机械工程测试信息信号分析(第三版)3ppt

MEASUREMENTINFORMATIONSIGNALANALYSISINMECHANICALENGINEERING机械工程测试•信息•信号分析

机械科学与工程学院机械电子信息工程系李锡文xiwenli@轩建平jpxuan@2023/1/311课件资料下载：邮箱地址：jxgccs@163.com

“机械工程测试”每个字拼音的第一个字母

密码：111111注意下载时不要删除原始文件2023/1/312上次课内容回顾时域分析主要内容一、信号波形图二、时域分解三、时域统计分析四、直方图分析五、时域相关分析信源被测对象应用被控对象传感器一次仪表传输调理二次仪表信号分析信号分析信号信号信号数字信号2023/1/3132.2频域分析按能否用明确的数学关系式描述分类时域分析信号确定性信号非确定性信号周期信号非周期信号简单周期信号复杂周期信号准周期信号瞬态信号平稳随机信号非平稳随机信号各态历经信号非各态历经信号一般非平稳信号瞬态随机信号①FS??②FT??③功率谱非高斯信号高阶谱分析④专题时频分析小波分析独立变量Hilbert-Huang变换2023/1/314典型实际信号12023/1/315典型实际信号22023/1/316典型实际信号32023/1/317典型实际信号42023/1/318

信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里叶变换X(t)=

sin(2πnft)0t0f2.2信号的频域分析2023/1/319信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。时间幅值频率时域分析频域分析时域分析与频域分析的关系2023/1/3110时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。

