第四章振动、波动和声波

第四章振动、波动和声波

CHAPTER4VIBRATION,WAVEMOTIONANDSOUNDWAVE)振动波动电磁振动（Electromagneticvibration）机械波（mechanicalwave）电磁波（Electromagneticwave）机械振动（mechanicalvibration）第一节简谐振动

4.1SimpleHarmonicVibration，SHV）一、简谐振动方程（EquationofSHV）1.特征方程（Characteristicequation）

O为平衡位置，小球质量为m，，在s处，小球受力为F

，F=-ks=ma上式称为简谐振动的特征方程物体在弹性力或准弹性力作用下的运动都是简谐振动。加速度与位移成正比而方向永远相反的运动称为简谐运动或简谐振动。2.简谐振动方程（EquationofSHV）

或A和都是积分常数。上面的方程称为简谐振动方程，或简谐振动位移方程。速度加速度二、简谐振动的特征量（CharacteristicquantitiesofSHV）1.振幅（Amplitude）2.周期、频率和角频率（Period\Frequencyandangularfrequency）周期（Period）频率（Frequency）物体离开平衡位置的最大位移物体单位时间内完成的全振动的次数物体作一次完全振动所需要的时间单位：s单位为Hz角频率（angularfrequency）弹簧振子的周期为：

由振动系统本身性质决定的频率，角频率，周期称为固有频率（naturalfrequency）,固有角频率（naturalangularfrequency）,固有周期（naturalperiod）物体在2s内完成的全振动的次数单位为rads-1

3．位相与初位相（phaseandinitialphase）

位相（Phase）例如，一个物体在一次完全振动的过程中s-AA

t+=3/2时两种不同的位相，反映出两种不同的运动状态。t+=/2时t+称为简谐振动的位相，简称相s=0，v=-A，以速度A向左端运动；s=0，v=A

，以速度A向右运动。初位相(initialphase)

：t=0时的位相。简谐振动中，常常要比较两个简谐振动的步调是否一致。这时，起决定作用的是两个简谐振动的位相差。表示物体开始运动时的运动状态。4.起始条件（Initialconditions）

t=0时的初位移S0和初速度v0称为振动的起始条件。t=0时S0=Acosv0=-Asin三、简谐振动的矢量图示法（VectordiagramofSHV）t=0时，S0=AcosA称为振幅矢量(amplitudevector)t

时刻，S=Acos(t+)s=Acos(t+)t+s0=AcosOAAt=0四、简谐振动的能量（EnergyofSHV）

总能量

特点：简谐振动的总能量与振动频率的平方及振幅的平方成正比。

例1一个质点作上下方向的简谐振动，设向上为正方向，振动方程为S=Acos(t+)，当质点在平衡位置开始向上运动时的初位相为。答案B解：利用振动的初始条件确定振动的初位相t=0时cos=0v0=-Asin>0,则sin

<0S0=Acos=0=（，）取-（）

A.；B.-；C.；D.-。例2一作简谐振动的物体的简谐振动方程为S=12cos(t-/3)cm，当物体由S=-6cm处向S的负方向运动，再回到平衡位置时所需要的时间为：A.5/6s；B.1s；C.7/6s；D.1.5s。解：求t1时刻的位相cos(t1-/3)=-1/2∵v1=-12sin(t1-/3)<0∴(t1-/3)=2/3(t1-/3)=2/3

（或4/3）S1=12cos(t1-/3)=-6cmsin(t1-/3)>0求t2时刻的位相S2=12cos(

t2

-

/3)=0cos(

t2

-

/3)=0

(

t2

-

/3)=/2v2=-12sin(

t2

-

/3)>0sin(

t2

-

/3)<0(

t2

-

/3)=3/2

=(t2

-

/3)-(t1-/3)

=tt=5/6/（或3/2）=3/2-2/3=5/6=5/6s

=t第二节阻尼振动、受迫振动和共振

4.2

dampedvibrationforcedvibrationandresonance

一、阻尼振动(dampedvibration)

