机器人学-运动学部分-2010-3-16

齐次坐标和齐次变换知识点：

点和面的齐次坐标和齐次变换三个基本旋转矩阵齐次变换的几何意义绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。绕任意轴旋转，5步顺序透视变换第三章机器人运动学

机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运动作为时间的函数进行分析研究，而不考虑引起这些运动的力和力矩也就是要把机器人的空间位移解析地表示为时间的函数，特别是研究机器人关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间的关系本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的基本问题。

§3.1机器人运动学所讨论的问题

§3.1.1研究的对象机器人在基本机构形式上分为两种，一种是关节式串联机器人，另外一种是并联机器人，如图：

PUMA560HexapodFanucmanipulator这两种机器人有所不同：串联机器人：工作空间大，灵活，刚度差；负载小，误差累积并放大。并联机器人：刚性好，负载大，误差不积累；工作空间小，姿态范围不大。本章讲解以串联机器人为主。

运动学研究的问题Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:Choosetheseangles!运动学正问题运动学逆问题研究的问题:运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐次变换问题）。运动学逆问题---已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？逆§3.2机器人杆件，关节和它们的参数

§3.2.1杆件，关节操作机由一串用转动或平移（棱柱形）关节连接的刚体（杆件）组成每一对关节杆件构成一个关节—自由度，因此N个自由度的操作机就有N对关节-杆件。0号杆件（一般不把它当作机器人的一部分）固联在机座上，通常在这里建立一个固定参考坐标系，最后一个杆件与工具相连关节和杆件均由底座向外顺序排列，每个杆件最多和另外两个杆件相联，不构成闭环。

关节杆件末端操作手机座两自由度关节：一般说来，两个杆件间是用低付相联的只可能有6种低付关节：旋转（转动）、棱柱（移动）、圆柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋转和棱柱形关节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所示：旋转棱柱形柱形球形螺旋形平面§3.2.2杆件参数的设定

条件关节串联每个杆件最多与2个杆件相连，如Ai与Ai-1和Ai+1相连。第i关节的关节轴Ai

位于2个杆件相连接处，如图所示，i-1关节和i+1关节也各有一个关节轴Ai-1

和Ai+1。AiAi+1Ai-1杆件参数的定义——和

li

关节Ai轴和Ai+1轴线公法线的长度关节i轴线与i+1轴线在垂直于li

平面内的夹角，有方向性,由Ai转向Ai+1，由右手定则决定正负

由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的结构形态不变。这种形态由两个参数决定，一是杆件的长度

li，一个是杆件的扭转角

AiAi+1杆件参数的定义——和

Li和Li-1在Ai轴线上的交点之间的距离

Li和Li-1之间的夹角，由Li-1转向Li，由右手定则决定正负，对于旋转关节它是个变量确定杆件相对位置关系，由另外2个参数决定，一个是杆件的偏移量，一个是杆件的回转角

AiAi+1Ai-1移动关节杆件参数的定义确定杆件的结构形态的2个参数Li与αi与旋转关节是一样的。确定杆件相对位置关系的2个参数则相反。这里θi为常数，di为变量。上述4个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位置关系，在转动关节中，Li,αi,di是固定值，θi是变量。在移动关节中，Li,αi,θi是固定值，di

是变量。§3.3机器人关节坐标系的建立对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐标系（xi,yi,zi），（i=1,2,…,n），n是自由度数，再加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。基座坐标系定义为0号坐标系（x0,y0,z0）,它也是机器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和方向可任选，但轴线必须与关节1的轴线重合，位置和方向可任选；最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，但必须保证与垂直。机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终端之间的相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性的工作。为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一种为运动链中每个杆件建立附体坐标系的矩阵方法（D-H方法），建立原则如下：

D-H关节坐标系建立原则右手坐标系原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线Yi轴：按右手定则关节坐标系的建立原则AiAi+1Ai-1原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线Yi轴：按右手定则

