（四）强度相对指标概念：

是用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度或普遍程度的相对指标。计算方法：指标特点：是两个性质不同而又有联系的总量指标之间的对比。指标数值的计量单位可以是无名数，如百分数、千分数，也可以是有名数，如：吨公里、人/平方公里等。有正、逆指标之分。例如：某城市每万人拥有的零售商业网点数为10个/万人（正）；或每个零售商业网点服务于1000人/个（逆）。（五）动态相对指标第四章综合指标概念：反映同类现象在不同时间上变动程度的相对指标。计算方法：指标特点：是不同时间的同类指标进行对比。计算结果用百分数表示。例如：某商业企业2月份的销售额是1月份的120%。第四章综合指标例题：想一想可以计算哪几种相对指标？根据第四次人口普查调整数

1982年

1990年人口总数其中：男女

1016545235249302

1143335890455429单位：万人又知我国国土面积为960万平方公里。结构相对指标比例相对指标比较相对指标强度相对指标动态相对指标√√√√×（六）计划完成程度相对指标1、以绝对数形式计算计划完成程度相对指标

检查短期计划完成情况检查某一时期的计划完成情况：月度、季度、年度检查计划执行的进度：计划期内某一段时间的实际完成数与计划全期的计划数进行对比。第四章综合指标基本公式：计划完成程度（%）=实际完成数计划任务数某企业生产某种产品产量计划完成情况如下：单位（吨）2、检查累计至二月份的产量计划完成程情况。例题1：月份计划产量实际产量

一二三

180018001800

122517202665合计

5400

56101、检查各月产量计划完成情况。计划完成程度（%）

68.0695.56148.06

103.89第四章综合指标（计算结果见上表）

检查长期计划完成程度累计法：按各年完成任务的总和下达计划任务水平法：按计划期末应达到的水平下达计划任务

例题2：假定某产品按五年计划规定,最末一年产量应达到

50万吨,实际产量如下表，检查长期计划完成情况。单位:万吨13.5+12.5+12.5+13=51.5(万吨)从第四年的第二季度起到第五年的一季度止,实际产量已达到计划规定的50万吨,即12+12.5+13+13.5=51(万吨)，所以提前9个月完成了任务。即：(60个月—51个月=9个月)

51.5×100%=103%50第四章综合指标时间第一年第二年第三年第四年第五年上下一二三四一二三四产量44452224111212.51313.512.512.513提前完成任务的时间：长期计划完成程度：解:计划末期实际产量:检查是否有连续一年的产量达到计划规定的水平？2、以相对数形式计算计划完成程度相对指标

实际完成程度（%）公式：计划完成程度（%）=————————————

计划规定的完成程度（%）第四章综合指标当计划任务以相对数的形式下达时，检查计划完成程度就用相对数的形式检查。其中：实际完成程度（%）=————————本期实际完成数上期实际完成数计划规定的完成程度（%）=————————本期计划任务数上期实际完成数第四章综合指标本期实际完成数上期实际完成数本期计划任务数上期实际完成数÷＝本期实际完成数上期实际完成数本期计划任务数上期实际完成数×＝本期实际完成数本期计划任务数例题3：假定某企业按计划规定，劳动生产率应在基期的水平上提高3%，实际执行结果提高了4%，问提高劳动生产率计划任务的完成程度是多少？第四章综合指标解：即：超额0.97%完成提高劳动生产率的计划任务。解：例题4：假定某企业按计划规定，产品单位成本应在上一年的水平上降低4%，实际降低了3%，问降低产品成本的计划任务的完成程度是多少？第四章综合指标即：差1.04%没有完成成本降低计划任务。第三节平均指标一、平均指标的概念、特点和作用二、平均指标的种类及计算方法

算术平均数、调和平均数、几何平均数

众数、中位数

第四章综合指标第四章综合指标一、平均指标的概念、特点和作用概念：

反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。

特点：

平均指标将总体内各单位的差异抽象化了。平均指标是一个代表值，代表总体综合数量特征的一般水平。第四章综合指标一、平均指标的概念、特点和作用作用：

反映总体各单位变量分布的集中趋势；比较同类现象在不同单位的发展水平，用来说明生产水平、经济效益或工作质量的差距；分析现象之间的依存关系。

算术平均数调和平均数几何平均数众数中位数

种类：数值平均数位置平均数（一）算术平均数算术平均数1、算术平均数的基本公式总体标志总量总体单位总量=

用此公式计算算术平均数，必须注意分子与分母之间存在的内在经济联系。即分子是分母所具有的标志值。强度相对指标和平均指标的区别：某企业工人平均工资1200元/月；某城市每万人拥有的零售商业网点数为10个/万人如：第四章综合指标（一）算术平均数2、算术平均数的计算形式