一个作简谐振动的系统，在振动的过程中受到阻力而逐渐损失能量,振幅逐渐减小，最后振动停下来,这种振幅不断减小的振动叫做阻尼振动或减幅振动能量减小的方式

摩擦阻力

能量逐渐向四周辐射

1.阻尼振动特征方程方程(Characteristicequationofdampedvibration)当物体速度不大时，摩擦阻力R

与速度成v

正比

R=v叫做阻力系数

弹簧振子做阻尼振动时，小球所受的合力为弹性力F和摩擦阻力R的总和

小球的运动加速度aF+R=ma=-kS令0

为振动系统的固有角频率

为阻尼因子

上式叫做阻尼振动的特征方程当阻力较小时

22特征方程的解为

A0

和为积分常数越大，阻尼越大，越小，振幅衰减越快2.阻尼振动方程(vibrationequationofdampedvibration)上式叫做阻尼振动方程二、受迫振动和共振(forcedvibrationsandresonance)1.受迫振动(forcedvibrations)振动系统在周期性外力的持续作用下所作的振动叫做受迫振动

设周期性外力为

FF=FmcostFm为力幅

为外力的角频率

受迫振动的稳态方程

S=Acos(t+)m为振动体的质量

稳定状态的受迫振动是一个与外力同频率的简谐振动

2.共振(resonance)

当周期性外力的角频率接近振动系统的固有角频率时，受迫振动的振幅急剧增大的现象叫做共振共振角频率

r为

共振时最大振幅值

越大，共振角频率越低，共振振幅越小越小，共振角频率越接近系统的固有角频率，共振振幅越大第三节简谐振动的合成

4.3CombinationofSimpleHarmonicVibrations）一、两个同方向、同频率简谐振动的合成（Combinationoftwosimpleharmonicvibrationswiththesamefrequencyalongthesameline）S2A2A1A21SS1SO=(t2

)-(t+1)=2-1S=S1+S2S=S1+S2=Acos(t+)合振动是一简谐振动=A1cos(t+1)+A2cos(t+2)S2A2A1A21SS1SO①位相差2-1=2k,k=0，1，2,……时，合振动的振幅A为

合振动振幅最大表示振动的振动强②位相差2-1=(2k+1),k=0，1，2,…时，合振动振幅最小，表示振动削弱A1=A2，则A=0，表示振动抵消，合振动质点不动

③若位相差2-1取其它值时，则合振动振幅>A

>

二、同方向、不同频率的简谐振动的合成（Combinationoftwosimpleharmonicvibrationswiththedifferentfrequencyalongthesameline）合振动是复杂的振动S=S1+S2=A1cos(1t+1)+A2cos(2t+2)S1=A1cos(1t+1)S2=A2cos(2t+2)

频率最低的分振动的频率为基频（basicfrequency）其它分振动的频率称为倍频（multiplefrequency）或谐频三、频谱分析

（vibrationspectrum）任何一个周期性的复杂振动都能分解成若干个频率不同、振幅不同的简谐振动，这些简谐振动的频率为原来的振动频率（）的整数倍（2

，3

，…），即：S=F(t)=A0+A1cost+A2cos2t+…+B1sint+B2sin2t+…1.傅里叶分析（Fourieranalysis）为基频的整数倍（2

，3

，…）为倍频或谐频2.频谱分析(spectraanalysis)分振动的振幅按频率顺序排列的图谱称为振动谱或频谱，这种图称为频谱图（frequencyspectrumdiagram）用振动谱分析复杂振动的方法称为频谱分析Example方波图例四、两个同频率、互相垂直的简谐振动的合成（combinationoftwosimpleharmonicvibrationswiththesamefrequencyatrightangles）两个频率相同的简谐振动分别在相互垂直的x轴和y轴方向上振动，它们的位移方程分别为合并两式，消去t，就得到合振动质点运动的轨迹方程这是一个椭圆方程。椭圆的形状椭圆的形状由位相差2-1的值来决定决定。在同一时刻t，合振动质点的位置由x,y决定。

1.2-1=0是一条通过坐标原点的直线，直线斜率为A2/A1，如图所示合振动然是简谐振动，频率与分振动的频率相同合振动的位移振幅为

2．2-1=是一条通过坐标原点的直线，直线斜率为-A2/A1，如图所示。合振动仍然是简谐振动，频率与分振动的频率相同，振幅为

合振动的位移3．2-1=/2这是一个以坐标轴为主轴的正椭圆方程。合振动质点是以顺时针方向沿椭圆轨道运动。如图所示.。3．2-1=3/2这是一个以坐标轴为主轴的正椭圆方程。但合振动质点是以反时针方向沿椭圆轨道运动。如图所示.。两分振动的振幅相等时，运动轨迹为圆图中箭头表示质点的运动方向第四节简谐波