杆件长度Li

—沿xi

轴，zi-1轴与xi

轴交点到0i的距离

杆件扭转角αi

—绕xi轴，由zi-1转向zi

杆件偏移量

di

—沿zi-1轴，zi-1轴和xi交点至∑0i–1坐标系原点的距离

杆件回转角θi

—绕zi-1轴，由xi-1转向xi两种特殊情况两轴相交，怎么建立坐标系？0i—Ai与Ai+1关节轴线的交点；Zi—Ai+1轴线；Xi—Zi和Zi-1构成的平面的法线；Yi—右手定则；AiAi+1oizi-1zixiyi两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？先建立∑0i-1然后建立∑0i+1最后建立∑0i注意：由于Ai和Ai+1平行，所以公法线任意点在A点位置；按照先前的定义，di为Oi-1点和A点之间的距离，di+1为B点和C点间的距离，这样设定可以的，但我们可以变更一下，将0i点放在C点，定义Oi在Li+1和Ai+1轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此时di=相邻关节坐标系间的齐次变换过程

——机器人运动学正解将xi-1轴绕zi-1轴转i

角度，将其与xi轴平行；沿zi-1轴平移距离di

，使xi-1轴与xi轴重合；沿xi轴平移距离Li，使两坐标系原点及x轴重合；绕xi

轴转i角度，两坐标系完全重合．AiAi+1Ai-1

根据上述坐标系建立原则，用下列旋转和位移我们可以建立相邻的Oi-1和Oi

坐标系之间的关系机器人的运动学正解方程

D-H变换矩阵==机械手的坐标变换图如图所示，机械手的末端（即连杆坐标系i）相对于基座坐标系0的描述用oT6表示，即：0zA1A2A3A4A5A60EX0T61T62T63T64T65T6机械手的坐标变换图机器人的运动学正解方程§3.4例题试求立方体中心在机座坐标系∑0中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于∑0的姿态是什么？

在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。xyz解1：因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。解2：X机运动学第二次课举例：Stanford机器人A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5d3z6x6y6O6d6z0y0x0O0为右手坐标系原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：Zi和Zi-1构成的面的法线Yi轴：按右手定则Li—沿xi

轴，zi-1轴与xi

轴交点到0i的距离αi—绕xi轴，由zi-1转向zidi

—沿zi-1轴，zi-1轴和xi交点至∑0i–1坐标系原点的距离θi—绕zi-1轴，由xi-1转向xi解：

工作空间工作空间:

末端操作手可以到达的空间位置集合如何获得工作空间:

利用正运动学模型,改变关节变量值可达空间:

末端操作手可以至少以一个姿态到达的空间位置集合灵活空间:

末端操作手可以以任何姿态到达的空间位置集合如何确定可达空间?首先，令

3变化

示例:平面3连杆机器人l2l3l1然后

2变化最终，变化1§3.5机器人末端操作器位姿的其它

描述方法用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要9个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，φ、θ、ψ就是这种广义坐标。有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中

3种最常见的欧拉角类型步1步2步3类型1绕OZ轴转φ角绕当前OU'轴转θ角绕当前OW″轴转ψ角类型2绕OZ轴转φ角绕当前OV'轴转θ角绕当前OW″轴转ψ角类型3绕OX轴转φ角绕OY轴转θ角绕OZ轴转ψ角φφφu′v′w′①x(u)y(v)z(w)oθu"v"θw"②u׳׳׳③ψψψv׳׳׳W׳׳׳类型1：表示法通常用于陀螺运动类型2：所得的转动矩阵为右乘

类型2绕OZ轴转φ角绕当前OV'轴转θ角绕当前OW″轴转ψ角类型3：一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）这种形式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为类型3绕OX轴转φ角绕OY轴转θ角绕OZ轴转ψ角正运动学问题:

已知关节角度或位移，计算末端操作手的对应位姿.逆运动学问题:

已知末端操作手的位姿，求解对应的关节变量.为什么逆运动学问题更困难?可能存在多解或无解通常需多次求解非线性超越方程§3.6运动学逆问题解的存在性目标点应位于工作空间内可能存在多解，如何选择最合适的解？存在双解!

