自动控制原理(第2章)

1自动控制原理C

2023年2月1日2第二章控制系统的数学模型2.控制系统的运动方程式3.传递函数5.控制系统的传递函数4.控制系统的的结构图及其化简6.信号流图7.脉冲响应1.拉普拉斯变换32.1拉普拉斯变换经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。时域分析法求解数学模型微分方程，获得系统输出随时间变化的规律。

借助于系统频率特性分析系统的性能，拉普拉斯变换是其数学基础。频域分析法42.1拉普拉斯变换一.拉普拉斯变换定义

设有时间函数f(t)，当t<0

时，f(t)＝0；在t≥0时定义函数f(t)

的拉普拉斯变换为：复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(s)。52.1拉普拉斯变换二.典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]11(单位阶跃函数)1s2

(t)(单位脉冲函数)13K(常数)Ks4t

(单位斜坡函数)1s22.1拉普拉斯变换二.典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]5tn(n=1,2,…)n!sn+16e

-at1s+a7sints2+28costss2+22.1拉普拉斯变换三.拉普拉斯变换的基本性质

(1)线性定理若、是任意两个复常数，且：则：(2)位移定理若：则：2.1拉普拉斯变换三.拉普拉斯变换的基本性质(3)微分定理若：则：f(0)是t=0时的f(t)值推广到n阶导数的拉普拉斯变换：若：函数f(t)及其各阶导数的初始值均为零则：2.1拉普拉斯变换三.拉普拉斯变换的基本性质

(4)积分定理若：则：函数f(t)积分的初始值同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：若：函数f(t)各重积分的初始值均为零，则有2.1拉普拉斯变换三.拉普拉斯变换的基本性质(5)终值定理若：则：(6)初值定理若：则：2.1拉普拉斯变换三.拉普拉斯变换的基本性质(7)卷积定理两个时间函数f1(t)、f2(t)卷积的拉普拉斯变换等于这两个时间函数的拉普拉斯变换相乘。(8)相似定理若：

则：122.1拉普拉斯变换例题

利用拉氏变换的基本性质求F(s)132.1拉普拉斯变换四.拉普拉斯反变换定义简单的象函数，直接查拉氏变换表；对于复杂的，利用部分分式展开法。在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：式中A(s)和B(s)是s的多项式142.1拉普拉斯变换

(1)分母B(s)无重根此时，F(s)总可以展成简单的部分分式之和。即式中，ak(k=1,2,…,n)是常数，系数ak称为极点s=

-pk处的留数。原函数152.1拉普拉斯变换

(1)分母B(s)有重根设B(s)=0，有r个重根，为p1，则F(s)的一般表达式为式中系数a2,a3,…,an仍按照上述无重根的方法，而重根的系数br,br-1,…162.1拉普拉斯变换原函数172.1拉普拉斯变换例题

求F(s)的拉氏反变换L-1[F(s)]182.1拉普拉斯变换采用拉氏反变换的方法，可以求解线性定常微分方程步骤：

(1)对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为s

变量的代数方程。(2)对以s

为变换的代数方程加以整理，得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。对这个变量求拉氏反变换，即得在时域中（以时间t为参变量）微分方程的解。192.1拉普拉斯变换例题

求解微分方程其中：202.1拉普拉斯变换练习

求解微分方程，初始状态都为零212.2控制系统的运动方程式控制系统运动方程式的功能

控制系统的运动方程式展示了系统在运动过程中各变量之间的相互关系，既定性又定量地描述了整个系统的运动过程。列写控制系统运动方程式的步骤明确输入量与输出量；写出原始方程（组）；消除中间量，仅剩输入量、输出量及其导数；将微分方程整理成标准形式。22举例例2-1.设有由电感L、电容C和电阻R组成的电路，示于下图。试列写出以电压U2为输出量和以电压U1为输入量的运动方程式。23例2-2.设有两个形式相同的RC电路串联而成的滤波电路如

下图所示，试列写出以电压U2为输出量和以电压U1为

输入量的滤波电路运动方程式。24举例例2-1.设有由电感L、电容C和电阻R组成的电路，示于下图。试列写出以电压U2为输出量和以电压U1为输入量的运动方程式。252.3传递函数