（1）简单算术平均数：x=∑xin

例如：已知5名工人的工资为：600元、780元、1050元、

1100元、900元。根据资料计算五名工人的平均工资：解：设工人的工资为“Xi”,i=1、2、3、4、5，则工人的平均工资为：（适用于未分组资料）第四章综合指标x=∑xf∑f（2）加权算术平均数:适用于分组资料。第四章综合指标计算公式：公式中：“X”

代表各组变量值

“f”

代表各组变量值出现的次数或频数

“∑”为合计符号

根据分组资料计算算术平均数，平均数的大小不仅受到各组变量值大小的影响，而且受到各个变量值出现次数多少的影响，因此需用下式计算其平均数：——

①=x∑xf∑f（2）加权算术平均数:适用于分组资料。第四章综合指标

因为各组变量值出现次数的多少对平均数的形成产生权衡轻重的作用，所以将“f”称为权数。权数即可以表现为“次数”的形式，也可以表现为“比重”的形式。用“比重”权数计算算术平均数的公式为：计算公式：——②第四章综合指标A、根据单项式数列计算算术平均数

例：某企业工人按日产量分组资料如下：要求：根据资料计算工人的平均日产量。日产量（件）

工人人数（人）（x）（f）(f/∑f)1510

716201317302018

5033194027

合计150100第四章综合指标A、根据单项式数列计算算术平均数

解:按第一个公式计算按第二个公式计算:B、根据组距数列计算算术平均数要求：根据资料计算全部职工的平均工资。例：某企业职工按工资分组资料如下：第四章综合指标工资（元）职工人数（人）

xff/∑f400—5005016.7500—6007023.3600—70012040.0700—8006020.0

合计300

100第四章综合指标解：计算过程如下：工资（元）组中值

x职工人数

xf

x（f/∑f）ff/∑f400—500500—600600—700700—800

450550650750

507012060

16.723.340.020.0

22500385007800045000

75.15128.15260.00150.00合计—300

100

184000

613.3平均工资：根据组距数列计算算术平均数两个班组工人生产资料如下：根据资料分别计算两个班组工人的平均日产量。一班二班日产量工人数比重日产量工人数比重（件）（人）（%）（件）（人）（%）

20210201521152115

2215752215231523152415241680

合计20100合计20100一班工人平均日产量二班工人平均日产量计算得到：∑f∑xfx==21.9(件)∑f∑xfx==23.5(件)C、权数在平均数形成中起的作用第四章综合指标D、权数的选择当分组的标志为相对数或平均数时，经常会遇到选择哪一个条件为权数的问题。如下例：要求：计算全部企业的平均计划完成程度。计划完成程度企业数计划产值

(%)

(个)(万元)

80—9055090—1001080100—110120200110—1203070

合计165400第四章综合指标D、权数的选择选择权数的原则:1、变量与权数的乘积必须有实际经济意义。2、依据相对数或平均数本身的计算方法来选择权数。根据原则本题应选计划产值为权数，计算如下：平均计划完成程度：第四章综合指标第四章综合指标（3）简单算术平均数与加权算术平均数的关系权数起作用必须有两个条件：一是：各组标志值必须有差异。如果各组标志值没有差异标志值成为常数，也就不存在权数了。二是：各组的次数或比重必须有差异。如果各组次数或比重没有差异，意味着各组权数相等，权数成为常数，则不能起到权衡轻重的作用，这时加权算术平均数就等于简单算术平均数。用公式表示二者的关系：当：调和平均数的计算方法（1）简单调和平均数（2）加权调和平均数（二）调和平均数第四章综合指标调和平均数是各个标志值倒数的算术平均数的倒数，所以又称倒数平均数。社会经济统计中使用的主要是权数为特定形式（m=xf)的加权调和平均数。加权调和平均数作为加权算术平均数的变形使用，仍然依据算术平均数的基本公式计算。某工业局下属各企业按产值计划完成程度分组资料如下，根据资料计算该工业局产值平均计划完成程度：计划完成程度企业数实际产值

(%)

(个)

(万元)80—9055090—1001080100—110120200110—1203070

合计165400xxm∑m∑=平均计划完成程度=400394=101.52%第四章综合指标例题一组中值m(%)xx8559958410519011561—394m说明：该工业局实际比计划多完成6万元，超额1.52%

完成产值计划任务。计划产值某车间各班组工人劳动生产率和实际产量资料如下：班组劳动生产率实际产量

(件工时)(件)

一101000

二122400

三154500

四206000

五306000合计—19900例题二要求：计算五个班组工人的平均劳动生产率。xmmx1002003003002001100解：平均劳动生产率为：第四章综合指标（总工时）（三）