4.4MechanicalWaves一、机械波的产生（Generationofmechanicalwaves）1．机械波（mechanicalwaves）波产生的条件（Generatingconditions）波源（wavesorce）弹性媒质（Elasticmedium）波的种类横波（Transversewave）纵波（longitudinalwave）波峰，波谷稀释区，密集区传播振动状态的物质激发波的振动系统2．波长、频率及波速（wavelength/frequencyandwavevelocity）

波长(wavelength)两个相邻的振动状态相同的点之间的距离也是一个波长

周期(Period)频率(Frequency)波的频率周期与互为倒数波源振动一个周期时，振动状态传播的距离称为波长，用表示。在波动中，一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间称为波的周期，它与波源的振动周期相同，用T表示。单位时间内，通过波线上某一点的波的数目叫波的频率，又称为波数，它与波源的振动频率相同，用f表示。波速(wavevelocity)波速实际上就是一定的振动位相或振动状态的传播速度。波速又叫做相速(phasevelocity)流体中的波速：

K为体变模量为媒质密度固体中的波速纵波E为杨氏模量横波G为切变模量

f与T与波源相同，不随媒质而变。c和由媒质决定，随媒质、温度而变。单位时间波通过的距离，用c表示二、波面和波线（wavefrontandwaveline）波前（wavefront）波线（waveline）

球面波（Sphericalwave）振动位相相同的各点连成的面叫波面。

平面波（planewave）t时刻振动到达的各点连成的面叫做波前表示波传播方向的直线，与波面互相垂直第五节简谐波的波动方程

4.5EquationofWaveMotionofSHW1.平面简谐波沿x轴正方向传播的波动方程（Equationofwavemotionofaplanesimpleharmonicwavetravelingalongpositivedirectionofx-axis）xOxscP设坐标原点O的质点的振动方程为：P点的振动比O点的振动晚一段时间xOxscPO点振动t时间后，P点振动的时间为P点的振动方程为：上式表示波线上的各个质点的位移随时空变化的关系，是平面简谐波沿x轴正方向传播的波动方程。结论（conclusion）波动方程变为波动方程变为x处质点的振动方程①x一定时与坐标原点的振动方程相比较，振动的相位落后2x/

②t一定时，波动方程变为t时刻的波形方程，即xtxscS表示在t时刻x轴上各点的位移的大小，即此时刻的波形上式表示t时刻的波形方程。xsxtc经过△t时间后，波向前传播了一段距离，△x=c△t，此时的波形方程为：S=Acos[(t+△t)+-2(x+△x)/]

x+xt+tct上面两式表明，t时刻x处的质点的位移与t+△t时刻的x+△x处的质点的位移相同，说明，波形向前移动了一段距离c△t

。所以，波速c

又是整个波形的运动速度。3.平面简谐波沿x轴负方向传播的波动方程

xOxscPP点的振动比O点的振动早开始一段时间O点振动t时间后，P点振动的时间为P点的振动方程为：讨论问题：解：O点不一定代表波源，如果不代表波源，波向x正方向运动时，波源的位置应在x

0处，xPOxscPc波向x的负方向运动时，波源的位置在xx

p.在讨论波动方程中，所取质点O是否一定表示波源的位置。如果不代表波源的，波源应放在何处才能得波动方程的形式（两种方向分别说明）例：已知波动方程S=Acos(bt-cx)cm，则该波的波长、频率和波速分别为:解：将波动方程S=Acos(bt-ax）cm变为标准形式来计算它的波速，频率和波长，即从上式中可见波的第六节波的能量

4.6EnergyoftheWave一、波的能量（Energyofawave）

1.波的能量（Energyofawave）

一列平面简谐纵波s=Acos(t+

-x/c)沿s轴正方向运动s弹性媒质密度为介质元体积V

V0mm=V介质元振动的动能（kineticenergy）

Ek为介质元V的弹性势能（Elasticpotentialenergy）Ep为总能量

波的能量的特点：①能量在波动，作周期性的变化。2.能量密度（energydensity）

平均能量密度（meanenergydensity）

②任一时刻动能和弹性势能相等，同时达到最大值，同时为0,动能和势能互不转换，但要传递。单位体积的能量称为能量密度叫做能量密度

能量密度在一个周期内的平均值叫做平均能量密度。二、波的强度（intensityofawave）

S单位时间通过垂直于波传播方向上单位面积的平均能量称为波的强度，用I表示。I一个周期内，通过S面的平均能量为：cT波的强度为:单位：w·m-2三、波的衰减（Wavedecay）