求解方法如果各关节可用某算法获得，一个机械手是有解的.算法应包含所有可能解.封闭形式解（解析解）数值解方法我们对封闭形式的解法更感兴趣

代数方法

几何方法可解性的重要结论是：所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，其通解一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大。但在某些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0或90°的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解。为使机器人有解析解，一般设计时，使工业机器人足够简单，尽量满足这些特殊条件。对于给定的机器人，能否求得它的运动学逆解的解析式（也叫封闭解）。

运动学逆问题的可解性

运动学逆问题的多解性机器人运动问题为解三角方程，解反三角函数方程时会产生多解.显然对于真实的机器人，只有一组解与实际情况最相对应，因此必须作出判断，以选择合适的解。通常采用如下方法剔除多余解：若该关节运动空间为，则应选。

1．根据关节运动空间选取合适的解。例如求得机器人某关节角的两个解为

2．选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：若该关节运动空间为，且，则应选3．根据避障要求，选择合适的解4．逐级剔除多余解对于具有n个关节的机器人，其全部解将构成树形结构。为简化起见，应逐级剔除多余解。这样可以避免在树形解中选择合适的解。迭代法——计算量大几何法——适用于自由度较少的情况反变换法运动学逆问题解法用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边考察方程式左、右两端对应元素相等，以产生一个有效方程式，理论上可得到12个方程。然后求这个三角函数方程式，以求解未知数把下一个未知数移到左边重复上述过程，直到解出所有解缺点：无法由数种可能的解中直接得出合适的解，需要通过人为的选择运动学逆问题解法—反变换法Paul等人提出的方法(1981年，也叫求逆的方法，是解析解):

Paul等人提出的方法因此，通常用四象限的反正切函数来确定值，其象限定义为：此时不能用反余弦来求解关节角，因为这样求解不仅关节角的符号不确定（），而且角的精度也难以保证（，即角度变化引起的值变化不大）。运动学第三次课解：由式中矩阵（1，3）元素相等，有例2：斯坦福机器人运动学逆问题解式中：

由两端矩阵对应元素相等可得：

作三角变换：

式中：

得到：

即有：

（）由1,4和2,4元素对应相等，得：

式中第四列：

式中第三列：高腕低腕z4x4O4z5y5x5O5取前一个采样点的值5几何解法（适用于少自由度）原则:将原始空间几何问题转化为若干个平面几何问题．xyL1L2应用“余弦定理”:x2+y2=l12+l222l1l2cos(1802)2

几何解法(续)则有:xy再次利用余弦定理得到:

l22=x2+y2+l12-2l1(x2+y2)cos

即

cos

=(x2+y2+l12-

l22)/2l1(x2+y2)在0180°范围内求解，最后利用1=转换为多项式1通常超越方程难以求解，因为变量

通常以cos(

)

或

sin(

)

的形式出现.可以转换为变量

u=tan(/2)的多项式，

然后利用下式求解:

cos()=(1-u2)/(1+u2)sin()

=2u/(1+u2)§3.7微动矩阵和微动齐次变换对象:

微动矩阵主要是描述机器人在微动范围内各关节的位移运动关系定义:

各关节当角度转动小于5°，平移在0.1mm以下时，微动矩阵大致可用用途：误差补偿、微驱动、微操作……设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的齐次变换为oTN，做微动，①绕任意轴w轴转；②绕各坐标轴平移dx,dy,dz

求：在中的位置和姿态.

