《余弦定理》设计2

《余弦定理》教学设计（1）知识梳理余弦定理：(1)形式一：，，形式二：，，，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）题型一根据三角形的三边关系求角例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)＋1)∶(eq\r(3)－1)∶eq\r(10)，求最大角.解：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(eq\r(3)+1)∶(eq\r(3)－1)∶eq\r(10)设a＝(eq\r(3)＋1)k，b＝(eq\r(3)－1)k，c＝eq\r(10)k(k＞0)则最大角为＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f((eq\r(3)＋1)2＋(eq\r(3)－1)2－eq\r(10)2,2×(eq\r(3)＋1)(eq\r(3)－1))＝－eq\f(1,2)∴C＝120°.评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。题型二已知三角形的两边及夹角解三角形例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。求角C的度数；求的长；（3）求△ABC的面积。解：(1)（2）因为，是方程的两根，所以（3）评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。备选题正、余弦定理的综合应用例3.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,。所以…………………①又，，即由正弦定理得，故………②由①，②解得。评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.例3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：。证明：由余弦定理知：，则，整理得:，又由正弦定理得:，，评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明确证明思路，都化为边的关系或都化为角的关系。.点击双基1．在△ABC中，若a=2,b=2EQ\r(,2),c=EQ\r(,6)+EQ\r(,2),则∠A的度数是()(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°解：=，A=30°答案：A2．在△ABC中，若则()A．B．C．D．解：答案：B3.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.答案：C4．在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。解：∶∶∶∶∶∶，令答案：5.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝.解：由余弦定理可得，∴答案：课后作业1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．解：设中间角为，则为所求答案：B2.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形解：长为6的边所对角最大，设它为，则答案：A3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A. B. C. D.解：设顶角为C，因为，由余弦定理得：答案：D4.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（）A. B. C.或 D.或解：由得即,又B为△ABC的内角，所以B为或答案：D5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．解：，为最大角，答案：C6.在中，，则三角形为（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解：由余弦定理可将原等式化为答案：C7.的内角的对边分别为，若，则等于（）A． B．2 C． D．解：由余弦定理得，，6=a+2+aa=或-2（舍去）答案：D8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（）A.52 B. C.16 D.4解：由题意得或2（舍去）答案：B二．填空题9.△ABC中，若，则A=解：=A=答案：10．在△ABC中，若则△ABC的形状是_________。解：为最大角，为锐角答案：锐角三角形11．在锐角△ABC中，若，则边长的取值范围是_________。解：答案：三．解答题12.在△ABC中：(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；(3)已知a＝3eq\r(3)，c＝2，B＝150°，求b；(4)已知a＝2，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)＋1，求A.解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得a2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a＝7.(2)由cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)得cosB＝eq\f(202＋212－292,2×20×21)＝0，∴B＝90°.(3)由b2＝a2＋c2－2accosB得b2＝(3eq\r(3))2＋22－2×3eq\r(3)×2cos150°＝49，∴b＝7.(4)由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)得cosA＝eq\f(（eq\r(2)）2＋（eq\r(3)＋1）2－22,2eq\r(2)（eq\r(3)＋1）)＝eq\f(eq\r(2),2)，∴A＝45°.13