工程力学 第五章

内力的概念内力物体因受外力作用而使其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用力；材料力学中的内力，是指外力作用下，物体各质点之间相互作用力的变化量，所以是物体内部各部分之间因外力而引起的附加相互作用力，即“附加内力”；内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消失。截面法求内力的三步曲沿横截面截开，留下一部分作为研究对象，弃去另一部分——截开用作用于截面上的内力代替弃去部分对留下部分的作用——替代对留下部分建立平衡方程并解之——平衡F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力内力必须满足平衡条件作用在弹性体上的外力相互平衡内力与外力平衡；内力与内力平衡。F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力弹性体受力与变形特点F1FRF3MF1FnF3F2内力主矢与内力主矩(ResultantForceandResultantMoment)使用静力平衡方程求出内力FR和MSFi=FR

Smo(Fi)=M内力分量(ComponentsoftheInternalForces)

在确定的坐标系中,轴力、剪力、扭矩、弯矩及其可能产生的变形效应。FRFNFQMMBMx

引言(Introduction)例1.1确定m-m截面上的内力N=PM=Pa整个杆件最大的轴力发生在固定端截面上，其值：例1直径为d长为l圆截面直杆，铅垂放置，上端固定，若材料单位体积质量为，试求因自重引起杆的m-m截面的内力。解：一、拉、压杆的内力(InternalForces)

轴力图举例轴力图例-2：F1=2.5kN,F3=1.5kN,画杆件轴力图。解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示∑Fx=0FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示∑Fx=0–FN2-F3=0得：FN2=-F3=-1.5kN（负号表示所画FN2方向与实际相反）3)图14-1-4为AB杆的轴力图已知知F1=10kN；；F2=20kN；；F3=35kN；；F4=25kN;试试画画出出图图示示杆杆件件的的轴轴力力图图。。11例题题2-3FN1F1解：：1、、计计算算各各段段的的轴轴力力。。F1F3F2F4ABCDAB段段BC段段2233FN3F4FN2F1F2CD段段2、、绘绘制制轴轴力力图图。。轴力力图图举举例例轴的的扭扭矩矩扭转转内内力力扭矩矩Torque:用T表表示示扭矩矩的的正正负负号号规规定定：：按右右手手螺螺旋旋法法则则：矢量量离离开开截截面面为为正正，，矢矢量量指指向向截截面面为为负负。。轴的的扭扭矩矩图图示示例例扭矩矩图图计计算算时时扭扭矩矩用用矢矢量量表表示示例题题AB段段扭扭矩矩AC段段扭扭矩矩§5-2弯弯曲曲的的概概念念和和内内力力弯曲曲变变形形：杆件件在在垂垂直直于于其其轴轴线线的的载载荷荷作作用用下下，，使使原原为为直直线线的的轴轴线线变变为为曲曲线线的的变变形形。。通通常常将将承承受受弯弯曲曲变变形形的的杆杆件件称称为为梁梁。。对称弯弯曲：载荷作作用在在梁的的纵向向对称称平面面内。。—平平面面弯曲曲§5-2弯弯曲曲的概概念和和内力力梁的类类型静定梁梁：梁的的所有有支座座反力力均可可由静静力平平衡方方程确确定。。静定定梁的的基本本形式式有：：简支梁梁：一端端固定定铰支支座，，另一一端可可动铰铰支座座的梁梁，如如图5-3a悬臂梁梁：一端端固定定端，，另一一端为为自由由端的的梁，，如图图5-3b所示示。外伸梁梁：简支支梁的的一端端或两两端伸伸出支支座之之外的的梁，，如图图5-3c。图5-3梁的整整体处处于平平衡状状态，，因此此其各各个部部分也也应处处于平平衡状状态。。截面面m―m上上将产产生内内力,这些些内力力将与与外力力FA和F1；或FB和F2；在梁的左左半段或右右半段构成成平衡力系系。

FS称为横截面m―m上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。

FNFSMFAyFByFNFSM§5.2剪剪力力图和弯矩矩图§5-2剪剪力力和弯矩根据平衡条条件，若把把左段上的的所有外力力和内力对对截面m―m的的形心O取取矩，其力力矩总和应应为零，即即∑MC=0，则 这一内力偶矩M

称为横截面m―m上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。FNFSMFAyFAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪剪力对梁上上任意一点点的矩为顺顺时针转向向时，剪力力为正；反之为负。。+_截面上的弯弯矩使得梁梁呈凹形为为正；反之之为负。+_左上右下为正正；反之为负左顺右逆为正正；反之为负剪力和弯矩的的符号规则剪力、弯矩方方程法若以横坐标x表示横横截面在梁轴轴线上的位置置，则各横截截面上的剪力力和弯矩可以以表示为x的函数，，即：