定义为微动齐次变换矩阵

在忽略高次项的情况下：微动齐次变换与次序无关因此说，微动齐次变换与次序无关§3.7.2微动平移和微动旋转的齐次变换平移：旋转R，绕通过原点的任意轴旋转角:在微动范围内绕任意轴转动角,可以看作绕x,y,z轴的微转动的合成。因此：因此：因此微动率△=微动的齐次变换：dT=△•T

己知变换矩阵转动：

平移：求dT解：反过来：如果我们要求Σ在Σ中的齐次交换矩阵为实际测得的为那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？转动：

平移：§3.7.3等效微动位移的求解前面研究的是：动坐标系ΣOn在ΣOo中的变换为T，相对于基准坐标系作微平移和微转动，来求微动齐次变换。现在我们研究：动坐标系ΣOn相对于自身坐标系做了微位移或微转动，达到绕基准坐标同样的效果则如何求解。dT=△•T

（绕基准坐标系）

=T•△T

（绕动坐标系）左乘,绕基准右乘,绕动坐标轴强调等效设：有：sna研究绕自身轴的微动率△Τ和绕固定坐标系坐标轴的微动率△之间是什么关系，举例说明：

例：一动坐标系相对于固定坐标系的齐次变换为nsap己知相对固定坐标系的微动平移和转动求：①△与△Τ

②求dT③求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动解：①△=解②：解③：绕自身平移和转动其结果等于绕固定坐标系转动和旋转等效§3.7.4等效微动变换的普遍形式机器人运动学方程：定义：前一个坐标系当作当前坐标系的基准坐标系Σ相对于Σ是动坐标系,如果Σ相对于Σ产生了一个微动，它的微动齐次变换为那么这么一个微动会对末端执行器产生什么影响？因为对机器人来讲,我们关心的是末端执行器的运动情况。∴∵同理如果Σ相对于Σ产生一个微动有：这是微动齐次变换的普遍形式微动率的求解按照前面讲的等效理论有：

∴这是两个普通形式如机器人末端产生一个误差,如果在别外一个关节上补偿,就要采用上面的方法。说明：如果我们发现末端操作器相对于基准坐标系有了微位移（平移或转动）,我们可以认为末端操作器相对于自己的坐标系发生了微位移。只是微动率△和△Τ不同而己。其结果是等效的。这些在进行误差补偿和微动时有用,如产生误差如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿§3.7.5微动齐次变换的意义§3.7.6误差及误差补偿制造和检测误差运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差—原理性误差构件承受的负载、加速度、重力的变形误差传动误差环境影响误差误差来源：单关节补偿多关节补偿误差补偿：单关节补偿：这是一种精确的求法,这只是一种理想的方法。满足上述补偿实际上是很困难的,有时几乎是不可能的有时用近似方法认为这是理论值认为这是实测值同理：认为这是理论值认为这是实测值这种方法是不精确的,有误差,但是如果能满足精度要求就可以例题按精确的方法计算绕自身坐标系

补偿这是精确的值,可以看出与我们以前做的例题正好相反绕固定坐标系补偿按近似的方法计算多关节补偿：目标为：实际为：忽略高次项，有：∴绕自身同理绕前一个坐标系我们有：∴以ΣOi绕自身为例,为了消除,令多关节做微动由此产生补偿,多关节的微动率为,（绕自身）由于注意：我们在定义D—H坐标系时,Z轴和回转轴重合，因此，绕X,Y是旋转不了的。

因此

又如果都是转动关节,没有移动令得到,按照元素对应相等,求解能够求解。这里是Σi相对于自身的微转角dT=△•T（绕基准坐标系）

=T•△T

（绕动坐标系）左乘,绕基准右乘,绕动坐标轴强调等效微动变换：误差补偿：单关节补偿多关节补偿§3.8并联机器人运动学参考教材：燕山大学黄真

《并联机器人机构学理论及其控制》§3.8.1

什么是并联机器人并联机器人机构可以严格定义为：上，下平台用2个或2个以上分支相连，机构具有2个或2个以上的自由度，且以并联方式驱动的机构称为并联机器人机构。从广义机构学的角度出发，只要是多自由度的，驱动器分配在不同环境上的多环路机构都可称之为并联机构，如步行机器人，多指手爪等。并联机器人和串联机器人的比较表比较项目并联机器人串联机器人工作空间小大正运动学难容易逆运动学容易难正静力学容易难逆静力学难容易位置误差平均化积累力误差积累平均化最大出力所有驱动力综合受最小驱动器力的限制刚度高低动力学非常复杂复杂惯量小大§3.8.2