图例：受噪声干扰的多频率成分信号

时域分析与频域分析的关系2023/1/3111大型空气压缩机传动装置故障诊断传感器例：大型空压机传动装置故障诊断2023/1/3112信号的频域分析信号确定性信号非确定性信号周期信号非周期信号简单周期信号复杂周期信号准周期信号瞬态信号平稳随机信号非平稳随机信号各态历经信号非各态历经信号一般非平稳信号瞬态随机信号时域分析①FS连续离散②FT连续离散③功率谱非高斯信号高阶谱分析④专题时频分析小波分析独立变量Hilbert-Huang变换2023/1/3113信号的频域分析周期信号非周期信号时间连续离散连续时间周期信号离散时间周期信号时间连续离散连续时间非周期信号离散时间非周期信号时域分析频域分析2023/1/3114周期信号表达式：存在一个周期T0，周期，频率，角频率，基本周期，基波，谐波2023/1/3115周期信号判别多个周期信号相加后信号周期判断两个周期信号相加(T1,T2)T1,T2之间是否有公倍数，即存在一个最小数T0，能同时被T1,T2所整除n1T1=n2T2，n1/n2=T2/T1=有理数n1、n2均为整数例：判断x3(t)=x1(t)+x2(t)的周期2023/1/3116狄义赫利条件(1)在一个周期内，间断点的个数有限(2)极大值和极小值的数目有限(3)信号绝对可积满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正交函数(集)线性组合”的无穷级数。周期信号-时域分析2023/1/3117三角函数集（正弦型函数）复指数函数集正交函数集周期信号时域分析：傅里叶级数展开如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是“傅里叶级数”。相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数”和“指数形式的傅里叶级数”。傅里叶级数的两种不同表示形式。傅里叶级数工程上物理上的应用相当广泛。任一周期函数可以利用傅里叶级数分解成许多不同振幅大小，不同频率高低的正弦波与余弦波。而非周期信号函数则可以利用傅里叶积分来分析。2023/1/3118展开成三角函数的无穷级数形式设周期函数x(t)的周期为T周期信号–三角形式的FSa0是常数，表示直流分量；n为正整数，用一类时间函数的集合来描述周期，称为周期信号的时域分析系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称为傅里叶系数(FS)。系数an和bn的计算可由三角函数的正交特性求得2023/1/3119三角函数的正交特性2023/1/3120设周期为T函数x(t)，展开成三角函数的无穷级数形式周期信号–三角形式的FS信号的基波、基频相位谱幅值谱功率谱2023/1/3121方波信号的三角形式FS表示式求下图所示的方波信号的三角形式FS表示式2023/1/3122方波信号的三角形式FS表示式2023/1/3123系数计算方法，nω0是离散变量，离散频率设周期为T的函数x(t)，展开成复指数函数的无穷级数形式：周期信号–复指数形式的FS2023/1/3124周期矩形脉冲信号的FS表示式求周期矩形脉冲信号复指数形式的FS表示式2023/1/3125周期矩形脉冲信号的FS表示式设脉冲信号E=10伏，T0=1秒，0=0.2秒三角形式表示式2023/1/3126周期锯齿波信号的FS表示式求周期锯齿波信号的三角形式的FS表示式分别求出a0,an,bn的值2023/1/3127周期锯齿波信号的FS表示式求周期锯齿波信号的三角形式的FS表示式把a0,an,bn的值代入公式得2023/1/3128周期锯齿波信号的FS表示式求周期锯齿波信号的三角形式的FS表示式设E=时2023/1/3129周期信号的频域分析时域分析表明，一个周期信号可用正弦型信号或复指数信号进行精确描述，不同形状的周期信号其区别仅仅在于基频或基本周期不同，组成成分中的各谐波分量的幅度和相位不同任意波形的周期信号完全可用反映信号频率特性的复系数X(n0)来描述反映周期信号全貌特征的三个参数，基频，各谐波分量的幅度和相位相位谱幅值谱功率谱2023/1/3130周期矩形脉冲信号的频谱2023/1/3131周期锯齿波信号的频谱2023/1/3132周期锯齿波信号的频谱2023/1/3133复指数信号的频谱按定义频谱图如下2023/1/3134正弦型信号的频谱频谱图如下余弦信号频谱图正弦信号频谱图2023/1/3135复杂周期信号频谱求信号频谱时域波形频谱图2023/1/3136实例：周期信号FS2023/1/3137周期信号傅里叶频谱特点周期信号的傅里叶频谱特点：谐波性：仅在一些离散频率点，基频及其谐波(nf1)上有值，各次谐波频率比为有理数。具有非周期性的离散频谱。离散性：各次谐波在频率轴上取离散值，离散间隔为：收敛性：各次谐波分量随频率增加而衰减。Cn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度。信号的功率为帕斯瓦尔方程2023/1/3138连续周期信号FS0t------0时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的正：反：2023/1/3139FS的基本性质1、线性性质，合成信号有共同的周期，符合线性叠加性质2023/1/3140求梯形信号的频谱1、首先梯形信号时域分解2023/1/3141求梯形信号的频谱2、三角形周期信号的频谱函数3、三角形周期信号的频谱函数4、根据线性性质求梯形信号频谱函数2023/1/3142FS的基本性质2、时移性质若则可证明：周期信号在时域右移t0，幅度频谱保持与移位前一样，相位频谱变化-n0t0同理，周期信号在时域左移t0，幅度频谱保持与移位前一样，相位频谱变化+n0t02023/1/3143矩形脉冲信号右移的离散频谱求矩形脉冲信号右移/2的离散频谱移位前的离散频谱右移/2的频谱函数幅度频谱2023/1/3144矩形脉冲信号右移的离散频谱求矩形脉冲信号右移/2的离散频谱相位频谱幅度频谱相位频谱2023/1/3145FS的基本性质3、对称性质包括频谱的对称性以及波形的对称性对频谱的影响(1)信号为实函数已知当周期信号为实函数，起相应的幅度频谱对n0是偶对称，相位频谱对n0是奇对称，只需计算单边频谱2023/1/3146FS的基本性质(2)信号为实偶函数(偶对称)，信号绕纵轴翻转后与原波形一样当周期信号为实偶函数，其FS展开式只含有直流分量与余弦项，不存在正弦项2023/1/3147FS的基本性质(3)信号为实奇函数(奇对称)，信号绕纵轴翻转后再绕横轴翻转与原始波形一样当周期信号为实奇函数，其FS展开式只含有正弦项，不存在直流分量与余弦项。2023/1/3148FS的基本性质(4)半周期对称1)半周期偶对称(半周期重叠)，将信号沿时间轴前后平移半周期等于原信号其FS展开式除直流分量外，只含有偶次谐波，而且是余弦分量。2)半周期奇对称(半周期镜像)，将信号沿时间轴前后平移半周期等于原信号的镜像其FS展开式只含有奇次谐波。2023/1/3149FS的基本性质3)双重对称若信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的偶函数或奇函数，则FS展开式前者只有余弦奇次谐波，后者只有正弦奇次谐波2023/1/3150FS的基本性质2023/1/3151FS的基本性质2023/1/3152第一次作业已知信号x1(t)(图(a))的频谱为X1(n0)，试写出图(b)、(c)、(d)中信号的频谱2023/1/3153第一次作业答案2023/1/3154周期信号的频域分析时域分析表明，一个周期信号可用正弦型信号或复指数信号进行精确描述，不同形状的周期信号其区别仅仅在于基频或基本周期不同，组成成分中的各谐波分量的幅度和相位不同任意波形的周期信号完全可用反映信号频率特性的复系数X(n0)来描述反映周期信号全貌特征的三个参数，基频，各谐波分量的幅度和相位相位谱幅值谱功率谱2023/1/3155周期信号的频谱谱线的间隔为周期信号的频谱谱线的长度为非周期信号-FT周期T0增加对离散频谱的影响2023/1/3156非周期信号的时域表示利用冲激信号表示非周期信号非周期信号表示为冲激信号的叠加当→0，则k→，

