圆锥网线引入课之众“设”纷纭1

妥善协调各方面的利益关系

正确处理人民内部矛盾

授课人：黄静中共云南省委党校圆锥曲线引入课之众“设”纷纭

学习案例

方案一由平面载圆锥得到载口曲线引入

我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面载圆锥，载口曲线是一个圆。如果改变平面与圆锥曲线的夹角，会得到什么图形呢？

用一个不垂直于圆锥的轴的平面载圆锥，当平面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的曲线，这是怎样一些曲线？

初中时同学们已经从平面几何的视角对圆进行了学习，高一时又从方程的视角对圆进行了再次研究，在接下来的学习中我们将对另外三种圆锥曲线进行类似的研究。

这些曲线分别是椭圆、抛物线和双曲线。(通过图形演示）

我们通常把圆、椭圆、抛物线和双曲线统称为圆锥曲线。方案二由动点成线的运动观点引入

实验1：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离并固定在图板的两点A、B处，套上铅笔，拉紧绳子，移动铅笔，探究此时笔尖画出的轨迹。（演示）

实验2：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在图板的两点A、B处，把笔尖放在拉链头处，随着拉链逐渐拉开或闭拢，思考笔尖将画出怎样的图形。（演示）

实验3：取一条有弹性的皮筋，把它的一端绑定在图板上的，在一根滑轨L内可移动的小油轮N上，另一端固定在滑轨旁边的一点F处，将铅笔放在皮筋中点处，然后不同程度地拉伸皮筋，保持铅笔两侧的皮筋长相等，移动铅笔，这时笔尖画出的又是什么曲线。（演示）方案三由生活情境蕴涵和科学知识引入

实例1：电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是一个旋转椭圆面，为了使片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，一般将灯丝F2与片门F1置于条椭圆的两个焦点处。（并画出草图）

实例2：生活中人们所用的手电筒，能让一只很小的灯泡发出的射向各方的光，经过适当的调节，射出一束较强的平行光线，这其中起主要作用的是装在小灯泡后面的一个旋转转抛物面状的反光镜。（并画出草图）

实例3：摄影师在室内拍照时，由于自然光线不足，常常需要借助闪光灯或其它照明灯具。为了获得足够的亮度，又使光线尽可能的柔和，摄影师所用的室内灯的反射镜面专门做成双叶旋转双曲面的形状，并让灯丝恰好位于焦点处。（画出图形）

这三个实例都是学生在生活中耳闻目见的，其中蕴藏着怎样的科学原理？学生一定会在惊讶于这些情境的同时，迫切地希望通过学习弄个水落石出。教师则趁机给出待研究的课题：这些例子中包含着即将学习的圆锥曲线的有关知识，而且都用到圆锥曲线具有的奇妙的光学性质。XYABMO方案五

由类比推理原理从原有认识生成引入

类比1（由圆类比椭圆）圆是平面内与定点距离等于定长的点组成的图形。那么，如果将一个定点改为两个定点，将定长改为到两定点距离等于之和为定长，这样的点将组成怎样的平面几何图形？

类比2（由椭圆类比双曲线）椭圆是平面内与两定点距离等于之和为定长（大于两点间距离）的点的集合。那么，如果将“距离之和”改为“距离之差”（小于两点间距离），进而改为“距离之差的绝对值”（小于两点间距离），满足条件的点的集合组成什么样的曲线？

类比3：（由椭圆、双曲线类比抛物线）椭圆、双曲线是平面内到两定点的距离满足一定条件的点的集合。那么，如果将两个定点改为一个定点与一条定直线（定点不在定直线上），将距离之和或之差改为距离相等。这样的点的集合又组成什么图形？AOQPIAOQPIFMDIABF

评析：这种引入方式用一种统一的形式展示了“圆锥曲线”得名的缘起，让学生在一个立方体几何图形情境中体验解析几何研究对象的相互关系。

学生“开门见山”地认识了一个圆锥曲线大家庭，为依次研究其中的每位“家庭成员”的个体特征做了自然的铺陈。同时教师重视并合理使用教材的章头图及引言，无形中也向学生传达了重视教材、深挖内涵的求知信号。但由于“截”是一个动态的过程，要让学生建构起“截口曲线”的概念，需要借助几何画板等工具加以展现。

评析：这种引入方式具有较强的可操作性，所用工具简单易得，每位学生都可以独立制作实践。通过这组实验，学生可形成对圆锥曲线的直观认知印象，同时也将运动观点下的“曲线是由动点生成的轨迹”这一几何特质在实践中得到内化。当然，实验的效果取决于“操作”的精度，稍有不“慎”，就可能产生一组“牵强附会”的圆锥曲线，这是教学中需要引起注意的。

评析：这种引入方式的最大亮点是能够很大程度地激起学生的求知欲，使学生情不自禁在于平凡中见“神奇”，真正起到情境设计在引入教学中的作用。事实上，奇妙的光学性质背都蕴涵着奇妙的数学关系。而圆锥曲线是所有曲线中最常见的，它有着极其广泛的用途。上述应用只是圆锥曲线在生活中的部分体现。这些光学性质均源于它的切线和法线的性质。并且都可以通过解析几何知识加以证明。考虑到上述实例其实只给出了“旋转圆锥曲面”的形象。因此，教师要花功夫“引导性”地“提取”包含其中的圆锥曲线，才能顺利过渡到教学需求。

评析：这种引入方式实质上是“借题发挥”，让学生经历前面所学的“曲线与方程”的解题训练，并在教师引导下观察分析问题条件间的联系，产生对相关结论的联想，为随后逐次揭开圆锥曲线的“面纱”，以及最终由圆锥曲线的“统一定义”予以系统解释提供铺垫。当然，这种基于由数（方程）导形（曲线）思想方式，较之由形（曲线）生数（方程），能否显得更自然，需要教师在教学中加以斟酌。

评析：这种引入方式即着重于从条件的类比变化探求新曲线的产生，包含了数学学习的发散思维，也渗透了数学研究的渐变思想；同时站在集合观点下解剖圆锥曲线是怎样由点组成的感知。在教师引导下，学生已然在“潜移默化”中经历了一个重新认识旧知识到创新衍生新知的知识探求历程。对于类比基础较好的学生，经过老师的点拨，应该能达到预设的效果，否则，要想这一引入成为自然需要老师有较高的引领水平和艺术。

评析：这种引入方式是让学生从熟悉的平面几何情境中，思考推导出动点所满足的几何条件，激发进一步探索所得曲线几何特性的兴趣。教师借此由平面几何导入解析几何，既能让学生深刻体会两部分内容之间的内在联系，感情人“浑然天成”之味，又能让学生在学习新知的同时温故旧知，有一举两得之益。与方案4类似，选择这个方案需要老师解决好一个问题，如何顺畅地实现先的数（方程），再去分析研究对应的形（曲线），才能优化教学。

评析：这种引入方案中的折纸游戏，只需要学生按指定规则进行操作，简便易行，对学生来说很具吸引力，折纸实验形成的圆锥曲