函数在直角坐坐标系下的曲曲线，即为剪剪力图和弯矩矩图。举例如如下：剪力图和弯矩矩图或写成：q悬臂梁受均布布载荷作用。。试写出剪力和和弯矩方程，，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一一截面x，写出剪力力和弯矩方方程x依方程画出出剪力图和弯矩图FSxMxl由剪力图、弯矩图图可见。最最大剪力和和弯矩分别别为§5.2.剪力图图和弯矩图图的绘制例题5.2-1qxBAlFAYFBY图示简支支梁C点受集中中力作用用。试写出剪剪力和弯弯矩方程程，并画画出剪力力图和弯弯矩图。。解：1．．确定约约束力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出出剪力和和弯矩方方程x2FSxMxx1ACCB3.依依方程程画出剪剪力图和和弯矩图图。CFab§5.2.剪剪力图和和弯矩图图的绘制制例题5.2-2§5.2.剪剪力图和和弯矩图图的绘制制例题5.2-3BAlFAYFBY图示简支支梁C点受集中中力偶作作用。试写出剪剪力和弯弯矩方程程，并画画出剪力力图和弯弯矩图。。解：1．．确定约约束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出出剪力和和弯矩方方程x2x1ACCB3.依依方程程画出剪剪力图和和弯矩图图。CMab内力与外外力的相相依关系系某一截面面上的内内力与作作用在该该截面一侧局局部杆件件上的外外力相平平衡；在载荷无无突变的的一段杆杆的各截截面上内力按按相同的的规律变变化；平衡微分分方程内力与外外力关系系杆件各截截面上内内力变化规律律随着外外力的变变化而改变变。平衡微分分方程内力与外外力关系系结论论例：简支支梁受力力如图a所示。。试写出出梁的剪剪力方程程和弯矩矩方程，，并作剪剪力图和和弯矩图图。【解】（（1）求求支座反反力(2)建建立剪剪力方程程和弯矩矩方程（3）作剪力图图和弯矩矩图控制面的的概念：外力规律律发生变变化的的截面———集中中力、集集中力偶偶作作用用点处、、分布载载荷的起起点和终终点处处的横截截面。内力与外力力关系平衡微分方方程平衡微分方方程考察dx微段的受力力与平衡FQ+dFQFQ平衡微分方方程ΣFy=0:FQy+qdx-FQy-dFQy=0略去高阶项项，得到:ΣMc=0:-Mz+(Mz+dMz)-FQydx-qdx.dx/2=0FQ+dFQFQ平衡微分方方程=qdxdFQy类似地在xz平面内，也也可以得到到类似的表达达式，只是是下标有所所不同。dx