→d，求和变成积分上式表明，任何一个非周期信号可由一系列不同强度x()d，作用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表示。2023/1/3157非周期信号的时域分析利用阶跃信号表示非周期信号非周期信号表示为阶跃信号的叠加当→0，则k→，

→d，求和变成积分上式表明，任何一个非周期信号可由一系列不同幅度x’()d=dx()，作用于不同时刻的阶跃信号的线性组合来表示。2023/1/3158非周期信号可以看成是周期T

趋于无限大的周期信号非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长度趋于零。解决方法FT变换非周期信号-FT上式为连续时间信号的傅里叶变换(CTFT)。C()频谱密度函数2023/1/3159频谱离散函数与频谱密度函数频谱离散函数与频谱密度函数的关系周期信号的FS展开式为当T→∞，则n0→，

→d，求和变成积分：2023/1/3160非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换CTFT：ICTFT：变换核时域频域频域时域ICTFT：一个非周期信号是由频率为无限密集，幅度X()(d/2)等于无限小，无限多的复指数信号ejt的线性组合而成。CTFT：周期信号是离散频谱，表示的是每个谐波分量的复振幅。非周期信号的频谱是连续的频谱，表示的是每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅。X()是概率密度函数，是个复量。相位谱幅值谱2023/1/3161非周期信号的傅里叶变换是一对线性变换，它们之间存在一对一的关系唯一性：如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。可逆性：如果 ，则必有，反之亦然。FT存在的条件：满足下列狄里赫利条件1、充分条件：时域信号绝对可积，2、在任意有限区间内，信号x(t)只有有限个最大值和最小值3、在任意有限区间内，信号x(t)仅有有限个不连续点，而且在这些点都必须是有限值非周期信号FT2023/1/3162例：典型非周期信号FT-矩形脉冲

-t/20t/2

tf

(t)=)(tEGtE(a)X(w)Et=矩形脉冲面积

0tp2

tp4

tp6

w(b)(w)w0(c)相位谱(实函数)2023/1/3163矩形脉冲信号FT的特点：FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积FT的过零点位置为频域的能量集中在第一个过零点区间带宽只与脉宽有关，与脉高E无关。带宽为信号等效脉宽信号等效带宽例：典型非周期信号FT-矩形脉冲

-t/20t/2

tf

(t)=)(tEGtE(a)X(w)Et

0tp2

tp4

tp6

w(b)脉宽越窄，信号变化越大，信号传输速度快、信息量大，讯道所占用的频带也越宽2023/1/3164例：典型非周期信号FT-矩形脉冲如果将周期矩形信号的离散频谱按T0X(n0)作图，则当T0→∞，T0X(n0)的图形与周期性离散频谱的包络线完全一致，就为X()若将有限长非周期信号看作周期信号的一个周期进行延拓，则周期信号的离散频谱T0X(n0)可以通过非周期信号的频谱密度X()，每隔0进行取样而得。即T0X(n0)

