医药高等数学1.1函数

第1章函数、极限与连续

1.1函数1.2极限1.3连续1/31/20231医药高等数学1.1.1

实数、区间与邻域1.1函数1.1.2

常量与变量1.1.3

函数的定义隐函数单值函数和多值函数函数的定义1/31/20232医药高等数学1.1.4

反函数基本初等函数奇偶性初等函数单调性复合函数有界性周期性1.1.6

分段函数1.1.7

函数的简单性质1.1.5

初等函数1.1函数1/31/20233医药高等数学1.1.1实数、区间与邻域

1.实数实数由有理数和无理数两部分组成，全体实数可以用数轴上点的坐标来表示，每一实数构成的集合称为实数集。实数必是数轴上某一点的坐标，反之，数轴上没一点的坐标必是一个实数。每一实数集与数轴上的全体点形成一一对应的关系。1/31/20234医药高等数学2.区间区间是指介于某两个数之间的全体在数轴上，区间是介于某两个点之间实数，而这两个数叫做区间的端点。的一条线段上点的全体，两点间的距离也就是线段的长度，称为区间的长度。区间可以分成以下几类：开区间，闭区间，半开区间1/31/20235医药高等数学上述区间都称为有限区间.如果区间的两个端点中至少有一个是(无限数）例如则称该区间为无限区间。都是无限区间.全体实数构成的集合R可记作也是无限区间在以上区间中，由于a，b是两个实数，因此1/31/20236医药高等数学3.邻域我们把以点为中心，某一很小的正数称为在后面的章节中经常会用到一种特殊的开为半径的开区间区间，称之为邻域。的邻域，其中点，即记为称为该邻域的中心，称为该邻域的半径。正数1/31/20237医药高等数学将点的全体，即的一切点x距离小于表示与点邻域邻域，记为的去心所得到的的实数全体，称为点邻域中去掉中心点，即称为称为其中的1/31/20238医药高等数学1.1.2常量与变量

1.常量在某一现象或过程中始终保持同一数值不变的量称为常量。1/31/20239医药高等数学2.变量在某一现象或过程中量有变化，可以取不注意一个量是常量还是变量不是绝的，同的数值，这种量称为变量。常量与变量是相对“场合”而言的。1/31/202310医药高等数学1.1.3函数的定义1.函数的定义数集D叫做这个函数的定义域因变量自变量1/31/202311医药高等数学注意：函数的两要素为：定义域和对应法则两个函数f(x)，g(x)相等是指：它们定义域相同，且对于定义域内任意一点x，都有f(x)=g(x)1/31/202312医药高等数学（1）函数的定义域的确定函数的定义域D通常按以下两种情形确定：①当函数是用抽象的算式（解析式）表达②当函数在实际中应用时，其定义域不仅要使构成的集合。时，其定义域是使算式有意义的一切实数函数的表达式有意义，还要有实际意义来确定。其定义域是1/31/202313医药高等数学对应法则---函数的表示法列表法图像法解析法（2）函数对应法则的表达形式1/31/202314医药高等数学函数的表达主要是用解析法，下面举一个解析法表达的函数例

假设16岁以上的成年人每天服用某药物的剂该函数的定义域是，但在定义域的不同区间上，函数关系是用两个解析式表示的。量Q是2mg，而16岁以下的未成年人每天服用该药物的剂量Q与年龄t成正比，比例系数为0.125mg/岁，则剂量Q与年龄t的函数关系为1/31/202315医药高等数学2.单值函数和多值函数在函数定义1-1中，如果自变量x在D内任取一个值，对应的函数值y总是唯一的，这样的函数又确定了一个称为单值函数，否则称为多值函数注意：在本书中，若无特殊说明，所称的函数例如在方程都有两个y值与之对应中，对于每一个以x为自变量、y为因变量的多值函数.因此，方程都是单值函数.1/31/202316医药高等数学3.隐函数称这种方式表达的函数为显函数。如果因变量y是用x的明显表达式表示出来的，而有些函数的表达方式却不是这样，因变量与系隐含在这个方程中，这样的函数称为隐函数。自变量的对应关系是由一个方程确定的，函数关都是隐函数.例如1/31/202317医药高等数学如果变量y与x满足一个方程那么就说方程当变量x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的y值与之对应，在该区间内确定了以x为自变量y为因变量的隐函数.在一定条件下，有些隐函数可以化成显函数，但显化有时很困难，甚至不可能。1/31/202318医药高等数学1.1.4反函数定义1-2量，哪个是因变量并不是绝对的，要根据所研究一个叫做因变量，但在实际问题中，哪个是自变的具体问题而定。在函数定义中的两个自变量，一个叫做自变量，反函数的一般定义如下：都有唯一的且满足如果对于每一个设f(x)是定义在D上的一个函数，值域为W.1/31/202319医药高等数学关系式x

的与之对应，则确定了一个定义在W上、以y为自变量、x为因变量的新函数，称为y=f(x)

的反函数，记为互为反函数而原来的函数y=f(x)称为直接函数，或称它们我们通常用x表示自变量，y表示因变量这时我们说因此，可以把改写为是y=f(x)的反函数。1/31/202320医药高等数学表示变量y和x的同一种函数关系，y=f(x)和的图形以y=x为轴翻转它们的图形是同一条曲线；

y=f(x)