dMz

=FQy平衡微分方方程FQy

+dFQyFQyd2Mzdx2=q=qdxdFQy不失一般性性，略去下下标，写成成2dd

dd

ddFSxqMxFSMxq===;;2此即适用于于所有平面面载荷作用用情形的平衡微分分方程。平衡微分方方程根据上述微微分方程，，由载荷变变化规律，即可推推知内力FS、M的变化规律律。控制截面分分段分析图图举例PMF1S1FS22M截面左段图图截面右段图图内力图(theInternalForceDiagram)剪力图和弯弯矩图刚架的内力力图剪力图和弯弯矩图画法法根据平衡，，可以确定定控制面上上FQ、M数值,确定定函数变化化区间；根据剪力、、弯矩、分分布载荷之之间的平衡衡微分方程程总结出规规律可以确确定FQ、M的变变化化图图形形。。内力力图图FQ、M图4.集中中力力作作用用处处，，剪剪力力图图突突变变；；左左右右两两侧侧控控制制面面弯弯矩矩相相等等。。集中中力力偶偶作作用用处处，，弯弯矩矩图图突突变变；；剪剪力力图图不不变变。。2.q＝＝常数数，，Fs(x)为为x的一一次次函函数数，，剪剪力力图图为为斜斜直直线线；；M(x)为为x的二二次次函函数数，，弯弯矩矩图图为为抛抛物物线线。。分布布载载荷荷向向上上（（q>0）），，抛抛物物线线呈呈凹凹形形；；分布布载载荷荷向向下下（（q<0）），，抛抛物物线线呈呈凸凸形形。。载荷集度、剪剪力和弯矩关关系：q＝0，Fs=常数，剪剪力图为水平平直线；M(x)为x的一次函数，，弯矩图为斜斜直线。3.剪力Fs=0处，弯弯矩取极值。。利用载荷集度度、剪力和弯弯矩间的关系系画图利用微分关系系绘制剪力图图与弯矩图的的方法：根据载荷及约约束力的作用用位置，确定定控制面。应用截面法确确定控制面上上的剪力和弯弯矩数值。建立FS一x和M一x坐标系，并将将控制面上的的剪力和弯矩矩值标在相应应的坐标系中中。应用平衡微分分方程确定各各段控制面之之间的剪力图图和弯矩图的的形状，进而而画出剪力图图与弯矩图。。例题一xQFQxqa/2qa/2FQFQMxMxFQ内力图FQ、M图剪力、弯矩图图直接画图法法举例例题二xQFQxQqaFQFQMxMxqa2/2qa2FQ内力图FQ、M图剪力、弯矩图图直接画图法法举例例题三FQ内力图FQ、M图剪力、弯矩图图直接画图法法举例例题四内力图FQ、M图剪力、弯矩图图直接画图法法举例可以通过积分方法法确定剪力图图、弯矩图图上各点处的的数值。从左到到右，，向上上（下下）集集中力力作用用处，，剪力力图向向上（（下））突变变，突突变幅幅度为为集中中力的的大小小。弯弯矩图图在该该处为为尖点点。从左到到右，，顺（（逆））时针针集中中力偶偶作用用处，，弯矩矩图向向上（（下））突变变，突突变幅幅度为为集中中力偶偶的大大小。。剪力力图在在该点点没有有变化化。载荷荷集集度度、、剪剪力力和和弯弯矩矩间间的的关关系系BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题5.2-5简支梁受受力的大大小和方方向如图图示。试画出其其剪力图图和弯矩矩图。解：1．．确定约约束力求得A、B二处的约约束力FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根据力矩平平衡方程2．确定控控制面在集中力和和集中力偶偶作用处的的两侧截面面以及支座座反力内侧侧截面均为为控制面。。即A、C、D、E、F、B截面。EDCF剪力、弯矩矩图直接画画图法举例例(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐坐标系建立FS－x和M－x坐标系5．根据微微分关系连连图线4．应用截截面法确定定控制面上上的剪力和和弯矩值，，并将其标标在FS－x和M－x坐标系中。。0.891.111.3351.665(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN剪力、弯矩矩图直接画画图法举例例例题5.2-5续续（-）（+）解法2：1．确定约约束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．确定控控制面为A、C、D、B两侧截面。。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左侧开开始画剪力力图。Fs（kN）0.891.11例题5.2-5续续剪力、弯矩矩图直接画画图法举例例（-）（-）4．从A截面左侧开开始画弯矩矩图。M（kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3350.335从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11从D右到B左从B左到B右例题5.2-5续续剪力、弯矩矩图直接画画图法举例例qBADa4aFAyFBy例题5.2-6试画出梁剪剪力图和弯弯矩图。解：1．确确定约束力力根据梁的整整体平衡，，由求得A、B二处的的约束力qa2．确定控控制面由于AB段上作用有有连续分布布载荷，故故A、B两个截面为为控制面，，约束力FBy右侧的截面面，以及集集中力qa左侧的截面面，也都是是控制面。。C剪力、弯矩矩图直接画画图法举例例（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐坐标系建立FS－x和M－x坐标系OFSxOMx4．确定控控制面上的的剪力值，，并将其标标在FS－x中。5．确定控控制面上的的弯矩值，，并将其标标在M－x中。剪力、弯矩矩图直接画画图法举例例例题5.2-6续续

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1．确定约约束力2．确定控控制面，即即A、B、D两侧截面。。3．从A截面左侧开开始画剪力力图。

Fs

9qa/4

7qa/4qa剪力、弯矩矩图直接画画图法举例例例题5.2-6续续（+）

M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪剪力为零的的点到A的的距离。B点的弯矩矩为-1/2××7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段为上上凸抛物线线。且有极极大值。该该点的弯矩矩为1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．从A截截面左侧开开始画弯矩矩图

81qa2/32qa2剪力、弯矩矩图直接画画图法举例例例题5.2-6续续（-）（-）（+）（+）（-）Fs例题5.2-7试画出图示示有中间铰铰梁的剪力力图和弯矩矩图。解：1．确确定约束力力从铰处将梁梁截开qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA剪力、弯矩矩图直接画画图法举例例Bqly已知平面刚刚架上的均均布载荷集集度q,长度l。B试：画出刚刚架的内力力图。例题5.2-8ql解：1、确确定约束力力2、写出各各段的内力力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆AB：A点向上为yy平面刚架的的内力竖杆AB：：Bqly3、根据各各段的内力力方程画内内力图横杆CB：：MFNFSql＋－＋平面刚架的的内力例题5.2-8续续＋＋谢谢大家返回本章第第一页本章内内容结结束！！9、静夜夜四无无邻，，荒居居旧业业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中中黄叶叶树，，灯下下白头头人。。。14:34:2414:34:2414:341/6/20232:34:24PM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。1月月-2314:34:2414:34Jan-2306-Jan-2312、故人江海海别，几度度隔山川。。。14:34:2414:34:2414:34Friday,January6,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2314:34:2414:34:24January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20232:34:24下午14:34:241月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月232:34下下午1月-2314:34January6,202316、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2023/1/614:34:2414:34:2406January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。2:34:24下午午2:34下午午14:34:241月-239、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情努努力了未必有有结果，但是是不努力却什什么改变也没没有。。14:34:2414:34:2414:341/6/20232:34:24PM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2314:34:2414:34Jan-2306-Jan-2312、世世间间成成事事，，不不求求其其绝绝对对圆圆满满，，留留一一份份不不足足，，可可得得无无限限完完美美。。。。14:34:2414:34:2414:34Friday,January6,202313、不知香香积寺，，数里入入云峰。。。1月-231月-2314:34:2414:34:24January6,202314、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。06一月月20232:34:25下下午14:34:251月-2315、楚塞