众数众数是现象总体中最普遍出现的标志值。它反映了现象的一种集中趋势众数的确定方法（1）由单项数列确定众数数列中出现次数最多的变量值就是众数。（见教材P142表）（2）由组距数列确定众数步骤：①找出众数所在的组②根据公式计算众数公式：=+mo下限+组距×众数组次数—众数组前一组次数众数组与前一组次数之差众数组与后一组次数之差（见教材P143表）第四章综合指标

将总体中各单位的标志值按大小顺序排列，处于数列中点位置的标志值就是中位数。中位数的计算方法

（1）根据未分组资料计算中位数步骤：①将资料按大小顺序排列②计算中位数的位次：+12n③确定中位数（2）根据单项数列计算中位数步骤：①计算数列的中间位置点：f+12∑②计算累计次数找出中位数所在的组③确定中位数（四）

中位数（教材P144例题）（教材P142表4-8）第四章综合指标（3）根据组距数列计算中位数步骤：①计算数列的中间位置点:②计算累计次数，找出中位数所在的组③用公式计算中位数2∑f公式：中位数=下限+组距×中间位置点—中位数组次数众数和中位数的主要特点：不受极端变量值的影响第四章综合指标（教材P143表4-9）中位数组前一组累计次数第四节变异指标一、变异指标的概念及作用二、变异指标的种类及计算方法（一）全距：最大变量值与最小变量值之差优点：计算简便、意义明确不足：不能全面反映各单位标志值的变异情况第四章综合指标全距平均差标准差变异系数（适用于未分组资料）（适用于分组资料）3、计算方法D=n∑|x-x|∑f∑│x-x│fD=2、特点：

根据总体单位所有标志值来计算差异程度以算术平均数为计算的标准对离差取绝对值简单平均差公式：加权平均差公式：（二）平均差1、涵义：是总体各单位标志值对算术平均数的离差绝对值的算术平均数。甲乙两个班组工人日产量资料如下：

甲班工人日产量（件）：2528303542

乙班工人日产量（件）：1824323848要求：计算平均差，比较两个班组工人平均日产量的代表性。

解：1、计算平均日产量甲班：x=n∑x=5

160=乙班：x=n∑x=5

160=32（件）

32（件）D=n∑|x-x|甲班：=5.2(件)乙班：D=n∑|x-x|=8.8(件)例题一2、平均差∵甲班工人日产量的平均差小于乙班，∴甲班工人平均日产量的代表性大于乙班。（三）标准差1、涵义：2、计算方法：简单标准差公式加权标准差公式（适用于未分组资料）（适用于分组资料）是总体中各单位标志值对算术平均数离差平方的算术平均数的平方根计算标准差的简化式或例题2：根据资料计算工人的平均日产量和标准差：工人平均日产量:x=∑xf∑f=74(件)工人日产量标准差:√Σ(x-x)2σ=fΣf=11(件)日产量(x)工人数(f)551065247536

8522958

合计100

550156027001870760-19-9111213610194436266235281178030250101400202500158950

722005653007440按简化式计算：σ=11（件）(四)变异系数1、涵义是全距、平均差、标准差与算术平均数的比值。2、计算方法：标准差系数Vσ=σx变异系数包括：全距系数、平均差系数、标准差系数使用最多的是标准差系数。用相对数形式反映各个变量值与其平均数的离差程度，其数值表现为系数或百分数。例题3：已知甲乙两个班组工人日产资料如下：甲班乙班日产量工人数日产量工人数（件）（人）（件）（人）

568117101214912147108156134162

合计40合计40要求：比较一下哪个班组工人的平均日产量的代表性高？解题过程如下：

甲班

乙班日产量

工人数

日产量工人数56

8

11

7

10

12

14

9

12

147

108

15

6

134

16

2合计

40

合计

40307010880523408816898903247615049097280067630887042016137213505125954甲班：=8.5(件)乙班:=11.9(件)甲班:σ=2.22(件)乙班:σ=2.69(件)1、计算工人平均日产量：2、计算日产量的标准差：3、计算变异系数：甲班:乙班:∵乙班变异系数小于甲班∴乙班工人的平均日产量代表性高。第五章抽样估计教学目的与要求抽样估计是抽样调查的继续，它提供了一套利用抽样资料来估计总体数量特征的方法。通过本章的学习，要理解和掌握抽样估计的概念、特点，抽样误差的含义、计算方法，抽样估计的置信度，推断总体参数的方法，能结合实际资料进行抽样估计。本章主要内容抽样推断的一般问题抽样误差抽样估计的方法抽样组织设计一、抽样推断的概念和特点1、概念：抽样推断是按随机原则从全部研究对象中抽取部分单位进行观察，并根据样本的实际数据对总体的数量特征作出具有一定可靠程度的估计和判断。2、特点

