系统的瞬态响应与误差分析

第四章系统的瞬态响应与误差分析一、典型输入信号二、一阶系统的时间响应三、二阶系统的时间响应※四、高阶系统的时间响应五、误差分析和计算六、稳定性分析

本章主要内容重点：二阶系统的时域响应及其性能指标。难点：二阶系统时域响应的数学表达式。教学目的：1.掌握一阶、二阶系统在典型输入信号作用下的时域响应和时域性能指标。2.了解高阶系统时域响应的特点。3.掌握系统误差的概念和计算稳态误差的方法。4.掌握系统稳定的概念和分析、判别系统稳定的方法。时间响应

任一系统的时间响应都是由瞬态响应或稳态响应两部分组成。

瞬态响应：系统受到外加作用力激励后，从初始状态到最终状态的响应过程。

稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。

瞬态响应反映了系统动态性能，而稳态响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统的精确程度。§4.1

典型输入信号

在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。

时域分析的目的

在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点：直观、简便

一、典型输入信号二、对典型输入信号的要求能够反映系统工作在最不利的情形；形式简单，便于解析分析；实际中可以实现或近似实现。

常用的典型输入信号的数学表达Asint

正弦信号

1(t)，t=0单位脉冲信号

单位加速度信号

t，

t0单位速度(斜坡)信号

1(t)，t0单位阶跃信号

复数域表达式

时域表达式

名

称

保证典型输入信号与实际输入信号有着良好的对应关系，且代表最恶劣的输入情况，因此，当系统的设计基于典型信号来进行时，那么在实际输入的情况下，系统响应特性一般是能够满足要求的。

注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。三、典型输入信号的选择原则脉冲信号：模拟系统突遭脉动电压、机械碰撞、敲打冲击等；阶跃信号：实际系统的输入具有突变性质，例：模拟电源突然接通、负荷突然变化、指令突然转换等；速度信号：实际系统的输入随时间逐渐变化（匀速变化）。§4.2

一阶系统的时间响应一阶系统：一、一阶系统的单位阶跃响应极点（特征根）：-1/T凡是能够用一阶微分方程描述的系统。典型形式：1斜率=1/T0xo(t)t1T0.632A63.2%B2T86.5%3T95%4T98.2%5T99.3%99.8%6T一阶系统单位阶跃响应的特点

响应分为两部分

表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）

表示t时，系统的输出状态。

xo(0)=0，xo()=1无稳态误差；随时间的推移，xo(t)

指数增大，且无振荡。

xo(T)=1-e-1=0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；

时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。tln[1-xo(t)]0将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。

该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。二、一阶系统的单位速度响应一阶系统单位速度响应的特点

经过足够长的时间(稳态时，如：t4T)，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：t–T，即输出相对于输入滞后时间T；

系统响应误差为：三、一阶系统的单位脉冲响应0一阶系统单位脉冲响应的特点

瞬态响应：(1/T)e–t/T；稳态响应：0；

xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽

度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉

冲代替理想脉冲信号。

一阶系统的时间响应1.单位阶跃响应2.单位速度响应3.单位脉冲响应时间响应：系统在典型输入信号的作用下之输出。四、线性定常系统时间响应的性质

系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。

注意到：即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。这种输入－输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。§4.3

二阶系统的时间响应二阶系统：其中：T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。

称为阻尼比；n＝1/T

为系统的无阻尼固有频率。一、二阶系统的特征方程：极点（特征根）：（凡是能够用二阶微分方程描述的系统）1.欠阻尼二阶系统（振荡环节）：

0<<1具有一对共轭复数极点：2.临界阻尼二阶系统：

＝1具有两个相等的负实数极点：3.过阻尼二阶系统：

>1具有两个不相等的负实数极点：4.零阻尼二阶系统：＝0具有一对共轭虚极点：5.负阻尼二阶系统：<0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。1.欠阻尼（0<<1）状态

输入信号：单位阶跃1(t),其拉氏变换为：由传递函数的定义可得到二阶系统的输出为：二、二阶系统的单位阶跃响应

式中，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线=0.2=0.4=0.6=0.85101500.20.40.60.811.21.41.61.82xo(t)t欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点

xo()=1，无稳态误差；

瞬态分量为振幅等于的正弦振荡。

振荡幅值随

减小而加大。其振幅衰减的快慢由和n决定。阻尼振荡频率为：10txo(t)

特点●单调上升，无振荡、无超调；

●

xo()=1，无稳态误差。2.临界阻尼（

=1）状态具有两个相等的负实数极点：3.过阻尼（>1）状态3.过阻尼（>1）状态

特点单调上升，无振荡，过渡过程时间长。

xo()=1，无稳态误差。该分量影响大当大于

1.25时，可忽略。4.无阻尼（=0）状态210txo(t)特点频率为n的等幅振荡。几点结论1.二阶系统的阻尼比

决定了其振荡特性：▲

<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；▲

1时，无振荡、无超调，过渡过程长；▲

0<<1时，有振荡，

愈小，振荡愈严重，但响应愈快。▲

=0时，出现等幅振荡。

工程应用中，除了有些场合不允许产生振荡（如指示和记录仪表系统等）外，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择0.4～0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。