1平面简谐波的衰减（Decayoftheplanewave）x=0,负号表示随着厚度的增大而强度减小。式中为介质的吸收系数，它与物质的性质及波的频率有关。x处的强度为I通过dx的厚度，强度减小dI,则

I=I0，这就是平面简谐波在介质中衰减的规律，强度是按指数规律衰减的。2.球面波的衰减（Decayofthesphericalwave）

上式表明：球面波的强度I和离波源的距离x的平方成反比，这个关系叫做反平方定律。球面波的振幅和传播距离成反比。实际上的球面波的波动方程应为式中A0是球面波离波源单位距离处的振幅第七节惠更斯原理

4.7HuegensPrinciple）一、惠更斯原理（HuegensPrinciple）媒质中波动到达的每一点都可以看作新的子波的波源，向前发射半球形子波，这些子波的包迹面就是下一时刻的波前，这就是Huegens原理。二、波的衍射

(diffractionofwave)

波遇到障碍物而改变传播方向并发生绕过障碍物的现象叫做波的衍射

半球面子波的半径为c△t。第八节波的干涉

4.8InterferenceofWaves一、波的叠加原理（Superpositionprincipleofwaves）波的独立传播特性(TheLawoftheAlonePropagationofWave)几列波在同一媒质中传播时，无论它们相遇与否，都保持自己原有的特性，频率不变，波长不变，原振动方向不变，各列都按自己原来的传播方向传播，不受其它波的影响，这就是波的独立传播特性。二、波的干涉（Interferenceofwaves）

频率相同，振动方向相同，相位相同或相差恒定的两波源发出的波在空间相遇处叠加，有的地方加强，有的地方削弱或完全抵消的现象称为波的干涉。能产生干涉的波称为相干波（Coherentwaves）相干波的波源称为相干波源（Coherentsources）

x1x2O1O2P几列波相遇处的质点的运动的位移是各列波在该处单独引起的位移的矢量和，即振动的合成，这就是波的叠加原理。波的叠加原理（Superpositionprincipleofwaves）设两个相干波源O1和O2，它们发出的相干波在空间任一点P相遇，P点的振动就是两波在P点引起的振动的合振动。波源的振动方程为：

在均匀的介质中传播，O1P=x1,

O2P=x2

，两波在P点引起的振动的位移方程分别为：x1x2O1O2Px2-x1为两波的波程差

x1x2O1O2PP点的合振动的振动方程为

x1x2O1O2P讨论：

1.1≠

2k=0，1，2，…A=A1+A2干涉加强（相长干涉，constructiveinterference

）k=0，1，2，…A=A1-A2

干涉削弱，A1=A2时，A=0，抵消（相消干涉destructiveinterference

）2.1=

2产生相长干涉的条件是产生相消干涉的条件是

k=0,1,2，……

k=0,1,2，……波程差是半波长的偶数倍时，产生相长干涉。波程差是半波长的奇数倍时，产生相消干涉。干涉是波动的特征之一。例1：两个初相相等，振幅相同，频率相同的波源，分别由A、B两点向C点无衰减的传播，波长为，AC=5/2,BC=10,则C点的振动是A.加强；B.削弱;

例2:

两个相干波源的相差为2，则两波相遇的某点的振幅：

A.一定为两波源振幅之和；答案：例1，D；例2，D。C.抵消；D.条件不足，无法确定。

B.一定为两波源振幅之差；C.无衰减传播波时为两波源振幅之和；D.条件不足，无法确定。三、驻波及半波损失（Standingwaveandlossofhalfwavelength）设在同一直线上有两列振幅相等的相干波分别沿x轴的正、负两个方向传播，它们的初相均为0，波动方程为：1.驻波方程（equationofstandingwave）在两波重叠处，各质点的合位移为此式就是驻波方程。

（1）波腹（antinodes）（2）波节（node）波线上|cos(2x/)|=1的点，合振动振幅最大，等于2A，这些点的振动最强，叫做波腹。波线上cos(2x/)=0

