结构力学-静定结构位移计算

静定结构的位移计算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures变形：结构形状的改变。CC‘——线位移

——角位移（转角）§1概述位移：结构上某点位置的移动和截面转动。一、变形和位移线位移：C‘C‘‘——竖直位移CC‘‘——水平位移

根据产生位移的原因，位移可分为：刚体位移变形体位移1.荷载作用2.温度变化（材料胀缩）3.支座沉降与制造误差还有什么原因会使结构产生位移?二、产生位移的原因静定多跨梁的支座A有一给定位移CA，

杆AC绕B点转动，杆CD绕D点转动。

刚体位移：有位移无应变刚体位移ABCD简支梁在载荷q作用下，各点产生线位移；同时梁内弯矩M产生的曲率k（曲率半径）和应变e。变形体位移：有位移有应变

变形体位移

根据产生位移的原因，位移可分为：刚体位移变形体位移1.荷载作用2.温度变化（材料胀缩）3.支座沉降与制造误差哪些是刚体位移？哪些是变形体位移?二、产生位移的原因

1.验算结构的刚度。2.位移计算是超静定结构计算的基础。3.在结构的动力和稳定计算中也要用到结构的位移。4.在结构的制作、架设、养护等过程中，也往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施。为什么要计算位移?三、结构位移计算的目的在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。基础设计规范规定：设计等级为甲级、乙级的建筑物，均应按地基变形设计。1.方法：2.基本假设：（1）几何方法（2）虚功法功=力×位移位移=功/力四、结构位移计算的方法和基本假设（3）理想联结(IdealConstraint)叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic)(2)小变形(SmallDeformation)（一）功(Work)1.功的含义：力沿着作用线移动一段距离五、虚功原理(PrincipleofVirtualWork)变力做功2.常力做功和变力做功y位移与静力荷载dyyPPy

1)作虚功的力系为一个集中力2)作虚功的力系为一个集中力偶4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力3.广义力(Generalizedforce)对广义位移(Generalizeddisplacement)做功（二）实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)图（a）中P1所作的功为：图（b）中P2所作的功为：图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为：再作用P2，此时P2所作的功为：P1在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：虚功外力作用下的总功：虚位移△11△22P2△11△22△12△21实功第一个下标表示位移的地点和方向第二个下标表示产生位移的原因实功和虚功的区别：（1）实功是力在自身所引起的位移上所做的功；虚功是力在其它原因所引起的位移上所做的功。虚功并不是不做功，而是强调做功的力与产生位移的原因无关这一特点。虚位移应满足的条件：虚位移应当是微小的；虚位移必须是变形可能的，即位移函数是连续的。（2）实功是变力做功，计算式中有系数1/2；虚功是常力做功，计算式中没有系数1/2。（对上例）（3）实功恒为正，虚功可正可负。注意：（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（3）位移状态与力状态完全无关；力状态位移状态1质点系的虚功原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：Σfiδri=0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。（三）虚功原理2刚体的虚功原理3变形体的虚功原理（一）原理：P1P2P3△x△y§2刚体虚功原理及其应用

刚体在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：对于任意给定的虚位移，外力虚功之和为零。一、刚体虚功原理P1P2P3△x△y1.若力系平衡2.若T=0，既然虚位移是任意给定的

刚体在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：对于任意给定的虚位移，外力虚功之和为零。（二）虚功原理的两种实用型式1、虚位移原理特点：受力真实，位移虚设。用途：用以计算真实受力状态下的未知力，与平衡方程等效。YBYAXAΔΔ/2由虚功原理虚功方程

平衡方程2、虚力原理特点：位移真实，受力状态虚设。用途：用以求解真实位移状态中的待求位移。ΔΔ/2二、静定结构由支座移动引起的位移计算（一）支座移动对静定结构的影响刚体位移：有位移无应变变形体位移：有位移有应变求K点的竖向位移（二）基本公式

虚设力的方法：1、虚设力P的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的方向一致；2、虚设力P的大小等于单位1，并称这样的力为单位力。实际位移状态虚设的力状态Ri的正向与Ci的正向一致虚功原理：T=0它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也称为Maxwell-MohrMethod单位荷载法(Dummy-UnitLoadMethod)截面转角相对线位移相对转角（三）计算步骤:求单位力作用下的支反力利用公式求位移根据拟求位移作单位力状态ΔP=11/21/2Δ=-（-1/2*△）=△/2例：图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷a，求Ｅ截面的竖向位移DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角。1YBYCYBYC（2）求单位力作用下的支反力（3）利用公式求位移解：1、求Ｅ截面的竖向位移（1）根据拟求位移作单位力状态2、Ｄ铰两侧截面的相对转角()YAYA1、结构的两种状态：2、第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，称为外力虚功，记为T123、第一状态的内力在第二状态的变形上所作的虚功，称为内力虚功，记为W12M、Q、N§3变形体系虚功原理及结构位移计算一般公式一、基本概念第一状态（受力状态）第二状态（位移状态）相对转角相对轴向位移相对剪切位移dx（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。（2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的）第二状态要求虚位移条件说明：（4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。（3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。二、变形体系的虚功原理变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是：对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功即