它是由部分推断整体的一种认识方法。

抽样推断建立在随机取样的基础上。

抽样推断运用概率估计的方法。

抽样推断的误差可以事先计算并加以控制。第一节抽样推断的一般问题二、抽样推断的内容三、有关抽样的基本概念（一）总体和样本总体：也称全及总体。指所要认识的研究对象全体。总体单位总数用“N”表示。样本：又称子样。是从全及总体中随机抽取出来，作为代表这一总体的那部分单位组成的集合体。样本单位总数用“n”表示。参数估计假设检验（二）参数和统计量参数：指反映总体数量特征的综合指标。参数研究总体中的数量标志总体平均数总体方差X=∑XNX=∑XF∑FΣ（X-X）N2σ=2Σ（X-X）FΣF2σ=2研究总体中的品质标志总体成数成数方差σ2=P(1-P)P=

N1N统计量:根据样本数据计算的综合指标。研究数量标志样本平均数x=∑xnx=∑xf∑f样本标准差研究品质标质样本成数成数标准差np=n（三）样本容量和样本个数样本容量：一个样本包含的单位数。用“n”表示。一般要求n≥30样本个数：从一个全及总体中可能抽取的样本数目。（四）重复抽样和不重复抽样重复抽样：又称回置抽样。不重复抽样：又称不回置抽样。可能组成的样本数目：N（N-1）（N-2）……（N-n+1）可能组成的样本数目：nN第二节抽样误差一、抽样误差的含义由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的结构不足以代表总体各单位的结构，而引起抽样指标和全及指标之间的绝对离差。二、影响抽样误差大小的因素1、总体各单位标志值的差异程度2、样本的单位数3、抽样方法4、抽样调查的组织形式三、抽样平均误差1、概念：抽样平均误差是抽样平均数或抽样成数的标准差。反映了抽样平均数与总体平均数抽样成数与总体成数的平均误差程度。2、计算方法：抽样平均数的平均误差抽样成数平均误差（以上两个公式实际上就是第四章讲的标准差。但反映的是样本指标与总体指标的平均离差程度）抽样平均数平均误差的计算公式：采用重复抽样：此公式说明，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本容量成反比。（当总体标准差未知时，可用样本标准差代替）（教材P180例题可加以验证）通过例题可说明以下几点：①样本平均数的平均数等于总体平均数。②抽样平均数的标准差仅为总体标准差的③可通过调整样本单位数来控制抽样平均误差。例题：假定抽样单位数增加2倍、0.5

倍时，抽样平均误差怎样变化？解：抽样单位数增加2倍，即为原来的3倍则：抽样单位数增加0.5倍，即为原来的1.5倍则：即：当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍。即：当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍。采用不重复抽样：公式表明：抽样平均误差不仅与总体变异程度、样本容量有关，而且与总体单位数的多少有关。例题一：随机抽选某校学生100人，调查他们的体重。得到他们的平均体重为58公斤，标准差为10公斤。问抽样推断的平均误差是多少？例题二：某厂生产一种新型灯泡共2000只，随机抽出400只作耐用时间试验，测试结果平均使用寿命为4800小时，样本标准差为300小时，求抽样推断的平均误差？例题一解:即:当根据样本学生的平均体重估计全部学生的平均体重时,抽样平均误差为1公斤。例题二解:计算结果表明：根据部分产品推断全部产品的平均使用寿命时，采用不重复抽样比重复抽样的平均误差要小。已知：则：已知：则：抽样成数平均误差的计算公式采用重复抽样：采用不重复抽样：例题三：

某校随机抽选400名学生，发现戴眼镜的学生有80人。根据样本资料推断全部学生中戴眼镜的学生所占比重时，抽样误差为多大？例题四：一批食品罐头共60000桶，随机抽查300桶，发现有6桶不合格，求合格品率的抽样平均误差？例题三解：已知：则：样本成数即：根据样本资料推断全部学生中戴眼镜的学生所占的比重时，推断的平均误差为2%。例题四解：已知：则：样本合格率计算结果表明：不重复抽样的平均误差小于重复抽样，但是“N”的数值越大，则两种方法计算的抽样平均误差就越接近。四、抽样极限误差含义：抽样极限误差指在进行抽样估计时，根据研究对象的变异程度和分析任务的要求所确定的样本指标与总体指标之间可允许的最大误差范围。计算方法：它等于样本指标可允许变动的上限或下限与总体指标之差的绝对值。=Δp│p-P│p－Δ≤P≤p＋Δpp抽样平均数极限误差：抽样成数极限误差：≤≤五、抽样误差的概率度含义：抽样误差的概率度是测量抽样估计可靠程度的一个参数。用符号“t”表示。公式表示：

t=

Δμ

Δ=tμ（t是极限误差与