的点，合振动振幅为0，这些点始终静止不动，叫做波节。2.驻波特征（Characterofstandingwave）驻波的振幅不随时间而变，只是位置x的函数，不同位置的振幅不同，但振动频率相同。（1）振幅分布(distributionofAmplitude)A合=0是波节位置A合=2A是波腹位置相邻两波腹或相邻两波节之间的距离均为/2。波节和波腹之间的距离为/4波节两边各点相位相反，（2）相位关系(replationofphases)两波节之间的各点相位相同，在每一时刻波都有一定的形状，波形固定不动，只是各点的位移随时间变化，而没有相位的传递。因此，这种波叫做驻波。为了区分一般的波和驻波，通常将一般传播能量的波叫做行波（travelingwave）。（3）驻波的能量(energy

of

standingwave)正向波的能流密度负向波的能流密度驻波的能量没有能量传播I=I1+I2=0驻波没有波动形式的能量传播，系统处于一种稳定的振动状态,动能与弹性势能在波峰与波节处相互交换。波腹最大处,动能最小,能量存储在波节.波腹最小的时,动能最大,波节释放能量驻波的能量禁固在两波节之间，既有势能，又有动能，势能集中在波节附近，动能集中在波腹附近。如果把两波节之间的驻波看作一个“波包”，则驻波能量只可能是这个波包能量的整数倍而不能连续变化。认识这一点，很容易理解量子力学中的能量不连续性原理。3.半波损失(lossofhalfwavelength)介质密度为，波速为c，把c较大的介质叫做波密介质，c较小的介质叫做波疏媒质。在分界面处形成波节，表示入射波和反射波在分界面处的相位相反，反射时相位突然改变了，相当于反射波损失了半个波再反射，这种现象叫做半波损失。波从波密介质转播到波疏介质的界面上的反射时没有半波损失。波从波疏媒质向波密介质入射时，波在两介质界面的反射处形成波节，反之形成波腹。例如，声波从水面反射回空气时，反射处为波节，声波从海水里传播到水面被反射回海水中时，反射处为波腹。琴弦两端是固定的，这两个固定的端点必然是波节。在琴弦上形成的驻波是比较复杂的，它是由一系列具有不同波长的驻波的合成。这时，驻波的波长必须满足下列关系式n=1，2，3，…

式中L为琴弦两端间的距离。弦上张力一定时，其波速c为一定值，c=f，所对应的频率f为:上式表明，琴弦的固有频率不是一个而有很多个。作为波源的弦线振动时，其频率是c/2L的整数倍。其中f1=c/2L叫做基频，其它频率如f1=c/L

，f1=3c/2L

，…等为倍频(又叫做谐频)n=1，2，3，…

第九节声波

4.9SonicWave频率在20Hz--20000Hz能引起听觉的机械波振动称为声振动（Soundvibration）,声振动的传播过程称为声波（sonicwave）。机械波（Mechanicalwave）声波（Sonicwave）20Hz≤f

≤20000Hz

能引起听觉超声波（Ultrasonicwave）f>20000Hz不能引起听觉次声波（Infrasonicwave）f

<20Hz不能引起听觉一、声压、声阻和声强

（Soundpressure,acoustic

impedanceandsoundintensity）1.声压（soundpressure

）:声波传播时，介质中各点的压强与没有声波传播时的静压强的差值称为该处的瞬时声压（Instantaneoussonicpressure），简称声压，用P表示。当一列平面简谐波的声波在密度为的弹性介质中传播时，介质中各点的声压为：介质中各质点的振动速度为vm=A表示质点振动速度幅值。声压与质点振动速度成正比，位相相同。为声压幅值声压的有效值（effectivesoundpressure）声压的单位:Pa2.声阻抗（acousticimpedance）

声压与介质质点振动速度之比称为声阻抗，简称声阻，用Z表示，即

单位：kg·m-2·s-1(Pa·s·m-1)声阻的大小决定于媒质的密度和声波的波速，在同样的声压下，声阻大的介质，介质振动速度小，不易激起振动，声阻小的物质容易激起振动。表4-1几种媒质中的声速与声阻介质密度(kg·m-3)声速c(103ms-1)声阻c(kgm-2s-1)空气1.293(0℃)0.3314.28102空气1.205(20℃)0.3434.13102水988.2(20℃)1.481.47106甘油12601.922.42106脂肪9701.401.36106肌肉10401.571.63106密质骨17003.606.12106钢78005.0539.41063.声强（soundIntensity）单位时间垂直通过声波传播方向上单位面积的声波能量叫做声波的强度，简称声强，用I表示。上式表示声强、声压与声阻的关系。声强与声压的平方成正比，与声阻成反比。声强单位为Wm-2。在临床上常用声压表示声波的强度例题4-2

设有107Hz的超声波在20℃的水中产生0.5m的位移幅值，波速为1.48103ms-1。求其声压幅值、声强及质点振动的加速度幅值，并与同样条件下400Hz的声波相比较。