传递函数的功能传递函数是基于拉氏变换、用来描述线性系统或线性元件的输入-输出关系的一种常用函数。它全面地反映线性定常系统或线性元件的内在固有特性。二.传递函数的形式拉氏算子的有理式26三.传递函数的定义在零初始条件下，线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换式X2(S)与输入信号的拉氏变换式X1(S)之比，称为该系统或元件的传递函数。记为：27例2-2.设有两个形式相同的RC电路串联而成的滤波电路如

下图所示，试列写出以电压U2为输出量和以电压U1为

输入量的滤波电路运动方程式。28四.传递函数的性质线性定常系统或元件的传递函数是在复域描述其运动特性的数学模型，它与作为实域数学模型的运动方程一一对应。2.传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关，但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。3.传递函数是复变量S的有理分式，其分子多项式M(S)及分母多项式D(S)的各项系数均为实数。294.将传递函数写成如下形式：分别定义z1,z2,…,zm及p1,p2,…,pn为传递函数G(S)的零点与极点。5.传递函数不能反映系统及其元件的物理结构，那些物理结构截然不同的系统或元件只要运动特性相同，它们便可以有相同形式的传递函数。6.传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应302.4控制系统的结构图及其简化一.控制系统结构图的定义应用函数方框将控制系统的全部变量联系起来，以描述信号在系统中流通过程的图示，称为控制系统结构图。二.函数方框31三.系统结构图的组成函数框图相加点分支点相加点分支点32四.绘制控制系统结构图的步骤1.写出组成系统的各环节运动方程2.基于运动方程求取各环节的传递函数3.根据传递函数画出响应的函数方框4.按信号流向将函数方框一一联接起来，即得系统结构图33例2-5.绘制下图所示RC电路结构图34例2-6.绘制下图所示RC电路结构图351）串联环节等效传递函数同理：n个串联环节的等效传递函数为：五.控制系统结构图的简化362)同向并联环节等效传递函数同理：n个环节同向并联等效传递函数为：++373)负反馈环节等效传递函数38例2-6.下图所示RC电路结构图化简394).分支点等效移动规则405).相加点等效移动规则41六.检验化简的正确性1.前向通道中各串联函数方框的传递函数的乘积须保持不变。2.各反馈回路所含函数方框的传递函数的乘积须保持不变。42例2-7.设某位置随动系统的结构图如下所示。试应用等效简化结构图方法求其闭环传递函数。43例2-8.设有下图所示电路，试绘制其结构图，并通过简化求其传递函数U2(S)/U1(S)44452.5控制系统的传递函数控制系统结构图461.开环传递函数在反馈控制系统中，定义前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之积为开环函数，通常记为G(S)2.闭环传递函数定义输出信号的拉氏变换式与输入信号的拉氏变换式之比为系统的闭环传递函数。通常记为473.扰动信号的闭环传递函数在反馈控制系统中，假如只有扰动信号f(t)，而r(t)=04.

研究反馈控制系统的控制信号对偏差的影响48例2-6.下图所示RC电路结构图化简492.6信号流图1.信号流图的定义

它是表示控制系统各变量间相互关系、以及信号流通过程的另一种图示。2.信号流图的结构它具有网络形式，其中的节点代表系统变量，两节点用表明信号流向的定向线段联接，其上标出两变量见的传递函数。50三.信号流图的术语输入节点（源点）回路输入节点（源点）输出节点（阱点）混合节点abcdl四.信号流图的优点：求系统的传递函数时，不必进行预先的等效简化，而应用计算公式即可得到传递函数。这对复杂系统来说比结构图更为方便。前向通道51五.控制系统的信号流图例2-9:设已知某控制系统运动方程的拉氏变换式为：其中，分别为系统输入、输出信号的拉氏变换。试画出该系统的信号流图52六.信号流图的梅森增益公式梅森增益公式53例2-10.设某控制系统的结构图如下所示。试绘制其信号流图，并由信号流图应用梅森增益公式计算系统的闭环传递函数C(S)/R(S)。X0X1X2X3X4X5X6X7X854552.7脉冲响应一.脉冲响应的定义脉冲响应是零初始条件下，线性定常系统对理想单位脉冲输入的响应过程。二.理想单位脉冲函数56三.理想单位脉冲的性质在t=t0处的理想单位脉冲函数可用来表示57四.控制系统的脉冲响应与系统闭环传递函数的关系设控制系统运动方程为

D(p)c(t)