一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。三、二阶系统的单位脉冲响应

>1：

=1：

0<<1：

=0：四、二阶系统的单位速度响应

>1：

=1：

0<<1：

=0：高阶系统的时间响应

高阶系统的单位阶跃响应

考虑系统：参考内容假设系统极点互不相同。其中，a,aj为Xo(s)在极点s=0和s=-pj处的留数；

bk、ck是与Xo(s)在极点处的留数有关的常数。通过拉氏反变换，其输出为：

高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。§3.4

二阶系统的性能指标

一、控制系统的时域性能指标

控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。

系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：〇上升时间tr〇峰值时间tp〇调整时间ts〇最大超调量Mp〇振荡次数N

1.上升时间tr

响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。二、欠阻尼二阶系统的时域性能指标的计算

根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：显然，一定时，n越大，tr越小；

n一定时，

越大，tr

越大。tx0(t)tr12.

峰值时间tp响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。

2.峰值时间tp可见，峰值时间等于有阻尼振荡周期的一半。一定，n越大，tp越小；n一定，越大，tp

越大。3.最大超调量

Mp定义：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。3.

最大超调量Mp显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。越大，Mp

越小，系统的平稳性越好，当

=0.4~0.8时，可以求得相应的Mp

=25.4%~1.5%。通常用百分数表示:00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100二阶系统Mp—

图4.调整时间ts对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量1的指数曲线：响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。单位阶跃响应：

当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。当0<<0.7时，可得：由上式求得的ts包通常偏保守。因此利用：t5.振荡次数

N

N仅与有关。与Mp

一样直接说明了系统的阻尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。x0(t)ts±⊿%响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。

二阶系统的动态性能由n和决定。结论

通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。

一定，n越大，系统响应快速性越好，

tr、tp、ts越小。

增加可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp、ts增加；

tr、tp、ts反映系统响应快速性Mp

、N

反映系统响应平稳性一、控制系统的误差考虑图示反馈控制系统H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E

(s)G(s)

误差信号E(s)E(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)误差信号E(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差，即：§4.5

误差分析和计算二、稳态误差及其计算稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t）下的差值，即误差信号e(t)

的稳态分量：

当sE(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：

显然，系统稳态误差决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的性质及系统的结构和参数。G(s)H(s)—G(s)H(s)—107年考题例1某系统方框图如图所示，当系统输入的控制信号为：

求系统的稳态误差。

三、稳态误差系数1.稳态误差系数的概念（1）稳态位置误差系数单位阶跃输入时系统的稳态系数称为稳态位置误差系数。令：对于单位反馈系统，（2）稳态速度误差系数单位速度输入时系统的稳态误差称为稳态速度误差系数。其中，对于单位反馈系统，易知：（3）稳态加速度误差系数单位加速度输入时系统的稳态误差称为稳态加速度误差系数。其中，结论：当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。

对于单位反馈系统，易知：2.系统类型将系统的开环传递函数写成如下形式：

根据系统开环传递函数中积分环节的多少来定义系统的类型，当r=0,1,2,…时，系统分别称为0型、I型、Ⅱ型、……系统。0型系统：I型系统：Ⅱ型系统：3.

不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差(1)0型系统单位负反馈0型系统只能跟踪阶跃信号，且有稳态误差。(2)I型系统单位负反馈

I型系统准确地能跟踪阶跃信号，也能跟踪速度信号，但有稳态误差。不能跟踪加速度信号。(3)Ⅱ型系统单位负反馈

Ⅱ型系统准确地能跟踪阶跃信号、速度信号，也能跟踪加速度信号，但有稳态误差。表1、系统的稳态误差系数及稳态误差00K2II型00K1I型00K00型单位加速度输入单位速度输入单位阶跃输入KaKvKp稳态误差稳态误差系数系统类型注意k0、k1、k2为系统的开环增益。几点结论不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。

系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。在阶跃输入作用下，0型系统的稳态误差为定值，常称为有差系统；I型系统的稳态误差为0，常称为一阶无差系统；在速度输入作用下，II型系统的稳态误差为0，常称为二阶无差系统。习惯上，称输出量为“位置”，输出量的变化率为“速度”。在此位置和速度是广义的概念。尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。如：总的稳态偏差：(a)(b)

解：如果系统的输入是阶跃函数、速度函数、加速度函数三种输入的组合，即：

可根据线性叠加原理，系统的稳态误差为：(1)系统(a)的开环传递函数的时间常数表达式为：(2)系统(b)的开环传递函数的时间常数表达式为：表1、系统的稳态误差系数及稳态误差00K2II型00K1I型00K00型单位加速度输入单位速度输入单位阶跃输入KaKvKp稳态误差稳态误差系数系统类型注意k0、k1、k2为系统的开环增益。四、

扰动引起的稳态误差和系统总误差扰动输入作用下的偏差传递函数1.控制输入作用下，系统的误差：2.扰动输入作用下，系统的误差：3.系统的总误差：时间响应系统输出随时间变化的特性。时间响应由稳态分量和瞬态分量组成。1.一阶系统的时间响应单位