T12＝W12

任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。变形体虚功原理的证明:1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功dW=dWe+dWn所有微段的外力功之和:W=∫dWe+∫dWn=∫dWe=δWe2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi微段外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:W=∫dWi=δWi微段位移分为两部分刚体位移变形位移故有δWe=δWi成立。

任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。变形体虚功原理的证明:1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功dW=dWe+dWn所有微段的外力功之和:W=∫dWe+∫dWn=∫dWe=δWe2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi微段外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:W=∫dWi=δWi微段位移分为两部分刚体位移变形位移故有δWe=δWi成立。几个问题:1.虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。2.原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。3.原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。δWi

的计算:δWi=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds微段外力:微段变形可看成由如下几部分组成:变形体虚功方程的展开式微段剪切微段拉伸微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:δWe

=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds1、虚位移原理特点：受力真实，位移虚设。2、虚力原理特点：位移真实，受力状态虚设。用途：用以计算真实受力状态下的未知力，与平衡方程等效。用途：用以求解真实位移状态中的待求位移。变形体虚功原理的两种实用型式R求如图所示刚架B点的水平位移△由虚功方程：T＝W可知三、结构位移计算的一般公式实际位移状态虚设的力状态

虚设力的方法：1、虚设力P的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的方向一致；2、虚设力P的大小等于单位1，并称这样的力为单位力。（1）刚体虚功位移计算公式是变形体位移计算公式的特例。（2）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。说明：（3）变形体位移计算公式是结构位移计算的一般公式。一般公式的普遍性表现在：2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线性、非线性；4.变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。位移计算的一般公式(GeneralFormulaofDisplacements)位移计算一般公式：无支座位移：而：MP、QP、NP为实际荷载作用下的内力，M、Q、P为单位力作用下的内力MP、QP、NP为实际荷载作用下的内力，M、Q、P为单位力作用下的内力MP、QP、NP为实际荷载作用下的内力，M、Q、P为单位力作用下的内力§4静定结构在荷载作用下的位移计算位移计算的一般公式(GeneralFormulaofDisplacements)一、荷载作用下位移计算公式1.EI、EA、GA分别表示杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度。3.公式中的2套内力。5.dx对于直杆适用，如是曲杆改为ds。6.等号右边各项的乘积代表虚设单位力引起的内力的各个分量在实际荷载引起的相应变形上所做的虚功。7.适用范围：线弹性问题。8.三项的影响，右边三项分别表示弯曲变形、剪切变形、拉伸变形的影响。轴向剪切弯曲2.μ截面形状系数。如：对矩形截面μ

=6/5;圆形截面μ

=10/9。4.弯矩项乘积的正负号规定：使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。1.根据拟求位移做单位力状态。2.分别求两种状态的内力。（1）荷载作用下内力计算。（2）单位力作用下内力计算。3.代入公式计算△。单位荷载法(Dummy-UnitLoadMethod)二、荷载作用下位移计算步骤（一）桁架的位移计算桁架在荷载作用下各杆的内力只有轴力对一根杆件而言，N、NP、E、A为常数，因此，上式可简化为：三、荷载作用下实用位移计算公式例：求如图所示桁架下弦中点D的竖向位移，P=20kN，E＝210kN/cm3，l=8m，A上弦=2000mm2，A下弦=400mm2，A腹=200mm2。解：1.根据拟求位移做单位力状态（图b）。2.求两种状态的内力。3.代入公式计算△。

不要“丢三落四”！

不要“张冠李戴”！（二）梁、刚架的位移计算对于梁及刚架，△Q和△N对△的影响很小，因此，上式可简化为：例：求刚架A点的竖向位移。实际位移状态虚设的力状态xx++qxxqlqlx荷载内力图xxlx11单位内力图设杆件截面为bh的矩形截面杆，有：取：，，有E/G的取值范围是多少？对受弯细长杆件,通常略去Q,N的影响。讨论与细长比有关！（三）拱的位移计算对一般拱结构的位移计算不考虑剪切、轴向变形的影响，取：对扁平拱、接近合理拱轴线的拱，应考虑轴向变形的影响：（四）组合结构的位移计算组合结构受力特点：1）一部分构件在荷载作用下受弯为主(梁式杆)2）另一部分构件只受轴力(轴力杆)位移计算公式：EIEI梁和刚架：（一）问题的提出5图乘法及其应用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)一、概述图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。（二）适用条件1.结构的每根构件均为直杆2.各构件EI分别为常数或分段为常数（二）基本思想3.在各构件上M、MP图中至少有一个为直线或分段直线型将M、MP图形的几何参数相乘（图乘），得到位移。图乘法的适用条件是什么?二、图乘公式图乘公式EIO1.图乘法的适用条件。2.ω、yc必须分别取自两个图形。3.yc必须取自直线图形，其位置与另一图形（取面积的图形）的形心对应。4.符号规定：ω与yc位于杆轴同侧时，该段乘积为正。可简称为“同侧相乘为正”。（规定M图画受拉侧）公式说明1.根据拟求位移做单位力状态。2.内力计算。（1）荷载作用下内力图MP。（2）单位力作用下内力图。3.图乘求位移。三、图乘法计算位移的一般步骤验算ACBhhPhll/23l/8hlml/2四、常见M图的面积和形心位置例1：求B端的转角。1.根据拟求位移做单位力状态。2.内力计算。（1）荷载作用下内力图MP。（2）单位力作用下内力图。3.图乘求位移。解:()()若两个弯矩图都是直线图形，则纵坐标yc可取任一图形。