并联机器人的应用用作模拟器：运动、飞行、地震、舰船、汽车、火车…操作器：空间对按机构、潜艇救援、土方挖掘、煤矿开采等，医疗外科…微动机构和微型机构：显微外科、细胞操作、误差补偿器.加工设备：虚拟轴机床娱乐：《真实的谎言》中的拍摄施瓦辛格驾驶鹞式飞机，就是在一个stewart平台上进行的.并联机器人的应用模拟器加工设备微动机构§3.8.3并联机器人构型设计

旋转(R)球铰(S)棱柱副(P)圆柱副(C)1.传统运动副类型万向铰(U)虎克铰（T）1、并联机构的组成元素转动副(R)：f=1，两构件绕公共轴线相对转动移动副(P)：f=1，两构件沿轴线相对移动螺旋副(H)：f=1，两构件绕轴线转动的同时沿轴线作对转动相关的相对移动.圆柱副(C)：f=2，两构件绕轴线相对转动和沿轴线相对移动虎克铰(U、T)：f=2，相当于轴线相交的2个转动副球面副(S)：f=3，两构件有3个独立的相对转动平面副(E)：f=3，两构件在平面内的2个移动和一个移动

§3.8.4

并联机构的自由度2、

并联机构的自由度若三维空间中有n个完全不受约束的物体，并且任选其中一个为固定参照物，因每个物体相对参照物都有6个运动自由度，则n个物体相对参照物共有6(n-1)个运动自由度若所有的物体之间用运动副联接起来，设第i

个运动的约束为μi，此约束可以是1-5之间的任何数如果所有n个物体之间的运动副数为g，则这时，运动自由度应减去所有约束数的总和，即为机构的自由度这就是一般形式的空间机构和自由度计算公式.有些机构存在局部自由度，应该减去

例1:计算图中所示机器人的自由度，由图可见：机构总构件数n=8，运动副数g=91,2,3为转动副，fi=14,5,6为移动副，fi=17,8,9为球面副，fi=3例2解：n=14g=181,2,3,4,5,6运动副为球面副，fi=37,8,9,10,11,12为移动副，fi=113,14,15,16,17,18为球面副，fi=3∵

每个支链上下两个球面副绕（沿）杆的轴线有1个局部自由度，因此共有6个局部自由度∴

M=12-6=6§3.8.5并联机器人运动学已知各关节变量求解末端操作器的位置和姿态在机器人运动学中称为运动学正解；已知末端操作器在固定参考系中的位置和姿态求解各关节变量称为运动学逆解。在串联机器人中，正解容易且有唯一解，逆解比较繁杂，计算时间长，且有时出现多解

并联机器人正好相反，逆解容易，且有唯一解，正解不容易求解，且多解，并联机器人正解一直是并联机器人研究的一个难题。以6-sps并联机构为例，简单介绍在机构的上、下平台上各建立一坐标系，如图，动坐标系建立在上平台上，固定坐标系固定在下平台上，原点O′和O分别在上、下平台中心位置。X轴指向B2，x′指向b2，Z轴垂直平台，y轴右手定则。求逆解即为所求解正解解法：数值法神经网络法数值法由于并联机构结构的复杂性，位置正解的难度比较大，其中一种比较有效的方法是采用数值方法求解一组非线性方程，从而求得与输入位移对应的该平台的位置和姿态。其优点：数学模型比较简单省去了繁琐的数学推导其缺