高等几何 总复习

第一章仿射几何学的基本概念第二章欧氏平面的拓广第三章一维射影几何学第四章德萨格定理、四点形与四线形第五章射影坐标系和射影变换第六章二次曲线的射影性质第七章二次曲线的仿射性质第八章二次曲线的度量性质

《高等几何》章节目录1第一章仿射几何学的基本概念

1.1平行射影与仿射对应

1.2仿射不变性与不变量

1.3平面到自身的透视仿射

1.4平面内的一般仿射

1.5仿射变换的代数表示2第一章总结本章主要内容透视仿射（平行射影）仿射性、仿射量、仿射图形仿射的确定代数表达式3透视仿射（平行射影）透视仿射→仿射（透视仿射链）（平行射影）直线到直线平面到平面，平面到自身4仿射性：同素性、结合性、平行性→相切性仿射性、仿射量、仿射图形仿射图形：平行四边形、梯形仿射量简比平行线段的比→同一直线上任两线段之比。面积比关于点的对称三角形的中线和重心线段的中点→5透视仿射由对应轴和其外一对对应点完全确定。三对不共线的对应点确定唯一的仿射变换。仿射的确定确定的涵义：已知：已知：6代数表达式特例推导仿射性、仿射量7代数表达式8本章主要讲授了如下的内容：1.中心投影（透视）为了保证直线到直线的中心投影、平面到平面的中心投影是双射，引入理想元素（无穷远点和无穷远线）；对理想元素与普通元素同等对待，这样的观点是射影观点，否则，则为仿射观点。

中心投影保留同素性和结合性。第二章小结92.齐次坐标与对偶原理为了表示理想元素，教材引入了齐次坐标，这为用代数的方法研究几何提供了方便。在射影平面上，只用点线结合表达的全部命题，构成了平面射影几何学。由u·x=0，将u或x分别看作常量，可得点的齐次坐标与线的齐次坐标，由此，得到了点几何学与线几何学。从代数的观点有了对偶原理，这为研究射影几何学起到了事半功倍的作用。第二章小结103.复元素坐标为复数的点或线，称为复元素；若两个复元素的坐标互为共轭复数，则它们称为共轭复元素。特别要注意的是：①一条虚直线上有且只有一个实点；②但是一条实直线上却有无穷多个虚点（这里①②是自对偶命题）；③坐标为I(1,i,0)、J(1,-i,0)的点称为（虚）圆点，一切圆都通过这两点，反之通过这两点的实系数二次曲线一定是圆。因此，在复射影平面上，两个相交的圆有四个交点。第二章小结11点x在直线u上，则在直线上.虚点x在实直线u上，则也在直线u上.当x为虚点，u为实直线实直线u上的虚点成对出现.即有：实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点.对偶命题124.关于图形的射影性质(射影不变性)射影性质射影不变性射影不变量图形在中心射影下保持不变的性质和数量目前已知的射影性质：射影不变性：结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变同素性：点点；直线直线第二章小结13第三章一维射影几何学1.本章主要内容(1)一维几何基本图形：点列或线束：重叠的：共底的点列，共心的线束

——特征：基底元素相同非重叠的：点列与线束，两不共底的点列，两不同心的线束(2)交比点列的交比线束的交比调和比(交比值为-1)交比的定义交比的计算交比的性质141.本章主要内容（3）一维射影对应①定义：②射影对应的代数表达式.③射影变换的二重元素及分类.④射影对应的确定

.透视对应——应用

对合

定义性质代数表达式第三章一维射影几何学15一维射影变换的分类：令μ=μ'

得不变元方程162.射影对应间的关系：透视射影

3.一维射影几何研究的方法代数方法：工具是交比：两个一维几何图形成射影对应的充要条件是：对应四元素交比相等.几何方法：工具是射影：将射影分解为有限个透视之积（见§3.5）.第三章一维射影几何学17一维射影对应b=c对合对应齐次坐标非齐次坐标参数式坐标式18第四章德萨格定理，四点形与四线形4.1德萨格三角形定理一、本节主要内容二、德氏定理三、重要内容例讲4.2完全四点（角）形与完全四线（边）一、平面形二、平面构形三、完全四点形与完全四线形4.3帕普斯定理一、帕普斯定理二、帕普斯定理的应用考试重点：作图题19第五章

射影坐标系和射影变换

5.1一维射影坐标系

5.2平面内的射影坐标系

5.3射影坐标的特例

5.4坐标转换

5.5射影变换

5.6二维射影几何基本定理

5.7射影变换的二重元素（或固定元素）

5.8射影变换的特例

5.9换群

5.10变换群的例证

5.11变换群与几何学200.

