相似理论及应用-part21相似准则的导出方法

第二章相似准则的导出方法

2.1定律分析法2.2方程分析法2.3量纲分析法

上一章已详细论述了模型与原型构成相似的条件；在本章中将讨论怎样才能实现相似．所谓相似准则，是指为使模型现象与原型现象相似所必须满足的条件，也就是模型设计及模型实验的基本准则．根据相似第二定律，用模型与原型相似准则相等的关系式，可求得模型实验遵守的条件．根据相似第三定律，可以将模型实验结果整理成相似准则间的函数式，以便将模型实验结果推广到原型中去．因此，必须找到相似准则的导出方法．

相似准则的导出方法有三：从理论上说，三种方法可以得出同样结果，只是用不同方法对物理现象作数学上的描述．定律分析法、方程分析法和量纲分析法绪论

条件：要求对所研究的现象充分运用已掌握的全部物理定律，并能辨别其主次．

缺点：限于就事论事，看不出现象的变化过程和内在联系．对未能全部掌握其机理的、较为复杂的物理理象，运用这种方法是不可能的，甚至无法找到它的近似解；

此外，常常会有一些物理定律，表面看去对于所讨论的问题关系并不密切，但又不宜妄加删除，而必须通过实验找出各个定律间的制约关系，决定哪个定律对问题说来是主要的，这就为解决问属带来不便．定律分析法

所说方程，主要是指微分方程，此外也有积分方程，积分-微分方程，它们统称为数理方程．

优点：结构严密，能反映现象最为本质的物理定律，故在解决问题时结论可靠，分析过程程序明确．分析步骤易于检查，各种成分的地位一览无遗，有利于推断，比较和校验．但在方程尚处于建立阶段时，需要对现象的机理有深入的认识，在有了方程以后，由于运算上的困难，也并非任何时候都能找到它的完整解，或者只能在一定假设条件下找出它的近似解，从而在某种程度上失去了原来的意义。方程分析法

所说量纲分析法是在研究现象相似性问题的过程中，对各种物理量的量纲进行考察时产生的．

其理论基础，是关于量纲齐次的方程的数学理论．

π定理一经导出，便不再局限于带有方程的物理现象．这时根据正确选定的参量，通过量纲分析法考察其量纲，可求得和π定理一致的函数关系式，并据此进行相似现象的推广．量纲分析的这个优点．对于一切机理尚未彻底弄清，规律也未充分掌握的复杂现象来说，尤其明显．量纲分析法定律分析法、方程分析法和量纲分析法三种方法中，方程分析法和量纲分析法目前应用较为广泛，其中又以量分析法为最常用。当研究的对象过于复杂，不能列出微分方程时，量纲分析法往往成为获得相似准则的唯一方法．它是解决近代工程技术问题的重要手段之一．与方程分析法比较，凡是能用量纲分析法的地方，不一定能用方程分析法，而能用方程分析法的地方，必定能用量纲分析法。

定律分析法也在许多情况可采用，并有时十分方便．在相似条件下，有时可将各种方法结合使用．三种导出方法比较

当利用定律分析法导出其相似准则时，前提是现象必须有可能利用这种方法解决问题．而在有可能变为现实的过程中，则需要考虑如何正确地选择物理定律．开始时，由于人们对现象机理认识不足，可以先预想一些适用于现象的物理定律，对它们作出某种假设，然后通过实验验证它们对现象的适用程度．这就有必要在同样物理定律的指导下，将模型实验结果同原型所得结果加以比较，确定那些在模型和原型上能很好地取得一致的物理定律，它们作为适用的物理定律加以肯定．这个过程对于陌生的物理现象，常常需要反复地进行，直到找到对现象适用的全部必要的物理定律．第二章相似准则的导出方法2.1定律分析法

一、应用前提与条件适用于现象的任何物理定律都不是孤立的，各个物理定律表现在同一现象上有着密切的联系，只有在总体效果上满足相似性的时候，才能说其中的某个定律是适用的．