注意：就得到的图形.也就是说它们的图形是关于y=x对称。1/31/202321医药高等数学见图1-1图1-11/31/202322医药高等数学例求下列函数的反函数：由改变变量的记号，即得到反函数为：由y=5x+6，解得（1）y=5x+6，解得改变变量的记号，即得到反函数为：解：（2）（1）1/31/202323医药高等数学注1：并不是任何函数y=f(x)

都有反函数，因为对于y的某些值，满足y=f(x)这一条件的x值可能不止一个.有些函数的反函数存在，但不一定能够注2：用一个显函数表示出来，即由y=f(x)可能解不出x=g(y),

但反函数存在，这时y=f(x)

的反函数表示为隐函数形式.1/31/202324医药高等数学1.1.5初等函数1.基本初等函数2.复合函数3.初等函数

1/31/202325医药高等数学幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六类函数：1.基本初等函数常函数、1/31/202326医药高等数学1.基本初等函数常函数常函数的定义域为它的图形是一条水平直线。1/31/202327医药高等数学幂函数幂函数的定义域依例如而定，的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为但不论取何值，当x>0时，它总是有定义的，其图象都经过(1,1)点.为实数与与1.基本初等函数1/31/202328医药高等数学幂函数为实数1.基本初等函数1/31/202329医药高等数学1.基本初等函数1/31/202330医药高等数学指数函数不论a为何值，函数图象均经过(0,1)点.定义域值域当a>1时，ax单调增；当0<a<1时，ax单调减.1.基本初等函数1/31/202331医药高等数学对数函数不论a为何值，函数图象均过(1,0)点.定义域值域当a>1时，logax严格单增；当0<a<1时，logax

严格单减.1.基本初等函数1/31/202332医药高等数学三角函数常用的包括以下几种：有界函数(1)正弦函数y

=sinx.定义域值域奇函数，周期1.基本初等函数1/31/202333医药高等数学有界函数（2）余弦函数

y

=

cos

x.定义域值域偶函数，周期1.基本初等函数1/31/202334医药高等数学（3）正切函数

y=tanx定义域值域奇函数，周期1.基本初等函数1/31/202335医药高等数学（4）余切函数

y=cotx定义域值域奇函数，周期1.基本初等函数1/31/202336医药高等数学反三角函数反三角函数是三角函数的反函数.由于三角函数都是周期函数，故对于值域的每个y

值，与之对应的x值有无穷多个，因此，在三角函数的整个定义域上，其反函数是不存在的,必须限制在三角函数的单调区间上才能建立反三角函数.1.基本初等函数1/31/202337医药高等数学记为故其反函数存在，称此反函数为反正弦函数奇函数，单调增.（1）反正弦函数正弦函数

y

=sinx，在上单调增，定义域值域1.基本初等函数1/31/202338医药高等数学记为故其反函数存在，称此反函数为反余弦函数,单调减.（2）反余弦函数余弦函数

y

=

cos

x，在上单调减，其定义域值域1.基本初等函数1/31/202339医药高等数学（3）反正切函数记为故其反函数存在，称此反函数为反正切函数，奇函数，单调增。正切函数

y

=tanx，在上单调增，其定义域值域1.基本初等函数1/31/202340医药高等数学（4）反余切函数记为故其反函数存在，称此反函数为反余切函数单调减.余切函数

y

=cotx，在其定义域值域上单调减，1.基本初等函数1/31/202341医药高等数学2.复合函数掌握：

复合

↔分解

f(u)称为外函数，g(x)称为内函数，u称为中间变量.1/31/202342医药高等数学例（1）设则故与可以复合成复合函数：复合注两个函数y=f(u)与u=g(x)可复合成复合函数当且仅当1/31/202343医药高等数学注（2）设则故与不能复合成复合函数.求两个函数的复合函数，实际上就是将外函数表达式中的自变量用内函数表达式来代替，从而得到复合函数的表达式.1/31/202344医药高等数学例

已知求

f(x－1),f(－x)解：已知外函数和内函数，求复合函数的问题，直接代入即可.1/31/202345医药高等数学解：

故有求

f(x).令解得反函数为因为从而例已知1/31/202346医药高等数学解例1/31/202347医药高等数学综上所述1/31/202348医药高等数学把一个复合函数分解成几个简单的函数很重要，分解的关键是分解出来的简单函数都是基本初等函数或是由基本初等函数经过四则运算得到的函数(简单函数）．分解将下列复合函数分解为简单函数例#1/31/202349医药高等数学3.初等函数由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合所得到的且仅用一个解析式表示的函数，统称为初等函数.本书中讨论的函数基本上都是初等函数．例如：注并非所有函数都是初等函数.1/31/202350医药高等数学1.1.6分段函数在定义域的不同部分内用不同的解析式表示的函数，称为分段函数。但这也不是绝对的，例如分段函数一般不是初等函数.1/31/202351医药高等数学注用解析式表示函数，并不要求函数在整个集上，函数表达式不一样.如例中的符号函数y=sgnx

这样的函数称为分段函数.定义域D上有统一的解析表达式，在D不同子#1/31/202352医药高等数学注2分段函数的解析式不只一个，但它是一个函数，其定义域是各段之并.

图象分段就是分段函数.分段函数的图像应分段作出，但不要认为#1/31/202353医药高等数学5.函数的简单性质（1）单调性（2