射影坐标系要求：会求坐标三角形的三边的方程；会求特殊点的坐标（和方程）、特殊直线的方程（和坐标）；求过已知两点的直线方程、及已知两直线的交点；211.二维射影变换射影变换的确定（二维射影几何基本定理）：无三点共线的四对对应点决定唯一的二维射影变换。222.二重元素的求法步骤：①由特征方程|A-λE|=0,求出特征根;②将每一个特征根λ分别代入方程组(A-λE)x=0，求出固定点的坐标；③将每一个特征根λ分别代入方程组(A’-λE)u=0，求出固定线的坐标.233、三种几何学的特点与比较一般而言，变换群越大，则这些变换下的不变性、不变量就越少，它所对应的几何学的研究对象及研究内容也就少。24相应的变换群射影群仿射群运动群变换式相应几何学射影几何仿射几何欧氏几何基本不变性质结合性平行性合同性基本不变量交比简比距离、角度基本不变图形---------无穷远直线无穷远直线25

第六章二次曲线的射影性质

6.1二阶曲线与二级曲线

6.2二次曲线的射影定义

6.3帕斯卡与布利安双定理

6.4关于二次曲线的极与极线

6.5配极对应

6.6二次曲线的射影分类

6.7二次曲线束及其在解联立方程方面的应用26第七章二次曲线的仿射性质

7.1二次曲线的中心和直径

7.2二次曲线的渐近线

7.3二次曲线的仿射分类

7.4例题

第八章二次曲线的度量性质

8.1圆点

8.2主轴与焦点27二次曲线掌握二次曲线的射影定义、性质；二次曲线的仿射分类；能根据方程判断曲线的类型；根据系数矩阵判断曲线是常态还是变态的配极原则；会求二次曲线的已知点的极线、已知直线的极；理解迷向直线、中心、直径、共轭直径、渐近线、主轴、焦点、准线的概念；拉盖尔定理及推论；两直线垂直的充要条件。28圆的主轴是任一直径抛物线的主轴是

其中心关于两个圆点的调和共轭点的极线

椭圆和双曲线只有一对主轴，它们是

两条渐近线所成角的平分线

二次曲线Γ的中心——直径——共轭直径——渐近线——主轴——无穷远直线关于Γ的极。一直径通过另一直径的极，此二直径称为共轭直径。无穷点关于Γ的极线。二次曲线Γ与无穷远直线交于两点T、T’，以T、T’两点为切点的切线称为Γ的渐近线.换言之，渐近线就是Γ上的无穷远点的极线。渐近线也是直径、是自共轭直径圆的主轴是

，抛物线的主轴是

，椭圆和双曲线只有一对主轴，它们是

。l∞O说说抛物线的中心、直径，抛物线有没有共轭直径？有没有渐近线？l∞C∞P∞.29作图问题1.过二次曲线上一点作曲线的切线；2.过二次曲线外一点作曲线的切线；3.作二次曲线的极线；4.作二次曲线上的点（已知5点）5.已知三点，求作第四点成调和点列已知三线，求作第四线成调和线束30u例

作不在曲线上的已知点v关于的极线．§6.4关于二次曲线的极与极线I.作已知点的极线四、应用abcdwv31§6.4关于二次曲线的极与极线uΓxy例3.过不在曲线上的已知点u，作的切线．作法一：

1)由极线作法，先作出u的极线，与曲线交得二点x，y；

2)x，y分别与u连线，则得切线．．32§6.4关于二次曲线的极与极线例

过不在曲线上的已知点u，作的切线．作法二：如图.过P任作三割线,可得切线.．33(ⅰ)过点Ｃ任作一直线ｃ,于其上任取两点Ｑ和Ｓ；

(ⅱ)作点Ｒ=AS×BQ，

T=AQ×BS;(ⅲ)连ＲＴ交直线AB于Ｄ，则Ｄ为所求作。应用：调和比的作图①设已知共线三点A、B、C,求作点D，使(AB,CD)=-1证明：由所作，QTSR为一完全四线形，由完全四线形的调和性质，即知（AB,CD）=-1作法一34§6.3帕斯卡与布利安双定理应用举例1P(5≡6)432例5（习题6.8）已知一条二次曲线上五个点，求作曲线在其中一点处的切线．

作法见下图：——应用Pascal定理和Brianchon定理作图........ACB35计算问题1.求交比2.求二重元素：点（不变点、二重点、固定点）直线（不变直线、二重直线）；3.求一点（线）关于二次曲线的极线（极）、切线；4.根据已知条件求变换式（仿射变换、一维射影变换）5.求二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线6.已知二次曲线的点坐标（线坐标）方程求其线坐标（点坐标）方程36§7.1二次曲线的中心和直径求已知点y(y1,y2,y3)极线已知直线求极37求二次曲线的中心，直径及其共轭直径.

§7.1二次曲线的中心和直径一直径上的无穷远点的极线称为此直径的共轭直径.38§7.2二次曲线的渐近线三、如何求渐近线的方程②写出渐近线方程：分解为两个一次方程方法3：①求中心③将X、Y作代换就得渐近线方程.39判断证明问题1.判断证明二次曲线的类型、是否常态2.判断一维射影对应、对合对应的类型3.应用高等几何知识证明平面几何问题40二次曲线的射影分类一对重合直线：x12

0一对实直线：x12

x22

0一对虚直线：x12

x22

0实二阶曲线：x12

x22

x32

0虚二阶曲线：x12

x22

x32

0二阶曲线常态：秩为3秩为2秩为1变态奇异点情况无一个无数多个、直线41Γ为双曲线抛物线.椭圆二次曲线的仿射分类42一维射影变换的分类：令μ=μ'

得不变元方程43一维射影对应b=c对合对应齐次坐标非齐次坐标参数式坐标式对于上