例2：求跨中C点的竖向位移1.根据拟求位移做单位力状态。2.内力计算。（1）荷载作用下内力图MP。（2）单位力作用下内力图。3.图乘求位移。解:()()若MP是曲线，M是折线，则应分段图乘。

对吗？应分段！若图形较复杂，面积或形心不便确定，可分解为简单图形。

H1EI2EI1CABH2PP=11.根据拟求位移做单位力状态。2.内力计算。（1）荷载作用下内力图MP。（2）单位力作用下内力图。3.图乘求位移。解:例4：求C点的水平位移若各段EI不同，则分段图乘。

MPPH2MH2PH1H11.当两图均为直线时，yc不受限。2.若一图是曲线，另一图是折线，应分段图乘。3.若图形较复杂，形心不便确定，可将其分解为简单图形。4.若杆各段EI不同，应分段图乘。5.虚设单位力。求线位移——集中力求角位移——集中力偶求相对位移——一对力五、图乘规律练习、

已知EI

为常数，求C、D两点相对水平位移。lqhqMP解：练习、

图示梁EI

为常数，求中点C的竖向位移。l/2ql/2MP请问：错在啥地方？请问：错在啥地方？l/2ql/2MP解法一l/2ql/2MP解法二温度变化引起的静定结构位移计算温度变化不产生内力，材料只膨胀或收缩，不产生剪应变。§6温度变化引起的静定结构位移计算(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbyTemperatureChanges)一、温度变化对静定结构的影响基本假设：1）结构材料是温度线性材料，即满足：t——温度改变量α——温度系数，温度每升高1摄氏度所引起的材料的线应变。2）若构件两侧温度不相同时，认为温度沿截面是线性变化的；3）沿构件长度方向温度变化规律相同。二、公式推导ds1形心轴处的温度改变量为：形心轴处的线位移为：ds段两端截面相对转动角度：基本假设3t0图面积

图面积注意问题：正负号规定1.根据拟求位移作单位力状态。2.内力计算。单位力作用下结构的弯矩图和轴力图3.利用公式求位移。（注意正负号的判断）1.正负号规则2.t、△t的计算公式说明温度变形引起的形心轴处的伸缩性与轴力引起构件的伸缩性一致时取正号。或温度以升高为正，轴力以拉为正。温度变形引起的伸长侧与弯矩引起构件的受拉侧一致时取正号。三、计算步骤例：求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.解：1.根据拟求位移作单位力状态。2.内力计算。单位力作用下结构的轴力图3.利用公式求位移。（注意正负号的判断）Ni例：试求下图，a所示刚架C点的水平位移。已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上升10°C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，线膨胀系数为。解：

1、根据拟求位移作单位力状态。P=12、内力计算：作出相应的、图。3、利用公式求位移。（注意正负号的判断）1、加工制造误差：一般是指构件的真实长度与设计长度存在差值。式中：l’为实际杆长，l为设计杆长。2、装配误差主要有如下两种形式图中：η为轴线对位误差，φ为角度装配误差。四、加工制造和装配误差的影响如何计算?3、由加工装配误差引起的静定结构位移计算公式正负号选取原则：——构件长度误差为的杆件在单位力下的轴力；——轴线对位误差为处的杆件在单位力下的剪力；——角度装配误差为处，杆件在单位力下的截面弯矩；——构件长度误差为的杆件在单位力下的轴力；——构件长度误差为的杆件在单位力下的轴力；1）为拉力且>0时，或为压力且<0时第一项为正，否则为负；2）当的错位方向与轴线错位方向一致时，第二项取正号，否则为负；3）杆端弯矩与角度装配误差方向一致时，第三项取正号，否则为负。例：图示简支刚架，AB杆较设计长度短2cm，AB杆与BC实际夹角较设计角度小0.05rad，求结构装配后C点离开设计位置的水平距离。单位力作用下：§7线弹性结构的互等定理（ReciprocalTheoryinLinearStructures)一、

功的互等定理（ReciprocalTheoryofWork)在线性弹性体系中，第I状态的外力在第II状态位移上所做的外力虚功，恒等于第II状态外力在第I状态位移上所做的外力虚功。2第II状态第I状态第一个下标表示位移的地点和方向第二个下标表示产生位移的原因21P2△22△12△11△21△22P1△11△21先加广义力P1，后加广义力P2。先加广义力P2，后加广义力P1。由功的互等定理方法一P1P2方法二功的互等定理虚功原理2第II状态第I状态M1Q1N1M2Q2N2功的互等定理说明1、力和位移可以是