《变化率与导数》同步练习5

《变化率与导数》同步练习【A级】基础训练1．(2013·淄博模拟)已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为()A．－1 B．1C．±1 D．－2解析：f′(x)＝2ax＋3，依题意f′(2)＝7，即4a＋3＝7，得a答案：B2．(2013·厦门高三上学期期末质量检查)已知函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于()\f(1,2) B．1C．2 D．0解析：∵函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8.∴f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2，故选C.答案：C3．(2013·日照重点中学二次诊断)若曲线f(x)＝eq\r(x)、g(x)＝xa在点P(1,1)处的切线分别为l1、l2，且l1⊥l2，则a的值为()A．－2 B．2\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：由题意可知，f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝axa－1，∵l1、l2过点P(1,1)，∴kl1＝f′(1)＝eq\f(1,2)，kl2＝g′(1)＝a.又∵l1⊥l2∴kl1·kl2＝eq\f(1,2)a＝－1，∴a＝－2.答案：A4．(2013·山东名校信息卷)曲线y＝eq\f(sinx,x)在点(π，0)处的切线方程是________．解析：由题意知y′＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，则曲线在点(π，0)处的切线的斜率k＝eq\f(πcosπ－sinπ,π2)＝－eq\f(1,π)，故曲线在点(π，0)处的切线方程是y－0＝－eq\f(1,π)(x－π)，即x＋πy－π＝0.答案：x＋πy－π＝05．(2013·绵阳质检)设函数f(x)＝eq\f(1,3)ax3＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，则x0＝________.解析：由已知f′(x)＝ax2＋b，又f(3)＝3f′(x0)，则有9a＋3b＝3axeq\o\al(2,0)＋3b，所以xeq\o\al(2,0)＝3，则x0＝±eq\r(3).答案：±eq\r(3)6．(2013·开封调研)若函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋eq\f(1,x).∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋eq\f(1,x)－a＝0，∴a＝x＋eq\f(1,x)≥2.答案：[2，＋∞)7．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R)，若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值．解：因为f′(x)＝x－eq\f(a,x)(x＞0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－aln2＝2＋b，,2－\f(a,2)＝1，))解得a＝2，b＝－2ln2.8．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－eq\f(1,4).∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)．∴直线l的方程为y＋4＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.【B级】能力提升1．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()A．26 B．29C．212 D．215解析：∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＝x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]，∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，于是f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋0＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝2答案：C2.(2013·济南两名校模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，函数g(x)＝ex－f′(x)的零点所在的区间是(k，k＋1)(k∈Z)，则k的值等于()A．－1或0B．0C．－1或1D．0或1解析：由二次函数的图象及函数两个零点的位置可知其对称轴x＝－eq\f(a,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，解得1＜a＜2.而g(x)＝ex－f′(x)＝ex－2x－a，根据指数函数y＝ex与一次函数y＝2x＋a(1＜a＜2)的图象可知，函数g(x)有两个零点，而g(0)＝1－a＜0，g(1)＝e－2－a＜0，g(2)＝e2－4－a＞0，g(－1)＝e－1＋2－a＞0，所以函数g(x)有两个零点x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，故k＝－1或1.答案：C3．(2013·临沂重点中学联考)曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1(x∈[1,2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则P点的坐标为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,4))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(13,4))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(13,4)))解析：设P(x0，xeq\o\al(2,0)＋1)，x0∈[1,2]，∵y′＝2x，∴y′|x＝x0＝2x0，∴过点P的切线方程为y－(xeq\o\al(2,0)＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0(x－x0)＋xeq\o\al(2,0)＋1，令g(x)＝2x0(x－x0)＋xeq\o\al(2,0)＋1，则g(1)＋g(2)＝2(xeq\o\al(2,0)＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)＝－2xeq\o\al(2,0)＋6x0＋2.令S表示过点P的切线从曲边梯形上切出的普通梯形的面积，则S＝eq\f(g1＋g2,2)×1＝－xeq\o\al(2,0)＋3x0＋1＝－(x0－eq\f(3,2))2＋eq\f(13,4).当x0＝eq\f(3,2)时，S有最大值，∴P(eq\f(3,2)，eq\f(13,4))为所求点．答案：A4．(2013·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－x上，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则切线方程为________．解析：由y＝x3－x得y′＝3x2－1，令P(x0，y0)，则3xeq\o\al(2,0)－1＝2，所以x0＝±1，即切点 P的横坐标为±1，纵坐标为0，故所求的切线方程为y＝2(x±1)，即2x－y＋2＝0或2x－y－2＝0.答案：2x－y＋2＝0或2x－y－2＝05．(2013·山东高考原创卷)设曲线y＝eq\f(2－cosx,sinx)在点(eq\f(π,2)，2)处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.解析：由题意得y′＝eq\f(2－cosx′sinx－2－cosxsinx′,sin2x)＝eq\f(1－2cosx,sin2x)，切线的斜率k1＝eq\f(1－2cos\f(π,2),sin2\f(π,2))＝1.又切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以a≠0，故直线的斜率k2＝－eq\f(1,a)，由k1k2＝－1，得a＝1.答案：16．(2013·淮南调研)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))sinx＋cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝________.解析：f′(x)＝f′(eq\f(π,2))cosx－sinx∴f′(eq\f(π,2))＝f′(eq\f(π,2))coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)∴f′(eq\f(π,2))＝－1∴f′(x)＝－cosx－sinx∴f′(eq\f(π,4))＝－coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝－eq\r(2)答案：－eq\r(2)7．(2013·苏州十校联考)设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3，当x＝2时，y＝eq\f(1,2).又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋eq\f(3,x2)知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0得，y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