=X()=n0，T0越大，0越小，取样间隔也越小，谱线越密集2023/1/3165单边指数信号：例：典型非周期信号FT-单边指数2023/1/3166双边实指数衰减信号：(实偶函数)例：典型非周期信号FT-双边实指数2023/1/3167直流信号：功率信号的FT-直流信号功率信号，不满足可积条件，可借助广义函数理论，利用广义FT，通过求极限的方法求信号的频谱密度函数上式说明在=0处存在()，其冲激强度为：单位直流信号及其频谱2023/1/3168符号函数：双边直流信号，不满足绝对可积条件，但存在FT。功率信号的FT-符号函数功率信号，不满足可积条件，可借助广义函数理论，利用广义FT，通过求极限的方法求信号的频谱密度函数2023/1/3169冲激信号：强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱，白色频谱。密度就是冲激的强度。频谱在任何频率处的密度都是均匀的单位冲激信号与直流信号的频谱例：功率信号的FT-冲激信号2023/1/3170阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT。原点处的冲激来自u(t)中的直流分量例：功率信号的FT-阶跃信号2023/1/3171一般周期信号x(t)的FT，其基频为0则周期信号的FT-推导1周期信号可分解为幅度为X(n0)的无限复指数信号的线性组合，它的频谱密度等于强度为2X(n0)

，周期为0的一系列冲激串(-n0)的线性组合.已知故2023/1/3172周期信号的FT-推导1周期信号的傅里叶级数的系数Cn等于该周期信号单个脉冲的傅里叶变换X()在n0频率点的值X(n0)乘以1/T0。可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里叶级数的系数。最后:2023/1/3173一般周期信号的FT设周期为T1的周期信号在第一个周期内的函数为f0(t)则于是FT[f0(t)]利用脉冲函数的筛选特性周期信号的FT-推导2利用冲激函数的卷积特性周期信号可分解为幅度为F0(n1)的无限复指数信号的线性组合，它的频谱密度等于强度为1F0(n1)

，周期为1的一系列冲激串(

-n1)的线性组合.2023/1/3174周期信号的FT-推导2周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于该周期信号单个脉冲的傅里叶变换F0()在n1频率点的值F0(n1)乘以1/T1。可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里叶级数的系数。最后:2023/1/3175单位冲激信号积分特性2）单位冲激信号积分特性（筛选）3）卷积特性2023/1/3176例：周期单位冲激序列求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。解：画波形,冲激信号的频谱为:单位冲激函数的间隔为T1，用符号T(t)表示周期单位冲激序列：FT2023/1/3177例：周期单位冲激序列可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于=0，1，21，n1，的频率分量，且分量大小相等，均等于1/T1。T(t)是周期函数，周期为T1