解：该超声波的声压幅值为是400Hz的声波幅值的2.5×104倍该超声波的声强为是400Hz声波声强的6.25108倍。该超声波的加速度幅值为

是400Hz声波加速度幅值的6.25108倍。

二、声波的反射和透射（ReflectionandTransmissionofSound）

强度反射系数（reflectivelyofintensity）:强度透射系数（transmissivityofintensity）ir+it=1，Ii=Ir+It

Z1为第一种介质的声阻，Z2为第二种介质的声阻。Ii:Incidentintensity;Ir:Reflectivityofintensity;ItTransmissivityofintensity垂直入射三、声强级和响度级（Intensitylevelandloudnesslevel）

1.声强级（Intensitylevel）技术上常采用对数标度来表示声强的等级，叫做声强级，用L表示。SI单位：贝尔(Bel，B)常用单位：分贝(decibel，dB)1B=10dBf

=1

000Hz的声波最低可闻声强为10-12Wm-2最高可忍受的声强为1Wm-2最小声强和最高声强相差1012倍如果一个声音的强度为I，根据定义，它的声强级是或式中I0=10-12Wm-2为标准参考声强

I=I0=10-12w/m2，I=10I0I=103

I0,I=1w/m2,L=0B=0dB；L=1B=10dB；

L=3B=30dB；L=12B=120dB计算声强时，两种声音的强度可直接相加两个声音的强度分别为I1和I2时，对应的声强级为L1和L2总声强I=I1+I2总声强级LL1+L2计算声强级时，两个声音的声强级不能直接相加。例：已知两种声音的声强级都是50dB,求声音的总声强级.解：因为

L1=L2=50dB，I1=I2，2.响度级（loudnesslevel）①响度（loudness）②听阈（thresholdofhearing）各种频率的听阈连起来的曲线称为听阈曲线（thecurveofhearingthreshold）

人耳对声音强弱的主观感觉叫做响度。它决定于声波的强度和频率

能被人耳感觉到的最低可闻声强叫做听阈。f=1000Hz,听阈=10-12w/m2。

③痛阈（Thresholdoffeeling）各种频率的痛阈连起来的曲线称为痛阈曲线（thecurveoffeelingthreshold）人耳能够忍受的最大声强叫做痛阈

f=1000Hz,痛阈=1w/m2

④听觉域（Auditoryregion）由听阈曲线，痛阈曲线，20Hz频率和20000Hz频率线所包围的区域称为听觉区域。在这个区域内的任一点表示一纯音（简谐波），几个点或一条线或一小块面积表示不同类型的复杂声音。⑤响度级（loudnesslevel）不同频率的声音产生相同响度的声强或声强级连成的曲线叫等响曲线(loudnesscontours)。响度的数量等级响度级的单位：Phon(口方)

f=1000Hz,Phon值=dB值f≠1000HzPhon值≠dB值而其它各种频率的声音的响度级就不是那种频率的声强级，而是要与1000Hz声音进行比较，它与1000Hz的声音的某一声强或声强级的声音的响度相同时，它就属于那个一个响度级。1000Hz的声音的响度级在数值上等于以dB值为单位的声强级。如L=30dB,响度级=30phon如，频率为100Hz，声强级为60dB与频率为1000Hz，声强级为40dB的声音响度相同。则前一声音的响度级是40Phon，而不是60phon.第十节多普勒效应

4.10DopplerEffect一、波源和观察者在其连线上运动（Motionsofthesourceandobserveralongthelineconnectingthem）

波源或观察者相对于介质运动时，或者二者同时相对于介质运动时，观察者接收到的频率与波源的频率不相同的现象称为多普勒效应观察者v波源u观察者v波源u

波源的频率为f观察者接收到的频率f波源相对于介质运动速度u观察者相对于介质运动速度v波在介质中的波速为c，与u和v均无关。规定波源向着观察者运动时，u为正，反之u为负；观察者向着波源运动时，v为正，反之v为负。1．波源和观察者都静止(u=0，v=0)（Thesourceandtheobserverbotharestationary）

观察者接收到的频率f

，应等于单位时间内通过观察者所在处的波数。观察者接收到的频率f与波源的频率f相同,f=f

观察者v波源u单位时间内波所传播的距离为c，波长为。单位时间内通过观察者的波数(接收到的频率f)为2．波源静止，观察者运动(u=0，v≠0)（Thestationarysourceandtheobservermoving）

观察者运动，波源不动，波源发出的波在空间均匀分布，波长不发生变化(1)观察者以速度v向着波源运动当观察者以速度vo向着波源运动时观察者v