适用的物理定律并不一定都是主要的．为了简化实验过程．突出主要矛盾，暴露现象本质，还应通过实验剔除一些次要的物理定律．

一、应用前提与条件2.1定律分析法

pro:建立一模型，以预测原型粱自由振动的衰减时间

5分析：梁自由振动现象的物理定律，必须包括：①由于梁处于振动状态，考虑牛顿惯性定律；②由于梁受到由弯曲而产生阻力，考虑虎克弹性定律；③由于振动是衰减的，须考虑关于材料的内部摩擦定律．为此，粱的振动过程与惯性力，弹性力及内摩擦有关．故本例应利用这三方面的物理定律．

二、实例一2.1定律分析法

pro:建立一模型，以预测原型粱自由振动的衰减时间

5

二、实例2.1定律分析法

pro:建立一模型，以预测原型粱自由振动的衰减时间

5

二、实例2.1定律分析法

pro:建立一模型，以预测原型粱自由振动的衰减时间

5

二、实例2.1定律分析法由上述牛顿惯性定律、虎克弹性定律、材料的内部摩擦定律得出的三个式中，只有第一式含时间t，故将该式除以其它两式，可得两个有用的π项为

二、实例2.1定律分析法上式表明在上例中，所得的相似准则π1，π2，在模型、原型采取同样材料的情况下，都能得到

所示的结果，说明这三个定律在现象上是相互联系的，而现象选择这三个定律也是正确的．但同时可看到，为求得本例解答，式与所代表的物理定律，有一个是多余的．显然，只有充分掌握理象机理，才能在一开始就掉除这一多余的物理定律，使问题的分析过程简化．

二、实例2.1定律分析法

二、实例二2.1定律分析法

pro:假定做6kg烤肉需要3小时，问同一温度的炉子3kg烤肉需花费多长时间？5

pro:假定做6kg烤肉需要3小时，问同一温度的炉子3kg烤肉需花费多长时间？5解：控制该现象的物理定律是热传导及由热量积蓄而引起的温升。①传给单位质量肉的热量遵循的物理定律可写为：②温升单位质量肉内积蓄的热量可按如下物理定律

二、实例二2.1定律分析法K为导热率[L-1T-1QΘ-1]θ为温度[Θ]C为比热[L2T-2Θ-1]ρ为密度[L-5T2Q]

用方程分析法导出相似准则的方法：相似转换法、积分类比法

第二章相似准则的导出方法2.2方程分析法

一、相似转化法kµYpro:“弹簧-质量-阻尼”系统，假定借助模型来研究决定位移Y的参量Y是时间t的函数

一、相似转化法2.2方程分析法（1）（2）（3）（4）

一、相似转化法将上式则：（5）（6）（7）2.2方程分析法作相似变换时，为了保持基本微分方程(5)和(6)的一致性，式(7)各项的系数必须彼此相等，即

一、相似转化法（9）（10）（11）2.2方程分析法5．将相似常数表达式代入相似指标中，从而获得相似准则即将式(2)～(4)所表示的相似常数值代入式(9)～(11)，即可求得相似准则式，即一、相似转化法2.2方程分析法

二、积分类比法（1）（18）（19）2.2方程分析法

二、积分类比法（18）、（19）（20）（21）（20）（21）2.2方程分析法

二、积分类比法上式（21）（23）（24）（23）、（24）步骤3中2.2方程分析法2.积分类比法的数学基础

在应用积分类比法时，需要进一步从理论上阐明的一个问题是：为什么导数可以用相应量的比值替代？二、积分类比法则2.2方程分析法二、积分类比法根据上述22.2方程分析法二、积分类比法由以上方程分析法推导相似准则的过程中可以看出，只有当已知描述现象的方程式的具体形式时，才能用这种方法导出相似准则。

2.2方程分析法第二章相似准则的导出方法2.3量纲分析法量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。量纲分析法

量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。量纲分析法有两种：雷利法和π定理雷利法解题步骤：找出影响问题的物理量，并用它们写出假拟的指数方程；以对应的量纲代替方程中的物理量本身，并根据量纲和谐性原理求出各物理量的指数，整理出最后形式。Π定理对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数关系，

f(a1,