，求其傅里叶级数：FS2023/1/3178周期单位冲激序列FT求T(t)的傅里叶变换可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于=0,1,21,n1,频率处的冲激函数，其强度大小相等，均等于1。FT2023/1/3179信号理想抽样前后频谱的变化原始信号及其频谱冲激序列及其频谱抽样信号及其频谱抽样间隔发生变化时域离散频域周期抽样信号的FT2023/1/3180按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期2/Ts所进行的周期延拓。结论1：时域时域离散频域周期结论2：抽样信号的FT2023/1/3181周期矩形脉冲信号的FT解：先求矩形单脉冲信号f0(t)的傅里叶变换F0()……2023/1/3182再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数Fn……求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数：周期矩形脉冲信号的FS2023/1/3183最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换F()。看出：周期信号频谱是离散的；非周期信号的频谱是连续。周期矩形脉冲信号的FT……2023/1/3184关系图周期矩形脉冲信号的FT频谱谱线的间隔为在频域，能量集中在第一个过零点之内。带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关谱线包络线过零点确定方法:定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽2023/1/3185复指数信号的FT：已知周期信号的FT-复指数信号当2023/1/3186正弦信号的FT余弦信号的FT正弦和余弦信号FT的频谱图周期信号的FT-正余弦信号2023/1/3187FT的性质（1）线性性：齐次性和叠加性（2）尺度变换特性：时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩（3）时移特性：与尺度变换结合（4）频移特性：与尺度变换结合。时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。（5）对称性(对偶性)：FT与IFT的变换核函数是共轭对称。（6）微分特性；（7）积分特性；（8）反褶和共扼性：（9）卷积定理，时域相关性定理，帕斯瓦尔定理。2023/1/3188线性性齐次性叠加性FT的性质-线性性2023/1/3189FT的性质-线性性-例求下图所示信号的频谱密度线性性2023/1/3190时间尺度变换特性：时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩FT的性质-尺度变换特性在时域若将信号压缩a倍，则在频域其频谱扩展a倍，同时幅度相应地也减为a倍；反之亦然2023/1/3191FT的性质-尺度变换特性-例求下图所示信号的频谱密度2023/1/3192时移特性不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位与尺度变换结合FT的性质-时移特性求下图所示信号的频谱密度2023/1/3193FT的性质-时移特性-例已知2023/1/3194FT的性质-尺度变换特性-例信号的频谱2023/1/3195频移特性与尺度变换结合频谱搬移时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。信号调制FT的性质-频移特性FT频移特性2023/1/3196FT的性质-频移特性-例已知其中R(t)表示一个矩形窗函数，是一个宽度为的矩形脉冲频移特性无限长的正弦信号截断，在0附近出现功率泄露2023/1/3197对称性（对偶性）FT与IFT的变换核函数是共轭对称的FT的性质-对称性（对偶性）若则有变量置换2023/1/3198FT的性质-对偶性-例变量置换2023/1/3199FT的性质-对偶性-例变量置换FTFT2023/1/31100FT的性质-对偶性-结论FT时域与频域的对偶关系2023/1/31101FT的性质-微分性质FT的微分性质，说明在时域对信号进行微分，相应地在频域增强了高频成分若则有2023/1/31102FT的性质-微分性质-例例：三角形脉冲信号的时域波形如下图所示，求其频谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的时间函数表示式解：①从左图(a)中求出x(t)的波形，而后利用微分性质求三角形信号的频谱，x(t)是两个矩形脉冲的叠加，得微分性质2023/1/31103FT的性质-微分性质-例例：三角形脉冲信号的时域波形如下图所示，求其频谱；已知信号的频谱密度函数为三角形，求其相应的时间函数表示式2023/1/31104FT的性质-积分性质若则有FT的积分性质，说明在时域对信号进行积分，相应地在频谱的低频成分增加，高频成分减少，对信号起着平滑作用域增强了高频成分例：已知矩形脉冲信号x1(t)的积分波形如下右图，求该积分信号x2(t)的频谱密度已知2023/1/31105反褶和共扼性FT的性质-反褶和共扼性2023/1/31106FT的性质-卷积定理-补充知识补充：时域相关与卷积相关方面的知识1、时差域相关分析概念2、相关系数及其性质4、相关分析的工程应用5、卷积定义6、卷积的性质7、卷积与相关8、卷积定理2023/1/31107(1)变量相关的概念时差域相关分析

相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数来描述变量x，y之间的相关性。是两随机变量之积的数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。xyxyxyxy例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是近似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，可以用其中一个可以测量的量的变化来表示另一个量的变化。

协方差或相关矩均方差2023/1/31108

如果所研究的变量x,y是与时间有关的函数，即x(t)与y(t)，这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为函数的相关系数，并有：假定x(t)、y(t)是不含直流分量(信号均值为零)的能量信号。分母常量，分子是时移τ的函数，反映了二个信号在时移中的相关性，称为相关函数。无纲量有纲量：能量信号－>能量功率信号－>功率相关函数2023/1/31109波形的相关程度分析时域波形相关程度分析-例2023/1/31110算法：令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。

x(t)y(t)时延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)积分

器

Rxy(τ)*图例自相关函数：x(t)=y(t)相关计算2023/1/31111自相关计算-例2023/1/31112互相关计算-例2023/1/31113互相关计算-例2023/1/31114相关函数的性质

相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。（1）自相关函数是的偶函数，RX()=Rx(-)；（2）当=0时，自相关函数具有最大值。（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。（4）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原了信号的相位信息。（5）两个非同频率的周期信号互不相关。（6）随机信号的自相关函数将随的增大快速衰减。2023/1/31115典型信号相关分析实验2023/1/311162023/1/31117案例：机械加工表面粗糙度自相关分析

