大一上-高数二课堂

二课堂课高等数学（上）91第一 函数与导数的定义与极 例1.下列各组函数是否相同?为什么?f(x)cos(2arccosx)与(x)2x21,xf(x)x

x

与(x)

(aa(a

x f(x)0,

x

与(x)f[f f(x)

x11cos2

与xsin

22例 已知f(x)e ,f[(x)]1x且(x)2x f[(x)]e[( 1ln(1xln(1x由于ln(1x)0及1x 得xln(1xx) ln(1x3x3 x例3.已知f(

f(5)ffx x 解:f(5ff(10)f(103f(7)f[f(12f(123) f(9)4例3设函

f(x)

3x1,x

ff(x解f[f(x)]

x xf(x)f(x)f(x)f(x)f(x)x3(33(3x1) x3x1x

0xx5例（复合函数求定义域设fx)

x2

x0x)lnx求f[x)]e

x(x)D解题思路

解不等式组

x 解：由于fx)定义Df(,x)的定义域D(0,lnx所以 0xf[x)]的定义域为0x6例 已知f(x)和g(x)互为反函数，则函y

y

1g(x)

g(x) 由于f(x)与g(x)互为反函数 1g(

g(g(x)1

x

g(

f

g(y)71xx1xx

x

的反函1x xyy当x0由y1yyQx 所 x1当x0时，1

从而y当x0由y1x2得：xQx0,y yy

x

从而y11xx 1

y

y 1

x y

x 例 设f(x)f(x1)2x,其中x0,x1求f 解 tx1,即x1,代入原方程xf(1)f(t)21 1

f( )f(x) 1 111 1

即x

,f( )f(u1)

2(u1)

即f( )f(x1)2(x1)1

1

f(x)x1 19 f(x)sinx tan T2g(x)sinxcos 不xhx) 不x设f(x)是(,)上以4为周期的奇函数， [0,2]上fx)1 x1[98,100]上fx)由于fx)当x[2,0]，x所以fx)f(x)x11x1x[98,100x1002,0由于fx)以4f(x)f(x100)x10011x99 导数定f(x)limf(xx)f(x 例1 f(x0)存在,f(xx(x)2)f(x 解:原式

f(x0x(x)2)f(x0

x(x)2f(x0

x 例2 f(x)存在, f(xax)f(xbx) f(xax)f(xbx) f(xax)f(x)f(x)f(xbx) f(xax)f(x)a f(xbx)f(x) a

b(ab)f(例 设f(0)1,且对任意实数x,y均成fxy)fx)f fx)fx)证明：取xy 则f(0)f(0)f得f(0)0或f(0)若f(0) 由于xx0,则f(x)f(x)f(0)与f(0) ！ f(0)f(x)limf(xx)f( limf(x)f(x)f(x)f(x)limf(x)

f(x)limf(0x)f f(x)f(0)f(xf(x)f(x例 设f(x)对一切x,y都有f(x y)f(x)f(y)xy且f(0)1证明fx)在(,)可导证明：x0y0f(0x(,) f(xx)f(x)x limf(x)f(x)xx1f(x0 lim[f(x)f(0)xx f(0x1xfx)fx)在(,)可 若对x(,)恒成

f(x)

x2试证：fx)在x0 f(0)f(x)f(x)xlimf(x)x

x0)且limxx 而limf(x) lim[f(x)f(0)

xf(0)limf(x)f(0)x0

x三、函数

lim[f(x)]g(x)explim[g(x)lnf((1型limfx)]gx)explimgx)[fx利 8)把极限看作某函数的导数值利用 利 1计算limsinxcos解limsinxcosx0再解:原式 lim(sinxcosx0 limexlimlimexlimex1例2计

2e4

sinxx0

1e ：limaxa：lima