被测工件相关分析性质3,性质4:提取出回转误差等周期性的故障源。相关分析工程应用-粗糙度分析2023/1/31118相关分析工程应用-粗糙度分析性质3,4:提取出回转误差等周期性的故障源。原因不明粗糙度分析2023/1/31119相关分析工程应用-轴心轨迹测量相关信号T/4（4）随机噪声信号的自相关函数将随的增大快速衰减。（5）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留了原信号的相位信息。2023/1/31120理想信号干扰信号实测信号自相关系数性质3，性质4：提取周期性转速成分。案例：自相关测转速2023/1/31121每周采样43个点。每循环采样86个点。显示2个循环的数据。循环周期发火周期案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断2023/1/31122每周采样43个点。每循环采样86个点。显示2个循环的数据。自相关函数案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断2023/1/31123作一个循环内转速信号的的自相关函数，其周期为发火周期。240degCA时的相关系数可用作诊断特征。发火周期自相关分析的主要应用：用来检测混肴在干扰信号中的确定性周期信号成分。案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断2023/1/31124案例：地下输油管道漏损位置的探测X1X2互相关分析的主要应用：滞后时间确定信号源定位测速测距离2023/1/31125案例：地震位置测量2023/1/311261m1m声源传感器１传感器２声波传播速度测量

3ms1/0.003=333m/s案例：地震位置测量2023/1/31127声源位置测量6m？传感器１传感器２声源案例：地震位置测量2023/1/31128相关函数总结：1、数学公式：2、特性：（1）自相关函数是的偶函数，RX()=Rx(-)；（2）当=0时，自相关函数具有最大值。（3）周期信号的自相关函数仍然是同频周期信号，但不保留相位信息。（5）两周期信号互相关仍然是同频率周期信号，且保留相位信息。（6）两个非同频率的周期信号互不相关。（4）随机噪声信号的自相关函数将随的增大快速衰减。3、工程应用相关函数总结2023/1/311291、如何在噪声背景下提取信号中的周期信息，简述其原理？2、简述相关测速、相关测距的原理？3、求周期为T，幅值为A的方波的自相关函数？tAT相关分析思考题4、已知两个同频正弦信号，求其互相关函数，并画出图形2023/1/31130作业已知两个同频正弦信号，求其互相关函数，并画出图形两个同频正弦信号的互相关函数2023/1/31131动手做：用计算机上的双声道声卡进行相关分析实验。动手做实验2023/1/31132FT的性质-卷积定理-补充知识补充：时域相关与卷积相关方面的知识1、时差域相关分析概念2、相关系数及其性质4、相关分析的工程应用5、卷积定义6、卷积的性质7、卷积与相关8、卷积定理2023/1/311335、卷积积分信号的时域分解与卷积积分5.1、信号的时域分解(1)预备知识问

f1(t)=?

p(t)直观看出2023/1/311345、卷积积分(2)任意信号分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，用p(t)表示为：f(0)△p(t)“1”号脉冲高度f(△),宽度为△，用p(t-△)表示为：

f(△)△p(t-△)“-1”号脉冲高度f(-△)、宽度为△，用p(t+△)表示为：f(-△)△p(t+△)2023/1/311355、卷积积分5.2、任意信号作用下的零状态响应yf(t)f(t)根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)由时不变性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：‖f(t)‖yf(t)卷积积分2023/1/311365、卷积运算-定义与物理意义5.3、卷积定义：物理意义：描述线性时不变系统的输入与输出关系，即系统的输出y(t)是任意输入x(t)与系统脉冲响应函数h(t)的卷积。运算过程：x(t)为多个宽度为Δt的窄条面积之和；线性系统齐次性与时不变性；叠加：2023/1/311375、卷积运算几何作图法5.4、卷积运算的几何作图法任意给定某个t0，卷积运算图解步骤为：第一步换元—先把两个信号的自变量变为，即两个信号变为x()与h()。第二步反折—将h()以纵轴为中心轴翻转180,

h(-)；第三步平移—给定一个t0值，将h(-)波形沿轴平移|t0|。在t0<0时，波形往左移；在t0>0时，波形往右移。这样就得到了h(t0-)的波形；第四步相乘—将x()和h(t0-)相乘，得到卷积积分式中的被积函数x()h(t0-)

；2023/1/311385、卷积运算几何作图法第五步叠加(积分)—计算乘积信号x()h(t0-)波形与轴之间包含的净面积，便是式卷积在t0时刻的值y(t0)。第六步重复令变量t0在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号x()*h()。换积分变量——>

反折——>平移——>相乘——>叠加（积分）2023/1/311395、卷积运算几何作图法-例换元、反折积分平移相乘平移相乘2023/1/311405、举例：图解法求卷积图解法一般比较繁琐，确定积分的上下限是关键。举例（１）变量替换后，将其中一信号反折（２）平移（左移到与另一信号没有重合后,再右移)*解:t-22023/1/311415、举例：图解法求卷积（３）相乘2023/1/311425、举例：图解法求卷积（３）相乘2023/1/311435、举例：图解法求卷积（4）相加：以上各图中的阴影面积，即为相乘积分的结果若以t为横坐标，将与t对应积分值描成曲线，就是卷积积分e(t)*h(t)函数图像。2023/1/311445、举例：求某一时刻卷积值图解法一般比较繁琐，确定积分的上下限是关键。但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）换元（2）f1()得f1(–)（3）f1(–)右移2得f1(2–)（4）f1(2–)乘f2()（5）积分，得f(2)=0（面积为0）2023/1/3114505、举例：图解法计算卷积例

f(t),h(t)

如图所示，求yzs(t)=h(t)*f(t)

。解：采用图形卷积。

f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0时,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yzs(t)=0②0≤t≤1

时,f(t-τ)向右移③1≤t≤2时，f(t-τ)向右移⑤3≤t

时f(t-τ)h(τ)=0，故

yzs(t)=0④2≤t≤3

时h(t)函数形式复杂换元为h(τ)。f(t)换元

f(τ)2023/1/31146例：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yzs(t)。解：

yzs(t)=f(t)*h(t)当t<τ，即τ>t时，ε(t-τ)=05、举例：定义计算卷积2023/1/311475、卷积的几何作图法解释求x(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数x()h(t)在由0到t的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积函数x()h(t)的曲线在该区间内与轴之间所限定的面积。在上述一个信号的反褶信号的滑动过程中，它与另外一个信号的重合面积随t的变化曲线就是所求的两个信号的卷积的波形。可以根据上面的几何解释来估计或求出两个信号卷积运算结果。2023/1/311485、附：卷积表12023/1/311495、附：卷积表22023/1/311506.1

卷积代数性质

作为一种数学运算，卷积运算遵守代数（乘法）运算的某些规律（1）互换律设有f1(t)、

f2(t)两函数，则

表明卷积结果与两函数的次序无关（2）分配律：设有f1(t)、f2(t)

、f3(t)三函数，则

实际上这个结果也是线性系统叠加特性的体现（3）结合律：设有f1(t)、f2(t)

、f3(t)三函数，则

卷积的计算类似于函数的乘法计算。它的很多性质与乘法运算性质相同，但是也有一些不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。6、卷积的性质2023/1/31151

卷积代数运算与乘法运算的规律相同，但卷积的微分或积分却与函数相乘的微分或积分性质不同。(1)函数相卷积后的微分

两个函数卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数的卷积。其表示式为：

(2)函数相卷积后的积分

两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的卷积。其表示式为：6.2、卷积的微分和积分性质(3)在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)2023/1/311526.2、举例：卷积的微积分例1：

f1(t)=1，f2(t)=e–t(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常复杂函数放前面，代入定义式得注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0

显然是错误的。例2：f1(t)

如图，f2(t)=e–t(t)，求f1(t)*f2(t)

解：

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=

(t)–

(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)(t)–[1-e–(t-2)](t-2)2023/1/311536.2、举例：卷积的微积分例3：已知f

(t)，h(t)，求g(t)=f1(t)*h(t)

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)2023/1/31154卷积的时移特性两函数经延时后的卷积等于两函数卷积后延时，其延时量为两函数分别延时量的和。如果则有6.3、卷积的时移特性2023/1/311556.3、举例：卷积的时移特性例：f1(t)，

f2(t)如图，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2(t)–2(t–1)

f2(t)=

(t+1)–(t–1)

f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)–2(t)*(t–1)–2(t–1)*(t+1)+2(t–1)*(t–1)由于(t)*(t)=t(t)，据时移特性，有：f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t–1)(t–1)–2t(t)+2(t–2)(t–2)2023/1/311566.4、脉冲函数的卷积运算函数与单位冲激函数的卷积一个函数与单位冲激函数的卷积，等价于把该函数平移到单位冲激函数的冲激点位置。亦称单位冲激函数的搬移特性2023/1/31157(t)(t)=t(t)，et(t)et(t)=tet(t)

若f(t)=fa(t)*fb(t)，fa(t)定义在(ta1，ta2)，

fb(t)定义在(tb1，tb2)，则f(t)的定义范围为：(ta1+tb1，ta2+tb2)6.4、几个特殊函数的卷积2023/1/311586.5、求解卷积的方法求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。2023/1/31159互相关函数定义：两时间实函数x(t)、y(t)的相关运算由积分定义Rxy(t)函数称为x(t)与y(t)的互相关函数，而Ryx(t)函数称为y(t)与x(t)的互相关函数令=-t

作变量置换，且置换后将积分变量仍用

表示

,有：Rxy(t)与Ryx(t)的关系：比较（2-70）与（2-71）7、相关与卷积2023/1/31160

如果进行相关运算的是同一时间信号，则称相关运算所得结果为自相关函数。它为时间t

的偶函数相关运算与卷积运算的关系：卷积与相关的关系2023/1/31161卷积与相关的关系相关运算不要对y(t)进行反折，而卷积运算需要反折。相关定理：两函数的互相关函数的FT，等于一个信号的FT乘以另一信号FT的共轭值2023/1/31162举例：多种方法求卷积例：计算f1(t)*f2(t)2023/1/31163举例：图解法求卷积2023/1/31164举例：解析法计算卷积方法二：直接根据卷积定义式计算2023/1/31165举例：由卷积的性质-交换律方法三：由卷积的性质-交换律求卷积2023/1/31166举例：由卷积的微积分性质方法四：应用卷积的微分与积分性质求解2023/1/31167例：求矩形脉冲f1(t)=(t-t1)-(t-t2),t2>t1

和指数函数f2(t)=e-t(t)的卷积解：方法1：图解法tt2t11g(t)例：多种方法求卷积2023/1/31168方法2：应用卷积的微分与积分性质求解例：多种方法求卷积2023/1/31169已知f1(t)=t[(t)-(t+1)]，f2(t)=(t)-(t-1),求f(t)=f1(t)*f2(t)f(t)=0.5(1-t2)[(t+1)-(t)]+0.5(1-t)2[(t)-(t-1)]f2(t-)1-1tf1()-11f1()f2(t-)-11t当-1<t<0时梯形面积为0.5(-t+1)(1+t)-1+tf1()f2(t-)f2(t-)1-1tf1()-11-11当0≤t<1时△面积为0.5(1-t)2f1(-)-11tf2()11tf2(t-)1-1t=0例：多种方法求卷积2023/1/31170例：下图为矩形脉冲，用符号gτ(t)表示，其幅度为1，宽度为，求卷积积分gτ(t)*gτ(t)。例：求矩形脉冲卷积2023/1/31171由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转180°后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时，门函数左边沿位于x=-/2位置，右边沿位于x=/2位置，如图(b)所示。方法一：图解法在任一t时刻，移动门函数左边沿位于x=t-/2位置，右边沿则位于x=t+/2位置，如图(c)所示例：求矩形脉冲卷积-图解法2023/1/31172按照图卷积过程的图解表示，可计算求得：

例：求矩形脉冲卷积-图解法2023/1/31173方法一图例：求矩形脉冲卷积-图解法2023/1/31174方法二应用卷积运算的微积分和时移性质例：求矩形脉冲卷积-卷积性质2023/1/31175方法二图2023/1/31176时域卷积定理-定义、例1如果

则

两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积例三角脉冲频谱计算2023/1/31177时域卷积定理-例22023/1/31178频域卷积定理如果：则：两时间函数的频谱的卷积等效于时域两函数乘积的频谱2023/1/31179巴什瓦定理Parseval定理：时域中信号分析的总能量等于频域中计算的信号总能量。如果F[x(t)]=X(f)；F[h(t)]=H(f)，则有：2023/1/31180随机信号的功率谱密度随机信号：时域无限、不可积分；其频率、幅值、相位都是随机的，不能直接FT;用具有统计特性的功率谱密度作谱分析自功率谱与互谱自功率谱双/单边谱互谱单边功率谱密度2023/1/31181随机信号的功率谱密度相干函数和频率响应函数H(ω)相干函数在系统辨识中，可辨别输出y(t)与x(t)的关系；为1，完全相关；<1，测量过程有噪声或系统存在非线性H(ω)是互谱与自谱的比值求得，复量，保留了幅值大小和相位信息，描述系统的频域特性。IFT后，即为描述系统时域特性的单位脉冲